Презентация_сем4 (1076843), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Пусть m ≡(mod 2) n и n ≡(mod 2) p.• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitПример 4. На множестве целых чисел Z определим отношениеm ≡(mod 2) n ( m равно n по модулю 2 “ ) имеющее место тогда итолько тогда,”когда m − n делится на 2 : 2 | m − n .Это отношение рефлексивно и симметрично, поскольку m − m = 0делится на 2, и из того, что m − n делится на 2, вытекает, что n − mделится на 2.Покажем транзитивность. Пусть m ≡(mod 2) n и n ≡(mod 2) p. Если m−nделится на 2 и n−p делится на 2, то числа m, n и p либо все четные,либо нечетные.• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitПример 4.
На множестве целых чисел Z определим отношениеm ≡(mod 2) n ( m равно n по модулю 2 “ ) имеющее место тогда итолько тогда,”когда m − n делится на 2 : 2 | m − n .Это отношение рефлексивно и симметрично, поскольку m − m = 0делится на 2, и из того, что m − n делится на 2, вытекает, что n − mделится на 2.Покажем транзитивность. Пусть m ≡(mod 2) n и n ≡(mod 2) p. Если m−nделится на 2 и n−p делится на 2, то числа m, n и p либо все четные,либо нечетные.Поэтому m−p делится на 2, что означает m ≡(mod 2) p.• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitПример 4. На множестве целых чисел Z определим отношениеm ≡(mod 2) n ( m равно n по модулю 2 “ ) имеющее место тогда итолько тогда,”когда m − n делится на 2 : 2 | m − n .Это отношение рефлексивно и симметрично, поскольку m − m = 0делится на 2, и из того, что m − n делится на 2, вытекает, что n − mделится на 2.Покажем транзитивность.
Пусть m ≡(mod 2) n и n ≡(mod 2) p. Если m−nделится на 2 и n−p делится на 2, то числа m, n и p либо все четные,либо нечетные.Поэтому m−p делится на 2, что означает m ≡(mod 2) p.Таким образом, ≡(mod 2) — транзитивность.• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitНайдем фактор-множество множества целых чисел Z по данномуотношению эквивалентности.• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitНайдем фактор-множество множества целых чисел Z по данномуотношению эквивалентности.Рассмотрим множество чисел, связанных отношением ≡(mod 2) с числом0. Разность некоторого числа n и 0 будет нацело делиться на 2 толькоесли число n — четное. Таким образом, [0]≡(mod 2) — множество четныхчисел.• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitНайдем фактор-множество множества целых чисел Z по данномуотношению эквивалентности.Рассмотрим множество чисел, связанных отношением ≡(mod 2) с числом0.
Разность некоторого числа n и 0 будет нацело делиться на 2 толькоесли число n — четное. Таким образом, [0]≡(mod 2) — множество четныхчисел.Рассмотрим множество чисел, связанных отношением ≡(mod 2) с числом1. Разность некоторого числа m и 1 будет нацело делиться на 2 толькоесли число m — нечетное. Таким образом, [1]≡(mod 2) — множествонечетных чисел.• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitНайдем фактор-множество множества целых чисел Z по данномуотношению эквивалентности.Рассмотрим множество чисел, связанных отношением ≡(mod 2) с числом0. Разность некоторого числа n и 0 будет нацело делиться на 2 толькоесли число n — четное. Таким образом, [0]≡(mod 2) — множество четныхчисел.Рассмотрим множество чисел, связанных отношением ≡(mod 2) с числом1.
Разность некоторого числа m и 1 будет нацело делиться на 2 толькоесли число m — нечетное. Таким образом, [1]≡(mod 2) — множествонечетных чисел.В итоге получаем ровно 2 попарно различных классов эквивалентностипо данному отношению: [0]≡(mod 2) и [1]≡(mod 2) .• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitНайдем фактор-множество множества целых чисел Z по данномуотношению эквивалентности.Рассмотрим множество чисел, связанных отношением ≡(mod 2) с числом0. Разность некоторого числа n и 0 будет нацело делиться на 2 толькоесли число n — четное. Таким образом, [0]≡(mod 2) — множество четныхчисел.Рассмотрим множество чисел, связанных отношением ≡(mod 2) с числом1. Разность некоторого числа m и 1 будет нацело делиться на 2 толькоесли число m — нечетное.
Таким образом, [1]≡(mod 2) — множествонечетных чисел.В итоге получаем ровно 2 попарно различных классов эквивалентностипо данному отношению: [0]≡(mod 2) и [1]≡(mod 2) .Можем записатьZ/ ≡(mod 2) ∼ {0, 1}.• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitЗадача 4.8 На множестве рациональных дробей вида a/b , a ∈ Z ,b ∈ N задано бинарное отношениеτ = {(a/b, c/d) | ad = cb}.Показать, что τ является отношением эквивалентности.
Что является фактор-множеством множества рациональных дробей по данномуотношению?• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitЗадача 4.8 На множестве рациональных дробей вида a/b , a ∈ Z ,b ∈ N задано бинарное отношениеτ = {(a/b, c/d) | ad = cb}.Показать, что τ является отношением эквивалентности. Что является фактор-множеством множества рациональных дробей по данномуотношению?Задача 4.9 Пусть в R3 задана плоскость ax + by + cz = 0 .Точки с радиус-векторами r1 и r2 связаны отношением τ , если((r1 − r2), n) = 0 , где n — нормаль к плоскости, а (·, ·) — скалярноепроизведение.
Показать, что τ — отношение эквивалентности. Накакие классы эквивалентности разбивается R3 . Что будет фактормножеством множества R3 по данному отношению эквивалентности.• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitЗадача 4.8 На множестве рациональных дробей вида a/b , a ∈ Z ,b ∈ N задано бинарное отношениеτ = {(a/b, c/d) | ad = cb}.Показать, что τ является отношением эквивалентности. Что является фактор-множеством множества рациональных дробей по данномуотношению?Задача 4.9 Пусть в R3 задана плоскость ax + by + cz = 0 .Точки с радиус-векторами r1 и r2 связаны отношением τ , если((r1 − r2), n) = 0 , где n — нормаль к плоскости, а (·, ·) — скалярноепроизведение.
Показать, что τ — отношение эквивалентности. Накакие классы эквивалентности разбивается R3 . Что будет фактормножеством множества R3 по данному отношению эквивалентности.Задача 4.10 Пусть F — множество функций, непрерывных на [a, b] .Исследовать свойстваZ отношенияZ τ:bf (x)τ g(x) , еслиbf (x) dx =aем эквивалентности?g(x) dx . Является ли τ отношениa• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitИндексированное семейство множеств {Bi}i∈I называется разбиением [множества A , если:1)Bi = A ,i∈I2) если i 6= j , то Bi ∩ Bj = ∅ .• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitИндексированное семейство множеств {Bi}i∈I называется разбиением [множества A , если:1)Bi = A ,i∈I2) если i 6= j , то Bi ∩ Bj = ∅ .Таким образом, разбиение множества A — это семейство попарно непересекающихся подмножеств A , объединение которых равно A .• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitИндексированное семейство множеств {Bi}i∈I называется разбиением [множества A , если:1)Bi = A ,i∈I2) если i 6= j , то Bi ∩ Bj = ∅ .Таким образом, разбиение множества A — это семейство попарно непересекающихся подмножеств A , объединение которых равно A .Например, множества [0, 1/3) , [1/3, 2/3) и [2/3, 1] образуют разбиениеотрезка [0, 1] .• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitИндексированное семейство множеств {Bi}i∈I называется разбиением [множества A , если:1)Bi = A ,i∈I2) если i 6= j , то Bi ∩ Bj = ∅ .Таким образом, разбиение множества A — это семейство попарно непересекающихся подмножеств A , объединение которых равно A .Например, множества [0, 1/3) , [1/3, 2/3) и [2/3, 1] образуют разбиениеотрезка [0, 1] .Теорема.
Любое отношение эквивалентности определяет однозначно некоторое разбиение данного множества и обратно, любое разбиениемножества однозначно определяет некоторое отношение эквивалентности на нем.• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitИндексированное семейство множеств {Bi}i∈I называется разбиением [множества A , если:1)Bi = A ,i∈I2) если i 6= j , то Bi ∩ Bj = ∅ .Таким образом, разбиение множества A — это семейство попарно непересекающихся подмножеств A , объединение которых равно A .Например, множества [0, 1/3) , [1/3, 2/3) и [2/3, 1] образуют разбиениеотрезка [0, 1] .Теорема. Любое отношение эквивалентности определяет однозначно некоторое разбиение данного множества и обратно, любое разбиениемножества однозначно определяет некоторое отношение эквивалентности на нем.Задача 4.11 Пусть A — конечное множество.
Какое отношение эквивалентности на нем дает наибольшее число классов эквивалентности.Сколько? Сколькими способами можно задать отношение эквивалентности, разбивающее A на два класса?• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitДомашнее задание4.12 Отношение σ связывает клетки шахматной доски: две клеткисвязаны, если с одной на другую можно перейти ходом коня. Записатьотношение с помощью логических высказываний, исследовать его свойства.4.13 Пусть π — отношение на N × N : (a, b) π (c, d) , если a ≤ c иb ≥ d . Является ли π отношением порядка и почему?4.14 Пусть A — произвольное множество и ρ — отношение намножестве 2A ×2A ( прямом произведении множества всех подмножествA на себя).(P, Q)ρ(X, Y ) , если (P 4Q) ⊆ (X4Y ) ;Является ли ρ отношением порядка?4.15 Пусть M —некоторое множество, а 2M \ {∅} — множествовсех его подмножеств без пустого множества. Два множества из 2Mсвязаны отношением τ , если они имеют хотя бы одно непустое общееподмножество.
Является ли в общем случае τ отношением порядка.Какими свойствами будет обладать отношение τ , если M = {a, b}• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit4.16 Пусть f : R → R — отображение, и x1 τ x2 если и только еслиf (x1) = f (x2) . Показать, что τ является отношением эквивалентности.Указать фактор-множество R/τ .• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
