Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. - Квантовая физика (2004) (1076130), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Это соотношение утверждает, что стационарными являются только такие орбиты, на длине которых укладывается целое число длин волн де Бройля движущегося по орбите электрона, Задача 5.2. Покажите, как изменится частота излучения атома водорода, если учесть конечное значение массы ядра. Решение В такой постановке задачи электрон и ядро вращаются вокруг неподвижного центра масс. Если через г, и г„обозначить радиусы круговых йудит электрона и ядра, то, согласно определению центра масс, глег, = Мг,'ьгде те н М вЂ” массы электрона и ядра соответственно. Из равенства ускорений электрона и ядра вытекает условие равенства их угловых скоростей вращения: 6 е е я — = — =а г, г, где е, и е, — скорости электрона и ядра соответственно.
С учетом движения ядра момент импульса атома 1,=шее,г, +Ме,г, =в аг, +Мал~~. В качестве основных уравнений теории запишем условие вращения электрона по круговой орбите и условие Бора квантования момента импульса атома: г г е и~юг = 4яне (ге+ га ) жеа~г+Магг =лл, л=1, 2, 3, ... гб1 Если расстояние между электроном и ядром обозначить через г = г, + г„= г (1+во/М), то после преобразований эти соотношения примут вид е На "= 4паог На"= Л, =1,2,З,...
Здесь введена приведенная масса системы электрон — ядро Н= М в +М Решая полученную систему уравнений, находим для стационарных состояний атома (л = 1, 2, ...) 4 йгл2 Н,4 "и = и а„= 2 1бх2е243 3 ' о Полная энергия атома г воо, Мо, е На г е Е= '+ — '— 2 2 4лло(г,+г,) 2 4авог Подставляя значения г„и а„, получаем формулу квантования энер- гии атома Е„=— Не .
†, л = 1, 2,... З2хгеоздг л' Отсюда находим частоты спектральных линий излучения такого ато- ма где модифицированная постоянная Ридберга Не Я З2л ео" "'о 1+— М 2б2 расчет показывает, что поправка частоты (или длины волны) излучения атома водорода за счет учета движения ядра составляет доли процента. Однако благодаря чрезвычайной точности спектроскопических методов появляется возможность экспериментально обнаружить различие (изотопический сдвиг) в спектрах излучения изотопов водорода — атомов, отличающихся массами ядер. Практически именно так, спектроскопическими методами, был открыт изотоп тяжелого водорода — дейтерий О, для которого Мо = 2М„, и нзотопический сдвиг длин волн головных линий в серии Бальмера Но (Х = 656,28 нм) и Ро (А = 656,11 нм) составляет 0,17 нм. Задача 5.3. Оцените уширение спектральных линий излучения атомов. решение.
Можно выделить две основные причины уширения спектральных линий. 1. Радиационное уширение. Атом в возбужденном состоянии находится конечное время т порядка 10 с. Это приводит к неопределенности энергии возбужденного атома, которую, как отмечалось в 2.3, можно оценить с помощью соотношения неопределенностей: ЛЕ = Ыт. Вследствие этого частота излучения атома имеет неопределенность ЬЕ„ЛЕь 1 1 г й и значение которой порядка 10 рад/с (Яо = 10 ~ нм). а 2. Доплеровское уширение. Природа этого эффекта связана с тепловым движением излучающих атомов.
Пусть атом массой ео, имеющий импульс ро, испускает в некотором направлении фотон с импульсом рф =л(г, где ~)г~= — = —. ю ого с с Закон сохранения импульса позволяет определить импульс атома после излУчениЯ: Р = Ро — йк. ПоэтомУ в РезУльтате излУчениЯ фотона атом приобретает дополнительную кинетическую энергию отдачи (Ро й)г) Ро 2ео 2ео 2ео ео йг г — — — соя (х. 2есг ее 263 Здесь а — угол между направлением первоначального движения атома н направлением излучения фотона.
Этот угол может изменяться в пределах от -я до +к. Частоту излучения движущегося атома определим из закона сохранения энергии: Вю=(Ег — Е„) — Е „. Отсюда ш=аъ — Ьгд,1йюд. Сдвиг середины спектральной линии прн этом незначителен н равен во~ ошс = г. 2 2 Прн гас = 3.10'~ радгс и тс —— 10 ~ кг получаем огас = 5 10 рад/с (Ыс = 10 нм). Таким сдвигом в силу его малости можно пренебречь. -8 Величина а,.
Ро~Ъ ~'о тес с называется доплеровской шириной спектральной линии. Если в качестве характерной скорости движения атома взять его среднюю скорость при Т = 1000 К, которая составляет приблизительно 10 мlс, то для гас = 3 10м рад/с получаем бгсд = 10~ рад/с (ЬЛд = 2 10 ~им). 5.3. Квантово-механическое описание водородоподобных атомов Как следует из соотношений, полученных при решении задачи 5.1, а волны е Б ойля дв егося в атоме эле она срав- пима с азм ом атома. Мы знаем, что в этих условиях нельзя пренебречь волновыми свойствами электрона и его движение в атоме не может быть описано законами классической физики.
Поэтому атомные системы являются важнейшими объектами физики, для описания которых следует обязательно использовать законы квантовой механики. При этом существенно, что для такого описания квантовая механика не требует каких-либо дополнительных предположений, условий и постулатов, аналогичных постулатам в теории Бора. Сформулируем постановку стационарной задачи квантовой ханнкн для водородоподобного атома, описывающей движение электрона в электрическом поле неподвижного ядра с зарядом +Ее, где У =1 для атома водорода и У = 2, 3, 4,... для других водородоподобных атомов (ионов).
Такая модель является важнейшей моделью атомной физики. Для этой модели потенциал поля, в котором движется электрон, может быть записан точно. Поэтому все выводы квантовой теории водородоподобных атомов могут быть проверены непосредственно в эксперименте. Потенциальная энергия электрона в электрическом поле ядра определяется как ~ег У(г) = —. 4пвог (5.16) Йтр= Етр (5.17 а) с гамильтонианом 265 Движение электрона в таком поле можно рассматривать как движение в некоторой сферической потенциальной яме (рис.
5.6). По аналогии с задачей о движении частицы в потенциальной яме простой формы, рассмотренной в 4.2, можно ожидать, что спектр энергии электрона в атоме будет дискретным, т. е. состоять из отдельных энергетических уровней со значениями полной энергии зле)г)рона Е1, Е2, Ез и т. д. Для атома~водорода этот энергетический спектр должен совпасть с Г полученным в теории Бора спектром 4 энергий (см. формулу (5.12)), который подтверждается в оптических экспериментах.
Е 1 Итак, для описания возможных квантовых состояний электрона в дородоподо ном атоме и опредеРие. Б.б. Сферическая потенциальная ямалля водоролоподобления спектра полной энергии элеи ного атома трона в этих состояниях необходимо найти регулярные решения стационарного уравнения Шредингера й 2 и = — и+и. 2, (5.17б) 1 '1=А+ — 25а,д можно определить как оператор, содержащий радиальную часть (5.18) и угловую часть а(. а~ 1 а' ла а — — — — 1зшв — )+ — 2 (5.19) '= 1пеав~ ав! з1п2еар' 266 Здесь Š— полная энергия электрона в квантовом состоянии, описываемом волновой функцией у, а в~ — масса электрона. При этом оператор потенциальной энергии (7 есть оператор умножения на функцию У(г), заданную соотношением (5.16). Искомые решения уравнения Шредингера (5.17а), (5.17б) явлаются собственными функциями оператора полной энергии Н, н их нахождение связано с решением достаточно сложного дифференциального уравнения.
Учитывая, что эта задача является одной из важных задач квантовой физики, изложим схему нахождения таких решений достаточно подробно. При этом нам придется использовать специальные функции математической физики— сферические функции.
Для некоторых конкретных квантовых состояний они будут выписаны в точной аналитической форме как комбинации известных элементарных функций. Более подробные сведения о свойствах сферических (шаровых) функций можно найти в справочной математической литературе.
Движение электрона в атоме удобнее исследовать, вводя сферическую систему координат, центр которой совпадает с центром ядра атома. В такой системе координат волновая функция электрона имеет вид у = у(г, Е, <р), а оператор Лапласа Согласно формулам (3.32), оператор квадрата момента имьса в сферической системе координат определяется как йзЛа, Следовательно уравнение Шредингера (5.17а) прев, р. образуется к виду ~2 1 2е2 — ЛЛ+ з т. Ч- — Чг= ЕМ. (5.20) 2то 2ш г~ 4каог решение этого уравнения будем искать в виде произведения двух функций с разделяющимися переменными: у= Х(г)у(Е, р). (5.21) Заметим, что если два оператора содержат дифференциальные операции по разным переменным, то результат их последовательного действия на волновую функцию не зависит от порядка их следования, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
