Берман Г.Н. - Сборник задач по курсу математического анализа (1079622), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Показать, что точки перегиба линии у=ха!пх лежат па линии уз(4+хз) = 4х'-. япх 1303. Показать, что точки перегиба линий у= — лежат на линии дт(4+х') = 4. 1 х пРименение ВТОРОЙ ЙРОизвод! Ой 1304. Убедиться в том, что графики функций д= + е-" и д=е-"В1пх (кривая затухаюидих колебаний) имеют общие каса. тельные в точках перегиба линии у=с "и1(их, 1305. При каких значениях а и 1~ точка (1, 3) служит точкой перегиба линии у=ахи+Ьх'2 !306. Выбрать а и й так, чтобы линия х'д+ах+йд=-0 имела точку А (2; 2,5) точкой перегиба. Какие еще тонки перегиба будет она иметь? 1307.
При каких значениях а график функции д=ех+пха имеет точки перегиба? .Фтl Рнс. ЗО Рнс. 3! 1308. Доказать, что абсцисса точки перегиба графика функции не может совпадать с точкой экстремума втой функции. 1309. Доказать, что у любой дважды дифференцируемой функпии, между двумя точками экстремума лежит по крайней мере одна абсцисса точка перегиба графика функции. г" '(з2 Рис, 32 Рс. ЗЗ 1310.
На примере функции д=х4+8х" +18х'+8 проверить, что между абсписсамн точек перегиба графика функпии может и не быть точек экстремума (Ьр. с предыдущей задачей). 1311. По графику функции 1рнс. 301 выяснить внд графиков ее первой и второй производных. 1312. То жс сделать яо графику функции (рис. 31). 1313. Выяснить вид графика функции по данному графику ее производной (рис. 32), гл.
ис исследоьлнпе воикцип и их гел ликов 1314. Выясцнть впд графика функции по данному графику ее производной (рис. 33). 1315. Линия задана параметрически уравнениями х=гр(!), у=ф(г). Убедиться в том, что значениям Г, прн которых выражение ~ 'Р, ' меняет знак (штрихом обозначено дифференцнрованне по (), а гр' (1) ФО, соответствуют точки перегиба линии. 1316. Найти точки перегиба линии х=!з, у=З(+(з. !3!7.
Найти точки перегиба линии х=е', у=з!пг. 6 4. Дополнительные вопросы. Решение уравнений формула Коши и правила Лопиталя 1332. !!гп х 1318. Написать формулу Каши для функций Г(х)=з(пх и <р(х) = 1пх на отрезке [а, Ь], 0(а(Ь. 1319. Написать формулу Коши для функций )(х) =е'" и гр(х)= =1+е"' на отрезке [а, Ь]. 1320. Проверить справедливость формулы Коши для функций Г'(х)=хз н гр(х) =х'+1 на отрезке [1, 2]. !321. Проверить справедливость формулы Коши для функций 7(х) =з!пх и <р(х) =х+сазх на отрезке [О, и/2]. 1322.
Доказать, что если на отрезке [а, Ь] имеет место соот- ношение (Г'(х) !- ~ ~р'(х) ~ и гр'(х) не обращается в нуль, та спра- ведливо также соотношение ! лг(х) !)! Лгр(х) ), где ела(х) =-Г(х+ох)— — Г(х), Л<р(х)=Ч (х+пх) — ср(х), а х н х+бх — произвольные точки отрезка [а, Ь]. 1323. Доказать, что на отрезке [х, !/2] (х)0) приращение функции у=!п(!+хз) меньше приращения функции у=агс(пх, нз отрезке [1/2, х] — наоборот: йагс1йх(А1п(1+х'). Пользуясь последним соотношением, показать, что на отрезке [1/2, !] а ге !6 х — 1и ( ! + х') ~ 4- — ! п 2.
В задачах !324 — !364 найти пределы. "1324. !(гп ' 1325. !(ш — — — ' з — 1 а » О Р» — с 'ОХ ч 1326. !!щ — —. 1 327. ! ! пз — - ' " . з»зп л' » 0 е໠— соя йх е 1,28. !нп 1329. 1ип :-о !' лт Лл 1331 1' 1330. ~ !з, 1333. 1!гп е е" — е.»' ' 1334. )Пп к 0 1336. )пп к Ох 1'1 — хк 338.
1и! кз хз е» вЂ” - — — — — х — 1 1340. 1! гп еаз к+-- — 1 2 1и (1+ »)' — 4»+ 2хз— 4 1342. 1Пп б аи х — бх+хи 1343 !. !и ии 2х к О )и (1 — х)+ !Е '— 1345. )пп 01Е их 1347. !!гп !(и — 2 агс!6х) !пх]. к со 1348. 1ип [хз«и ~-]. к со 1350. 1Пп ] (аз — Чсз) !а — "'Р~. !352. )!П1(с(6х — ), х 0 1335. )Пп х О ЯИ АСИБХ 1337 )' ааз х 1и (» — а) к и !и (ек' — ео) е'Х ' — ес 1339. ))гп х О «а 1341. !пп 1344.
)Пп —.' 1и х х а!иа" х 1346. )пп (х'е-к). к +ос 1349. )Пп! —" — — ]. 11» — 1 )и х)' с 1 х 1351. 1пп ( — — — !. 1()их !их) 1353. !!и! ' ою--1и (1 — х) 2 вычислен по правилу Лопиталя. 1366. Значения какой фуикшш (при достаточно больших зна- чеииях х) больше: акх' или хх? 1354 1355 1357 1359 1361 1363 1365 1 4. ДОПОлпптельные ВОпРОсы, Решши1е РРлвпши1п 93 1пп )1Г(а+х)(Ь+х)(с+х) — х]. !1п! (х (еп' — 1)] 1356.
)пп (хзе1/к']. х со к 0 (!6 х) 3 с-и 1358. )пихзы'. к О 1 !1П! Х!п (с" — 1) 1360. 1пп ()/х)! ". к а а »1 0 !Пп (ех+х)1/х. 1362. 1пп (2 — — ) х со к и« Проверить, что Игп" "."" существует,иоиемоккетбыть х-1-аи х гл, пс исследование фгнкцип и их и хзиков 1367. Значения какой функции (прн достаточно больших зиа* чениях х) больше: )(х) или !п)(х), при условии, что 1(х)з-оз при х-~со.
1368. Пусть х-~ О. Доказать, что е — (1+х)ь~з — бесконечно малая первого порядка относительно х. 1369. Пусть х-з.О. Доказать, что !и(!+х) — е!п!п(е+х)— бесконечно малая второго порядка относительно х. 1370. К окружности радиуса г проведена касательная в точке А (рис. 34) и на ней отложен отрезок АМ, длина которого равна длине дуги АМ. Прямая ММ пересекает продолжение диаметра АО в точке В. Установить, что ОВ апа — а где а в радианная мера центрального угла, соответствующего дуге АМ, и показать, что 1!ш ОВ=-2г.
Рзс. 34 а з Асимптотическое изменение функций и асимптоты линий !371. Проверить, исходя непосредственно из определения, что 2х~+ кз+ 1 прямая у=2х+ ! есть асимптота линии у= 1372. Проверить, исходя непосредственно из определения, что прямая х+д=О есть асимптота линии хзу+хуз=1, хз 1373. Доказать, что линни д=у'хз+Зхз н д= — асимпто* к — 1 тически приближаются друг к другу при х-~ ысо. 1374.
Доказать, что функции ~ (х) = ) 'хз+ 2х'+ 7хз + ! и ф (х) = хз+ х асимптотически равны друг друту при х- +со. Воспользоваться этим рбстоятельством и вычислить приближенно 7'(115) и 1(120). Какую погрешность сделаем, положив !'(100) =9(100)? В задачах 1375 — 1391 найти асимптоты данных линий. 1376. ху=а. ! аз !377. д= х' — 4хб з' 1378. у = с + —. 1 -з)з' 1379. 2у(х+1)'=хз. 1380 уз аз — тз 1381. у' = бх'+ х'.
1382. уз (хз + ! ) =- хз (хз — 1). 1383. ху'+ х'у = а'. 1 4. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ, РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 95 ! ь При этом, если уравнение асимптоты есть д=-их+ Ь, то а = Вп! —,, Ь = 1'нп [ф (!) — а!Р (()1. Ф (!) ~-ьФ(0' Как найти асимптоты, параллельные координатным осям? 1 1393. Найти асимптоты липни х= --, у= —. !+1 ' 2е' М 1394.
Найти асимптоты липни х= —, у=в 1 — 1 ! †! 2! 0 1395. Найти асимптоты линни х= —, у= —.. ЗЫ За(к 1396. Найти асимптоты декартова листа х= —., у= —. !!!к' !!м' 1397. Найти аснмптоты линни х= —, у= ! — 8 3 1~ — 4 ' 1(!к — 4) Общее исследование фупкцнй и линий В задачах 1398— функций и начертить 1398. у=, .
1400. у= —, 1402. у=- 1464 провести полное их графики. 1399. д = исследование данных 1 1 — кк ' 1401. д (х — )) (х — 2) (х — 3) = 1. 1403. д=( ' — П . 1 -+4х . х 2х — 1 1404. у = 32хк (хк 1)э 1406. у=х'+-,. 1 1405. у=- 1407. у= (к — 1)'" 1384. у (х' — ЗЬх+ 2Ь') = х' — Зах'+ ак 2385. (у+х+ 1)и =хк+ 1 1386. у=х!п (е+-,~. 1387. у=хе"'. ! ! 1388.
у=хек) +1. 1389. у=хагсзесх, 1390. у=2х+агс(8 х. 1391. у=, где ) (х) — многочлен (ОФО). ) (х) 1392. Линия задана параметрически уравнениями х=!р(1), у=ф(1), Доказать, что асимптоты, не параллельные координатным осям, могут быть только при тех значениях 1=(„при которых одновременно ! ! п! !р (() = СО и ! Нп кь (1) = со. Га, !ъ'.
исследоалнис Фкп!;цип и их гела!!кои х! 1409. д= —,. х(х+ !)-" 1411. д(х' — 1) =хх. !413. у= ах- 1415. (у — х)х'+8=0. 1421. у=к+к(пх. 1429. у=!псозх. 1431. д=х — 2агс!5х 1408 д = 3 " .,- 14!О. у(х — !) =хх. 14!2. у=— (х — !)х (х+ (р ' 14!4. ху=(к' — !) (х — 2). 14!6. д=,. 14! 7 д ххе-. 14!8. д= 1419. у=х — !п(х+1).
1420. д= !п(х'+ !). 1421. у=х'е — ". 1422. у = кхе-.". 1423. у=хе-хч'. 1424. у=, 1425. у=х+ — „ 1426. у = (! + - -) 1428. у=хе|их. 1430. у=созх — !псозх, ! 1432. д=е" — !х+з (без отыскания точек перегиба). 1433. д=е""х — з!пх (без отыскания точек перегиба). 1434. у = у' к" — х . 1435. д' = хх (х' — 4)". 1436. (Зу+к)"=27х. 1437. у = у' (х+ !)'-' — )Гака =!.
1433. д=(х — !)'ге(к+1)~. 1439. г(т=бх' — к'". 1440. (д — к)х = к'. 1441. (у — х')х = ха. 1442, де =х" +1. 1443. ух=хе — х. 14 44. д' = х (х — 1)з. 1445. дх=хх(х — !). хх — х !446. д ==., 3.! 1447. х'д + ху' = 2. 1448. уз = х' — '„(ст рофоида) (а ) 0). ! 449. 9де —.-- 4х' — х'. ! 450 25де тх (4 !а)а 145!.
г(з =к~ — х'. !452. х'ух=4(х — !), 1453. ух(2а — к) =х' (циссоида) (а)0). 1454. ххдх =- (х — !) (х — 2). 1455. х'де = (а+х)'(а — х) (контоида) (а) О). 1456 )5 з ( и 4)х(! .з) 1е57 дх (! а)х 1458. дгх' = (хх — 1)". 1459. ух =-2'ке ". 1460. д=еггх — х. !46!. д=е"' "'. 1462. 7(х) = —, ДО)=1. % с дополнительные вопеосы, еешение гехвненип вт ! ! 1463. д=1 — хе ~"' " прн х-ьО, у=1 прн х=О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
