КИ семинар 15 (1077112)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Занятие 15. Степенные ряды. Разложение функций в степенные ряды.

Область сходимости функционального ряда. Пусть функции f_n(z), , определены в области D. Выражение

, (1)

называется функциональным рядом. Если для числовой ряд сходится, то говорим, что функциональный ряд (1) сходится в точке z₀. Если в каждой точке числовые ряды сходятся, то ряд (1) называется сходящимся в области D₁.

Критерий Коши. Для того чтобы функциональный ряд (1) был сходящимся в области D₁ необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 и любого существовало N = N(ε, z) такое, что для всех n > N(ε, z) и .

Для определения области абсолютной сходимости функционального ряда (1) следует воспользоваться либо признаком Даламбера, либо признаком Коши. Именно, если или , то для определения области абсолютной сходимости ряда (1) следует решить функциональное неравенство l(z) < 1, а для определения области расходимости − функциональное неравенство l(z) > 1. При этом для изучения поведения ряда в граничных точках получаемой области, т. е. в точках, описываемых уравнением l(z) = 1, требуется дополнительное исследование.

Равномерная сходимость. Сходящийся в области D₁ функциональный ряд (1) называется равномерно сходящимся в этой области, если для любого ε > 0 найдется N = N(ε) такое, что для остатка ряда (1)

при всех n > N(ε) и имеет место оценка .

Критерий Коши равномерной сходимости. Для того чтобы функциональный ряд (1) был равномерно сходящимся в области D₁, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовало N = N(ε) такое, что для всех n > N(ε) и , выполнялись неравенства

,

Признак Вейерштрасса. Пусть функциональный ряд (1) сходится в области D₁, и пусть существует сходящийся знакоположительный числовой ряд такой, что для всех и для n > N₀ члены ряда (1) удовлетворяют условию . Тогда ряд (1) сходится абсолютно и равномерно в области D₁.

Ряд называется мажорирующим для ряда (1).

Теорема Вейерштрасса. Если члены функционального ряда (1), т. е. функции f_n(z), являются аналитическими в области D функциями и в любой замкнутой подобласти ряд (1) сходится равномерно, то:

а) сумма ряда (1), т. е. функция f(z), является аналитической в области D;

б) ряд (1) можно почленно дифференцировать любое число раз, т. е. справедливы равенства , , (2)

в) в любой замкнутой подобласти полученные в результате дифференцирования ряды (2) сходятся равномерно.

Область сходимости и свойства степенных рядов. Ряд

(3)

называется степенным по степеням (z − z₀). В частности, ряд

(4)

является степенным по степеням z. С помощью замены z − z₀ = Z ряд (3) сводится к ряду (4).

Теорема Абеля. Если степенной ряд (4) сходится в точке z = z₁ ≠ 0, то он абсолютно сходится для всех z таких, что |z| < |z₁|, причем сходимость будет равномерной в любом замкнутом круге |z| ≤r < |z₁|.

Если же ряд (2) расходится в точке z = z₂, то он расходится и для всех z таких, что |z| > |z₂|.

Из теоремы Абеля следует, что областью сходимости степенного ряда является круг с центром в начале координат (с центром в точке z₀), радиус которого может быть определен применением либо признака Даламбера, либо признака Коши, т. е. из условий

или

Отсюда для вычисления радиуса R круга сходимости получаем соотношения

или

Разложение функции в ряд Тейлора. Функция f(z), аналитическая в круге |z − z₀| < R, однозначно представима в этом круге своим рядом Тейлора

коэффициенты которого определяются по формулам

, n = 0, 1, ...

Следствие. Если функция f(z) аналитична в области D и , то в круге |z − z₀| < R(z₀, D), где R(z₀, D) − наименьшее расстояние от точки z₀ до границы области D или до ближайшей точки z', в которой f(z) не аналитична, f(z) может быть представлена в виде степенного ряда

коэффициенты которого определяются по формулам

, n = 0, 1, ...

Если z₀ = 0, то ряд Тейлора называют также рядом Маклорена.

Задачи: ОЛ-4, гл.12 § 3: 12.165, 169, 171, 173, 175, 177, 183, 185, 216, 218, 224, 226, 231, 243, 245, 246.

Найти области абсолютной сходимости и области равномерной сходимости следующих рядов ( ), заменяя в этих рядах (кроме 12.179, 12.181, 12.187—12.189) z на , исследовать их на абсолютную и равномерную сходимость.

Используя разложения основных элементарных функций, а также возможность почленного дифференцирования и интегрирования степенных рядов, разложить функции в ряд по степеням z и указать области сходимости полученных рядов:

12.224. sin 2z + 2z cos 2z. 12.231. .

Разложить функции в ряд по степеням z − z₀ и определить области сходимости полученных рядов: .

Домашнее задание: ОЛ-4, гл.12 § 3: 12.176, 178, 184, 193, 196, 200, 209, 207, 217, 219, 221, 222, 227, 230, 232, 238, 245.

ответы 12.126. Расходится во всех точках. 12.128. сходимость всюду абсолютная. 12.129. сходится абсолютно при . 12.130. сходимость всюду абсолютная. 12.165. Сходится абсолютно и равномерно в области .

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов семинаров