Презентация_сем4 (1076843), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Отсюдаимеем c = at1t2 , т.е. a — делитель c .• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitПример 2.Зададим на множестве натуральных чисел N следующее отношение:a | b в том и только том случае, когда a является делителем b “.”Это отношение рефлексивно, поскольку любое число является делителемсамого себя.Покажем антисимметричнсть.Пусть a делит b и, с другой стороны, bделит a .Тогда найдется натуральное число t1 , такое, что b = at1 ,инайдется t2 , такое, что a = bt2 .Отсюда b = bt2t1 , что на множественатуральных чисел возможно только при t1 = t2 = 1 .Следовательно,a = b.Покажем транзитивность.Если a делит b , а b делит c , то найдутсятакие натуральные числа t1 , t2 , такие, что b = at1 и c = bt2 .

Отсюдаимеем c = at1t2 , т.е. a — делитель c .Таким образом, отношение делимости на множестве N является отношением порядка.• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitПример 2.Зададим на множестве натуральных чисел N следующее отношение:a | b в том и только том случае, когда a является делителем b “.”Это отношение рефлексивно, поскольку любое число является делителемсамого себя.Покажем антисимметричнсть.Пусть a делит b и, с другой стороны, bделит a .Тогда найдется натуральное число t1 , такое, что b = at1 ,инайдется t2 , такое, что a = bt2 .Отсюда b = bt2t1 , что на множественатуральных чисел возможно только при t1 = t2 = 1 .Следовательно,a = b.Покажем транзитивность.Если a делит b , а b делит c , то найдутсятакие натуральные числа t1 , t2 , такие, что b = at1 и c = bt2 .

Отсюдаимеем c = at1t2 , т.е. a — делитель c .Таким образом, отношение делимости на множестве N является отношением порядка.Это отношение на множество целых чисел Z будет только предпорядком, поскольку не будет антисимметричным.• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitПример 2.Зададим на множестве натуральных чисел N следующее отношение:a | b в том и только том случае, когда a является делителем b “.”Это отношение рефлексивно, поскольку любое число является делителемсамого себя.Покажем антисимметричнсть.Пусть a делит b и, с другой стороны, bделит a .Тогда найдется натуральное число t1 , такое, что b = at1 ,инайдется t2 , такое, что a = bt2 .Отсюда b = bt2t1 , что на множественатуральных чисел возможно только при t1 = t2 = 1 .Следовательно,a = b.Покажем транзитивность.Если a делит b , а b делит c , то найдутсятакие натуральные числа t1 , t2 , такие, что b = at1 и c = bt2 .

Отсюдаимеем c = at1t2 , т.е. a — делитель c .Таким образом, отношение делимости на множестве N является отношением порядка.Это отношение на множество целых чисел Z будет только предпорядком, поскольку не будет антисимметричным.Например, 2 делится на −2 , и −2 делится на 2 , однако 2 6= −2 .• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitПример 3.Рассмотрим множество всех подмножеств множества A — 2(A) . Покажем, что отношение включения ⊆ на множестве 2(A) есть порядок.• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitПример 3.Рассмотрим множество всех подмножеств множества A — 2(A) . Покажем, что отношение включения ⊆ на множестве 2(A) есть порядок.Это отношение рефлексивно, т.к. для любого множества X справедливоX⊆X.• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitПример 3.Рассмотрим множество всех подмножеств множества A — 2(A) .

Покажем, что отношение включения ⊆ на множестве 2(A) есть порядок.Это отношение рефлексивно, т.к. для любого множества X справедливоX⊆X.Поскольку для любых двух множеств X и Y из (X ⊆ Y ) и (Y ⊆ X)следует, что X = Y , рассматриваемое отношение антисимметрично.• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitПример 3.Рассмотрим множество всех подмножеств множества A — 2(A) . Покажем, что отношение включения ⊆ на множестве 2(A) есть порядок.Это отношение рефлексивно, т.к. для любого множества X справедливоX⊆X.Поскольку для любых двух множеств X и Y из (X ⊆ Y ) и (Y ⊆ X)следует, что X = Y , рассматриваемое отношение антисимметрично.Из определения включения вытекает, что если (X ⊆ Y ) и (Y ⊆ Z) ,то X ⊆ Z .

Следовательно, отношение транзитивно.• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitПример 3.Рассмотрим множество всех подмножеств множества A — 2(A) . Покажем, что отношение включения ⊆ на множестве 2(A) есть порядок.Это отношение рефлексивно, т.к.

для любого множества X справедливоX⊆X.Поскольку для любых двух множеств X и Y из (X ⊆ Y ) и (Y ⊆ X)следует, что X = Y , рассматриваемое отношение антисимметрично.Из определения включения вытекает, что если (X ⊆ Y ) и (Y ⊆ Z) ,то X ⊆ Z . Следовательно, отношение транзитивно.Таким образом, отношение рефлексивно, антисимметрично и транзитивно, т. е. это отношение порядка.• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitЗадачи.4.1 Исследовать свойства (рефлексивность, иррефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность) следующих отношений:(а) M = {a, b, c, d} ,Φ = {(a, a), (a, b), (c, a), (b, d), (a, d), (b, c)};• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitЗадачи.4.1 Исследовать свойства (рефлексивность, иррефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность) следующих отношений:(а) M = {a, b, c, d} ,Φ = {(a, a), (a, b), (c, a), (b, d), (a, d), (b, c)};(б) x ϕ y, если (x − y) ≤ 2 , x ∈ R , y ∈ R .• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitЗадачи.4.1 Исследовать свойства (рефлексивность, иррефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность) следующих отношений:(а) M = {a, b, c, d} ,Φ = {(a, a), (a, b), (c, a), (b, d), (a, d), (b, c)};(б) x ϕ y, если (x − y) ≤ 2 , x ∈ R , y ∈ R .4.2 Пусть X = {x | x ∈ [0, 1]} , ρ = {(x, y) | x, y ∈ X, x < y и |x − y| <0.5} .

Построить графики отношений ρ и ρ−1 . Исследовать свойстваотношения ρ . Что можно сказать о свойствах обратного отношения?• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitЗадачи.4.1 Исследовать свойства (рефлексивность, иррефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность) следующих отношений:(а) M = {a, b, c, d} ,Φ = {(a, a), (a, b), (c, a), (b, d), (a, d), (b, c)};(б) x ϕ y, если (x − y) ≤ 2 , x ∈ R , y ∈ R .4.2 Пусть X = {x | x ∈ [0, 1]} , ρ = {(x, y) | x, y ∈ X, x < y и |x − y| <0.5} . Построить графики отношений ρ и ρ−1 .

Исследовать свойстваотношения ρ . Что можно сказать о свойствах обратного отношения?4.3 Пусть τ — отношение на N × N : (a, b) τ (c, d) , если a ≤ c иb ≤ d . Является ли τ отношением порядка и почему?• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitЗадачи.4.1 Исследовать свойства (рефлексивность, иррефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность) следующих отношений:(а) M = {a, b, c, d} ,Φ = {(a, a), (a, b), (c, a), (b, d), (a, d), (b, c)};(б) x ϕ y, если (x − y) ≤ 2 , x ∈ R , y ∈ R .4.2 Пусть X = {x | x ∈ [0, 1]} , ρ = {(x, y) | x, y ∈ X, x < y и |x − y| <0.5} .

Построить графики отношений ρ и ρ−1 . Исследовать свойстваотношения ρ . Что можно сказать о свойствах обратного отношения?4.3 Пусть τ — отношение на N × N : (a, b) τ (c, d) , если a ≤ c иb ≤ d . Является ли τ отношением порядка и почему?4.4 Пусть υ определено на множестве положительных рациональныхчисел: (a/b)υ(с/d) , если ad ≤ bc . Показать, что υ являетсяотношением линейного порядка.• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit4.5 Пусть A — произвольное множество и σ — отношение намножестве 2A ×2A ( прямом произведении множества всех подмножествA на себя):(P, Q)σ(X, Y ), если(P ⊆ X) и (Q ⊆ Y );Является ли σ отношением порядка?• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit4.5 Пусть A — произвольное множество и σ — отношение намножестве 2A ×2A ( прямом произведении множества всех подмножествA на себя):(P, Q)σ(X, Y ), если(P ⊆ X) и (Q ⊆ Y );Является ли σ отношением порядка?4.6 Рассмотрим множество квадратных матриц размером 2 × 2 ,элементами которых являются целые числа.

Является ли заданное нижеотношение τ отношением порядка? Линейного порядка?(а) Aτ B , если aij ≤ bij , i, j = 1, 2 ;• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit4.5 Пусть A — произвольное множество и σ — отношение намножестве 2A ×2A ( прямом произведении множества всех подмножествA на себя):(P, Q)σ(X, Y ), если(P ⊆ X) и (Q ⊆ Y );Является ли σ отношением порядка?4.6 Рассмотрим множество квадратных матриц размером 2 × 2 ,элементами которых являются целые числа. Является ли заданное нижеотношение τ отношением порядка? Линейного порядка?(а) Aτ B , если aij ≤ bij , i, j = 1, 2 ;(б) Aτ B , если aij ≤ bij , i, j = 1, 2 и хотя бы для одной пары элементовнеравенство строгое.• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit4.5 Пусть A — произвольное множество и σ — отношение намножестве 2A ×2A ( прямом произведении множества всех подмножествA на себя):(P, Q)σ(X, Y ), если(P ⊆ X) и (Q ⊆ Y );Является ли σ отношением порядка?4.6 Рассмотрим множество квадратных матриц размером 2 × 2 ,элементами которых являются целые числа.

Является ли заданное нижеотношение τ отношением порядка? Линейного порядка?(а) Aτ B , если aij ≤ bij , i, j = 1, 2 ;(б) Aτ B , если aij ≤ bij , i, j = 1, 2 и хотя бы для одной пары элементовнеравенство строгое.4.7 Пусть F — множество функций, непрерывных на [a, b] . Исследовать свойства отношенияτ: Z bZ bf (x) dx ≤f (x)τ g(x) , еслиaнием предпорядка? порядка?g(x) dx .Является ли τ отноше-a• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitОтношение эквивалентности.Определение 4.1. Бинарное отношение называется: эквивалентностью, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.Определение 4.2. Пусть ρ ⊆ A2 — экивалентность. Множество[x]ρ = {y | yρx}называют классом эквивалентности элемента x по отношению ρ .Определение 4.3. Множество всех классов эквивалентности поданному отношению эквивалентности ρ на множестве A называетсяфактор-множеством множества A по отношению ρ и обозначаетсяA/ρ , т.е.A/ρ = {[x]ρ | x ∈ A}.• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitПример 4.

На множестве целых чисел Z определим отношениеm ≡(mod 2) n ( m равно n по модулю 2 “ ) имеющее место тогда итолько тогда,”когда m − n делится на 2 : 2 | m − n .• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitПример 4. На множестве целых чисел Z определим отношениеm ≡(mod 2) n ( m равно n по модулю 2 “ ) имеющее место тогда итолько тогда,”когда m − n делится на 2 : 2 | m − n .Это отношение рефлексивно и симметрично, поскольку m − m = 0делится на 2, и из того, что m − n делится на 2, вытекает, что n − mделится на 2.• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitПример 4. На множестве целых чисел Z определим отношениеm ≡(mod 2) n ( m равно n по модулю 2 “ ) имеющее место тогда итолько тогда,”когда m − n делится на 2 : 2 | m − n .Это отношение рефлексивно и симметрично, поскольку m − m = 0делится на 2, и из того, что m − n делится на 2, вытекает, что n − mделится на 2.Покажем транзитивность.

Характеристики

Список файлов семинаров