Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. - Квантовая физика (2004) (1076130), страница 41
Текст из файла (страница 41)
е. 41Р = ъ(г) 41г. Наиболее вероятным расстоянием электрона от ядра будет такое расстояние г„для которого радиальная плотность вероятности и (г) будет максимальна, Взяв волновые функции электрона в атоме водорода нз табл. 5.1, найдем, что в 1е-состоянии Г г Г 2г1 и, (г) = Аг ехр( — ), А = сапы, а) а в 2р-состояниях 4г2 (г) = Вг ехр( - — ), В = сопки 4 а) Приравнивая производные этих функций нулю, находим, что в 1е-состоянии гы = а, т.
е. в этом состоянии наиболее вероятно обнаРулопь электрон на расстоянии, равном радиусу первой боровской орбиты. Для 2р-состояний получаем, что га — -4а. И в этих состояниях наиболее вероятное расстояние электрона от ядра равно радиусу соответствующей (второй) боровской орбиты. Таким образом, хотя в квантовой механике не используется представление о движении электрона по определенным траекториям, радиусам боровских орбит и в этой теории можно придать физический смысл наиболее вероятных расстояний электрона от ядра. 275 Задача 5.5.
Определите потенциал электрического поля для основного состояния атома водорода на различных расстояниях от ядра. Решениа Искомый потенциал складывается из потенциала поля ядра и потенциала электронного облака, связанного с движением электрона вокруг ядра: <р = (р, + <р,. Согласно вероятностному смыслу волновой функции, объемная плотность электрического заряда в электронном облаке равна р, = и = — е~у,щ~ . Потенциал поля такого распределенного в пространстве заряда можно определить, решив уравнение Пуассона для потенциала: Г Ре ао Если в качестве масштаба расстояний и характерного потенциала в атоме водорода выбрать боровский радиус а и потенциал поля ядра на этом расстоянии фр = е/(4паса), то в безразмерном виде уравнение Пуассона запишется как 1 11, йр,'1 — (г — '~ = 4ехр( — 2г).
,ь~ ь~ Это уравнение представим в виде 12 — з(лр, ) = 4ехр(-2г), гй Решением этого неоднородного дифференциального уравнения явля- ется функция 1'1 1 ф, =(-+1)ехр( — 2г) —. 1,г г Так как потенциал поля ядра в используемых безразмерных переменных имеет вид <р„= 1/г, то окончательно для потенциала электрического поля в атоме получаем (1 у=<р, +<р, =~ — +1 ехр( — 2г).
276 Нозврашаясь к размерным величинам, запишем для основного соо„иия атома водорода распределение в пространстве потенциала электрического поля: ч(")= — +1 ехр —— Анализ этого выражения показывает, что вблизи ядра 1г « а) т, е, электрический потенциал в этой области пространства определяется практически только положительным зарядом ядра. При удалении от ядра поле отрицательно заряженного электронного облака начинает экраиировать поле ядра и иа достаточно больших расстояниях от ядра 1г >> а) е ) 2г'1 у(г) = ехр~ — ), 4яаса (, а ) т. е. потерциал очень быстро (экспонеициально) убывает по мере уда- ления от(ядра.
5.4. Квантовые числа и их физический смысл Как следует из решения уравнения Шредингера для атома водорода, квантовое состояние электрона в этом атоме (можно сказать и квантовое состояние атома) полностью определяется тремя квантовыми числами. "Задайте значения квантовых чисел, и я полностью опишу свойства атома", — так может современный Физик перефразировать известное изречение Архимеда. Каждое из квантовых чисел принимает только целочисленные значения и определяет, т. е. предсказывает, результаты измерения основных физических величин в заданном квантовом состоянии атома. 1.
Главное квантовое число и. Это квантовое число принимает значения п = 1, 2, 3, ... 277 и определяет полную энергию электрона в любом квантовом со- стоянии тое 1 13,6 Л вЂ” — эВ. 32 й и ео (5.37) Можно отметить, что эти значения энергии являются собственными значениями гамильтониана (5.17а). Поэтому в связанном состоянии электрон в атоме водорода имеет дискретный энергетический спектр, лежащий в области отрицательных значений и имеющий точку сгущения Е = О. 2. Орбитальное (азимутальное) квантовое число 1. В квантовых состояниях с заданным значением главного квантового числа п азимугальное квантовое число может иметь следующие значения: 1 = О, 1, 2, 3, ..., (и — 1). Стационарные волновые функции ц~„~ (г, О, <р), описывающие различные квантовые состояния атома (см.
5.3), являются собственными функциями не только оператора полной энергии Н, но и оператора квадрата момента импульса Ь, т. е. Е ~Мньн = 1(1+1) л 'т'„ьн. (5.38) Проанализируем эту формулу квантования момента импульса (5.38). Сравнивая ее с условием (5.3) квантования момента импульса движущегося электрона в теории Бора, можно заметить, что эти условия ие совпадают. И дело не только в различии числовых значений, рассчитанных по этим формулам.
Принципиальное 278 Следовательно, в любом квантовом состоянии атом обладает определенным значением квадрата момента импульса, причем модуль орбитального момента импульса движущегося в атоме электрона однозначно определяется орбитальным квантовым числом: ичие этих соотношений состоит в том, что в квантовой т о ии ы состояния атома с левым моментом им льса. Во е ео Т 2пг который можно охарактеризовать магнитным моментом: епг р =ЮГ 2 Связь механического и магнитного моментов при этом определя- ется гиромагнитным отношением р" е ГО 2,' (5.39) 279 во х г-состояниях и, в частности, в основном 1г-состоянии, когда О из формулы (5.38) получаем 1=0.
При классическом описании движения электрона в атоме по определенной траектории (орбите) в любом состоянии атом должен обладать ненулевым моментом импульса. 0 т подтверждает существование квантовых состояний а ма с нулевыми орбитальными моментами. Следовательно, опыт подтверждает, что только отказ от классического траекторного способа описания движения электрона в атоме позволяет правильно рассчитать и предсказать свойства атома. Вероятностный способ описания движения частиц в квантовой механике является единственно правильным способом описания свойств атомных систем — таков вывод современной физики.
Так как движущийся вокруг ядра электрон является заряженной частицей, то такое движение обусловливает протекание некоторого замкнутого тока в атоме, который можно охарактеризовать орбитальным магнитным моментом р". В теории ора, когда с позиции классической теории рассматривается уговое движение электрона по орбите радиуса г со скоростью о, модуль орбитального механического момента равен ь" =тоог. Если время полного оборота электрона Т, то такому движению соответствует замкнутый ток р =ГоТ.=)та|1+1).
(5.40) Здесь универсальная постоянная пв — — — — — 0,927 10 ДжуТл ей г, служит единицей измерения магнитных моментов атомов и называется магпетоном Бора. Если атом переходит из одного квантового состояния в другое с испусканием (поглощением) фотона излучения, то возможны лишь такие переходы, для которых орбитальное квантовое число 1 изменяется на единицу.
Это правило, согласно которому для оптических переходов М =х1, называется правилом отбора. Нар бр бу но ение стон осит или вносит не только квант эн гии, но и вполне о е еле ный момент льса изменяю ий о би- тальное квантовое число эле она всег а на едину 280 Так как заряд электрона отрицателен, то для орбитального движения направление вектора магнитного момента ррм противоположно направлению вектора механического момента импульса Х (рис.
5.8). Для расчета орбитального магнитного Рис. 5.8. Орбнтапьные момента в квантовой теории следует определить пространственную плотность электРического тока 7е чеРез плотность потока веРоЯтностей 7п по фоРмУле 7е = — е~. Плотность потока вероятности при этом можно найти по формуле (3.23), зная волновую функцию электрона в заданном квантовом состоянии атома. Точный квантово-механическнй расчет гиромагнитного отношения также приводит к формуле (5.39). Итак, в любом квантовом состоянии атом водорода обладает не только механическим моментом Е, модуль которого определяется по формуле (5.38), но и магнитным моментом 3 Магнитное квантовое число т. В квантовом состоянии с заданным м значением орбитального квантового числа 1 магнитное квантов нтовое число может принимать 21+1 различных значений из ряда т=О, +1, +2,..., Ы.
физический смысл магнитного квантового числа вытекает из того, что волновая функция Чг„~ (г, О, 1Р), описывающая квантовое состояние электрона в атоме водорода, является собственной функцией оператора проекции момента импульса Ц, причем ~ЛпЬл = тМйл Поэтому из общих положений квантовой механики (см. 3.5) следует, что проекция момента импульса электрона на выделенное в пространстве направление г может иметь только определенные значения, равные (5.41) Направл4йие г в пространстве обычно выделяется внешним полем (н имер, магнитным или электрическим), в котором находится ато .
я Так как формула квантования проекции механического момента (5.41) соответствует вполне определенным направлениям ори- +2 Я ентации в пространстве вектора Е (рис. + я 5 9), эту формулу обычно называют формулой пространственного квантования. 0 С точки зрения классического представления об электронной орбите с учетом перпендикулярности вектора Х к плоскости -2а орбиты, из выражения (5.41) определяются возможные дискретные расположения электронных орбит в пространстве по отношению к направлению внешнего поля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
