КИ семинар 2 (1077102)
Текст из файла
Занятие 2. Вычисление двойных интегралов в полярной системе координат. Вычисление площадей плоских фигур.
1. Двойной интеграл в полярных координатах. При переходе в двойном интеграле от прямоугольных координат x, y к полярным r, φ, связанным с прямоугольными координатами соотношениями
, 
, имеет место формула
Если область интегрирования D ограничена лучами 
и 
(
) и кривыми 
и 
, где 
и 
(
) ‑ однозначные функции на отрезке 
то двойной интеграл может быть вычислен по формуле
где 
. При вычислении интеграла 
величину φ полагают постоянной.
Если область интегрирования не принадлежит к рассмотренному виду, то ее разбивают на части, каждая из которых является областью данного вида.
2. Двойной интеграл в криволинейных координатах. В более общем случае, если 
‑ непрерывна и в двойном интеграле требуется oт переменит x, у перейти к переменным и, v, связанным с x, у непрерывными и дифференцируемыми соотношениями 
, 
, устанавливающими взаимнооднозначное и в обе стороны непрерывное соответствие между точками области D плоскости XOY и точками некоторой области D' плоскости UO'V, и при этом якобиан
сохраняет постоянный знак в области D, то справедлива формула
Пределы нового интеграла определяются по общим правилам на основании вида области D'.
3. Площадь в прямоугольных координатах. Площадь плоской области D равна
Если область определена неравенствами 
, 
, то
4. Площадь в полярных координатах. Если область D в полярных координатах r, φ определена неравенствами , 
,то
Задачи: ОЛ-4 гл. 8 § 1: 8.43, 44, 46, 48, 50, 56, 62, или ОЛ-5: 2160, 2162, 2164, 2166, 2169, 2171, 2180, 2182.
Перейти к полярным координатам r, φ и расставить пределы интегрирования по новым переменным в следующих интегралах:
2160. 
2162. 
, где S − треугольник, ограниченный прямыми y = x, y = −x, y = 1.
2164. , где область S ограничена лемнискатой 
.
2166. Переходя к полярным координатам, вычислить двойной интеграл 
, распространенный на область, ограниченную окружностью x2 + y2 = 2ax.
2169. Переходя к полярным координатам, вычислить 
.
2171. Вычислить двойной интеграл 
, распространенный на область S, ограниченную эллипсом 
, переходя к обобщенный полярным координатам r и φ по формулам: 
, 
2180. Найти площадь, ограниченную параболами y2 = 10x + 25 и y2 = −6x + 9.
2182. Найти площадь, ограниченную прямой r cos φ = 1 и окружностью r = 2. (Имеется в виду область, не содержащая полюса).
Домашнее задание: ОЛ-4 гл. 8 § 1: 8.42, 45, 49, 51, 60, 63, или ОЛ-5: 2161, 2163, 2167, 2170, 2181, 2183.
2167. Переходя к полярным координатам, вычислить двойной интеграл 
, где область интегрирования S − полукруг радиуса a с центром в начале координат, лежащий выше оси OX.
2181. Переходя к полярным координатам, найти площадь, ограниченную линиями x2 + y2 = 2x, x2 + y2 = 4x, y = 0.
2183. Найти площадь, ограниченную кривыми r = a(1 + cos φ) и r =a cos φ (a > 0).
Ответы:
2162. 
,
Характеристики
Тип файла документ
Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.
Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.
Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
