Берман Г.Н. - Сборник задач по курсу математического анализа (1079622), страница 21
Текст из файла (страница 21)
' х)г !-(-.с !' ! — х 218!. ~ —,. 2186. ~'"("+"'" ~" +! ' 2185. ~хвйхг(х. ~ агсвгл ХЕХ хв 2189. ~ хе1' ' с(х. 2191. ~ в! и )/ х с(х. 2196. ! — '"-,—. е х — )1 хе — ! 2194. ~ с(х. 2!55. ) ) / 2!98. ~ "2"+(Ь- «в 2206. 1 — ° вш2х — 2 ап х' 2202. ав — Ьв сове х ' 2204. ~ ('"' — ') ох (и'х 2206. $ х'ех соя х 1(х. 2208.
-. ° 51ПВ Х СО5! Х 2210 Г 5(п2ХЕх СО54 Х ! 51П1 Х' 2212 )1гг16вх+21(х. 2214. 1 "'= ° (2х — 3) )'4~ — хз ~г! ~! ее ' ',) ((+Х')' 2178 осе'х+ Ье -"'"' 2180. х Ех (ха в !)(х + 2) ' 2162. ! ,) (х' — !)1' 2184. ~ (х'+ Зх+ 5) сов 2ке(х. 2186. ) агс(2(!+)/х)в(х. 2188. )евв 'г(х. 2190 ) (хз 2хв+5) ез г(х ! 2192.
! .св (х — !)1'в 2195. 2197. кв)г((+х)в 2! 99. 2208. ') х )!т(!+Хз) е(х. 2205. ! Г(х, ,1 )/(25. !)э 2207. $ «еха (хв+ 1) е(х. 2209. ° 1 ."-. вш! х сов! к ' в(Х (+ 51л к+сов х ' 2218. х Ьгх'+ Зкв+ ! 2215. ,) ((+х)в' ГЛАВА КН СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ, НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 2 Е Способы точного вычислении интегралов Непосредственное применение формул!в Ньютона — Лейбница В задачах 223! — 2258 вычислить интегралы. ! — ! 223$. ~)(т+хдх.
о -!з в 2(13 — )4 2234. 1 =ИУ. 2 УУ+! гп (в 2222, ) а ! . — 2, а 2222. ! (2л( 2 4* о 2а 2237. ') (ек — !)4 е" 24х. 2238. —" (Ь ) а' ~ 0). о !лк 2!'24(К Г Ха — 2 (ГК 224Е ) + л ~((х. 2242. ~ — —,—. 2243. )( аа — х' ! ! 24 !' З(2 ха 4(к 2244. ! 2242. ! ((2 ( — к4) )/ -„- — к' а("- з 5 а !. спОсОБы тОчнОГО Вычисления интеГРАлОВ 2248. ) 2 . 2244. 1 а. 2282. 1 -ЕО л/2 2269. ~ хсозхЫх о л/2 л /2 "" 5 — "" 2252. Сова х яп 2х Ых.
!+Евах' л/! Л/2 Л/28 2253. ) )//Соа х — совах Ых. 2254. ~ япз (О/х+ ер44) Ых. л/2 о — л/! л/! 2255. 2256. ~ с152!рЫр. / '24 О!Ох — л/2 2/л а!и 1 л/- 4 2257. ~ —,, Ых. 2256. ~ сов(з!и (21 — -";-) Ы(; !/л — л/! В задачах 2259 — 2266 интегрированием по частям найти интегралы: ! л/3 2259. ) кеелЫх. 226! . о л/4 л \ 2262. ) хз з 1п х Ых. 2263. ) х!Ода хЫх.
О ! 4 1 а У/ 2224. 1 ! ! 4.4/Ш. 2228. о а 44/4 а 2266. ~)'~аз — хаЫх. 2267. ~ е'"созхЫх. 2266. ) 1п'хЫх. О о ! 2269. Составить рекуррентные формулы для вычисления интел/2 л/2 гралов ) соаахЫх и ~ яп"хЫх (и — целое положительное число о о нли нуль) и вычислить интегралы: л/2 л/2 Л/2 а) ~ яп'хЫх; б) ~ сознхЫх; в) ~ япнхЫх, О О о 2270.
Составить рекуррентпую формулу для вычисления интел/2 Града ) ян ХСОЕаХЫХ (/П И П вЂ” ЦЕЛЫЕ ПОЛОжитЕЛЬНЫЕ ЧИСЛа ИЛИ о нули; исследовать частные случаи четных и нечетных аначе* пнй ПО и и), 2271. Составить рекуррентную формулу и вычислить интеграл о ~ А"е'Ых (л — целое положительное число). ! В Г. Н. Берман )аа гл. чп. спосовы вычисления оаеедаланнык ингвголлов 2272. Доказать рекуррентную формулу ох х 2а — 3 г(х (!+хг)" 2(а — !) ()+ х )" '+2(о — !) 5 ((+х )" г (л — целое положи ! Ь вычислить с ее помощью инте- „, = ~ 1п'"х!)х, то 7„=е — т,/ ) 2273.
Доказать, что если (лг — целое полвжительио чи ! 2274". Найти ~ хе (1- х о х р и д — целые положительные числе). Замена переменно иитег В задачах 2275 †22 вычисл 2276. о 1 2279. о 2275. ~ — дх. г'х — ! ! 2278. 1 — ". Ь! (+Ух 228!". а(по - дх. 2 о 2285. ! 2288. ~ 1' (1 — х')о о(х. о — ы? 2290, ~ )Г! — еох г(х. о з д ("+) !'гж г 2289. ~хоф' 1 — хг дх. о а г,о з 1. спОсОБЯ ТОчнОГО аычисле14ия интег~ллегв (а( пг'з 22'2 2295.
х ) (хе †)$ г'з)з 2 444. В задачах 2301 вЂ И вычислить интегралы: 2 теег 2ЗО1. Г 2302, 2 Г1 х+ хо' (1 + ')з' 1/2 24 2 2зоз. Г, "" 2304. х' — Зх+х' С 2305.. 2306. Ь'х+1+)г(х+ 1)о' е Ьеах+х' ! тз 2307. ~ )/2х+хге(х. 2308. ) хз)г' 1+х'4(х. о о 1оо з 2309. Г 4(х. зз(о. Г Ех+ 3 3 х)4 хе-)-ах+! х/4 л12 хгг о 6 1 1О 2314, 1(агсз(пх)4ах. 2315. 1 агс16У )4 х — 14(х. о 1 1 х/2 2316 1 (3" +2) а Ма х сга х 4(х Ь (хг+4х+1) 4 * Ь а'оаех+аг з(пох ' в Разные задачи 2298. Вычислить среднее значение функции у=~ х+= на 1 отрезке [1, 4).
2297. Вычислить среднее значение функции ) (х) = — е„на отрезке [1; 1,51. 2298. Вычгмлить среднее значение функций Г (х)=зги х и 7(х) =з(пгх на отрезке [О, и). 2269. Нанти срегнгее значение функгзии Г(х) =,, на отрезке 2 [О, 21. 2300. При каком а среднее значение функции у=!пх на отрезке [1, а) равно средней скорости изменении функции на этом отрезке? 132 гл,чп.спосовы вычисления опгвдвленныл интвггллов ! аЬ!е!х л 23!8. Показать, что,,',, = — ', где а и Ь вЂ” любые ахсеа'х+Ь'Ма'-'к 2 ' действительные числа, отличные от нуля.
23!9. Решить уравнение а» хе'хх — ! !2 Уз 2320. Решить уравнение дх и 1/ех — ! б !а2 2321. Убедившись в справедливости неравенств — ) 1и х) 1 е Г- ах при х)е, показать, что интеграл,—, меньше единицы, но й! е !пк больше 0,92. 2322*. Показать, что — 0,523 ( ( — '.
0,555. г 4 — х' — хе 4 Ьей 2323*. Показать, что 0,5 ( =" — ~ -"- — 0,523 (и = 1). р'! —.*" е хх 2324. Используя неравенство з!пх) х-;, справедливое при 6' х) О, и неравенство Коши — Вуняковского (см. задачу 1638), аы оценить интеграл ~ )/ ха(п хе(х. о 2325е. Показать, что 0,78( =" 0,93. г'! + х' 2326. Найти наибольшее и наименьшее значения функции ~7(х)= ~,,, ,з зе(! на отрез!се [ — 1, 11. 2!+ 1 д 2327. Найти точку знстремума и точки перегиба графина х функции 8 = ~ (1 — 1) (1 — 2 ~' е(й о В задачах 2328-2331, не вычисляя интегралов, доказать справедливость равенств: о 1. СПОСОБЫ ТОЧНОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ 133 2337.
Доказать справедливость равенства ь ь ) Г (х) /1х = ~ ~ (а+ 3 — х) /(х, а/2 :т/2 '1 )(созх)т(х= ~ 1(21пх)т(х. Применить о о :тл к вычислению интегралов ~ созо хо(х и о 2338. Доказать, что полученный результат 1 о!пах/(х. 3 ЧТО х/(21П Х) о(х= 2 1 (з!П Х) к(Х ~ 2339*. Доказать, а/о 1 2328. ~ хто о!по х дх = О. 2329. 1 ',' о(х О. етое к — а/о — 1 1 1 т/2 2330.
~ ееаккт(х=2)екакк/(х. 233!. ~ созх1п — т)Х=О. !+к ! — к о — 1/2 2332*. а) Показать, что если /(1) — функция нечетная, то к — к к ~~(1)й — функция четная, т. е. что ~ 1(1)й=)Г(1)/(1. а а а к б) Будет ли ))(1) Ж функцпе8 нечетко!1, если )(1) — функция а четная? 2333а. Доказать справедливость равенства 1 1/к т/! Г т/! к !кк Г / еп 1 Е! 2334.
Доказать тождество а! —,+ з! е =1. а !+П о 1(!+!е) 1/е !/е 2335. Доказать тождестве Паек еа.е к агсз 1п )/'1 Й+ ! агссоз 'Р/7 Й = -"- . 2336. Доказать справедливость равенства 1 1 ~ х" (1 — х)" о(х =- ) х" (1 — х) '" /(х., о о 154 гл. чп. спосовы вычисления опяедалвнных интегяхлов »12 ° =, — ".2 /(21п х) дх= и /(21пх) 4/х. Применить полученный ре- 2 1 ХЯЛХ зультат к вычислению интеграла,+„...бх. 2340*. Показать, что если /(х) — функция периодическая с пса+ Т рнодом Т, то ) /(х)1/х не зависит от а.
а 2341*. О функции /(х) известно, что она нечетная иа отрезие ~ ° .1 — —, — г! и имеет период, равный Т. Доказать, что )/(/)1// есть Т Тз а также периодическая функция с тем же периодом. 1 2342. Вычислить интеграл ) (!-хг)»дх, где и — целое положио тельное число, двумя способами: разлагая степень двучлена по формуле для бинома Ньютона и с помощью подстановки х=21п Ч1. Сравнив результаты, получить следующую формулу суммирования (С„ "— биномиальные коэффициенты): с1 бг бг ( — 1)" с" 2 4-6 ...
2л С;. — + —.— — +...+ — "= 3 5 7 ''' ял+! 1 3 5 ° ... (2л+1) 2л лх 2343. Интеграл ) 5, легко берется с помощью подстанонки (я — =а. Илгеем к 2 2» о 5 лх 2»х ," (!+22) (5 — З вЂ” '~) Но, с другой стороны, — 3( — Зсозх(+3, следовательно, 2сб — Зсозх<8 и 2 «5 — 5 а' Огсюд ! ! ! гл 2» гл ~ '- /х«1 — «~;бх Их л и значит, г — « —. Найти ошибку в рассуждении. У 1 5 — 3 сох х 4 ' лн 2344". Пусть /„= ~ (й" х1/х (и «! и целое), Проверить, что о 1 1 1 11»+/» 2= — 1.
Доказать, что 2 — (2 ~ l„(2 — 2, О Е ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ 2345*. Доказать справедливость равенства 1Е4хс — з 41З Ез /4 ~Π— 4/444Е О О 2346*. Доказать, что О"4М" ( О, если х<Ь, 1~т, =~ ' ' (<>->О, й>О, Ь>о~01. 4! . /,„*„* ~ + со если х=Ь 1е Ох а $2. Приближенные методы В задачах 2347-2349 вычисления вести с точностью до 0,00!.
2347. Площадь четверти круга, радиус которого равен единице, равна .--. С другой стороны, взяв единичный круг с центром в начале координат, уравнение которого х' +уз= 1, н применяя для вычисления площади четверти э~ого круга интегрированне4 волучнм ! 1 — )/1 — хз/(х, т. е. П=4 1/1 — хз/(х. 2353. 1/ соз !р 46р (а = 1Щ. 2352. ~ — (п=б1. Пользуясь правилами прямоугольников, трапеций и правилом Симпсона, вычислить приближенно число и, разбивая отрезок интегрирования 10, 1] па 10 частей. Полученные результаты сравнить между собой н с табличным значением числа и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
