Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. - Квантовая физика (2004) (1076130), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Легко убедиться, что энергетический спектр (см. выражение (4.70)) при бесконечном возрастании глубины ямы, т. е. при 1 11 111 оо () -у, переходит в полученный рао нее спектр для одномерной ямы с бесконечно высокими стенками (см. (4.16)). Качественный вид волновых функций (4.69) для данной задачи приведен на рис. 4.23. Внутри потенциальной ямы волновые функции имеют вид синусоид, а вне ямы убывают по экспоненциальному закону.
Отметим, что для состояний с большей энергией (и, следовательно, меньшей разностью ()о — Е ) волновая функция имеет ббльшие значения на краях ямы и медленнее спадает по мере удаления от ямы. Перейдем теперь к анализу случая, когда энергия частицы Е > Уо. Будем для определенности считать, что частица пролетает над потенциальной ямой конечной глубины, двигаясь слева направо. Уравнение Шредингера (4.6) в областях 1, П и П1 имеет следую Рнс. 4.23. Частица в яме конечной глубины: а — энергетические уров- ни частицы; б — волновые функции для л = 1 и для л=2 щие решения: 1р1(х)=А1е' 1~+В1е ' 1~, х<0, эрг(х)=Аге~ 2~+В2е ~ 2~, 0<х<а, (4.71) 1рз(х)=Азе' гх+Взе ' 1~, х)а, где 2н1О (Е - ис) „2,Е йг ' 2 1( ,2 (4.72) 227 Согласно (4,71), каждая из волновых функций представляет собой сумму двух волн де Бройля: волны, идущей в положительном направлении оси х, и волны, идущей в обратном направлении.
Так как частица движется слева направо, то второе слагаемое в выражении для щз должно отсутствовать, поскольку оно соответствует движению частицы к яме из +, т.е. справа налево. Следовательно, нужно положить Вз — — О. Первое слагаемое в выражении для у1 характеризует волну, падающую на яму из —, второе слагаемое — волну, отраженную от ямы. Первое слагаемое в выражении для ц~г описывает волну, преломленную на границе х= О, а второе слагаемое— волну, отраженную от границы х= а.
Волновая функция щз содержит только одно слагаемое, соответствующее проходящей волне. Будем, как и прежде, считать, что амплитуда падающей волны А1 — — 1. Условия непрерывности волновых функций н их производных в точках х=О и х=а приводят к следующей системе уравнений: 1+В1 =Аг+Вг, Ж вЂ” ЖЖ = "тгАг — В~гВг А ецге+В -иге А Н1е ге ге = зе ЙгАге' г — йгВге ' г~ = й~Азе 1~, решение которой позволяет найти амплитуды В~, Аг, Вг и Аз. Данная система уравнений имеет решение при любых значениях параметров /с1 и Йг, т. е. при любых значениях полной энергии частицы Е.
Это означает, что при Е)Ио частица обладает непрерывным энергетическим спектром. Решая эту систему, для амшппуды прошедшей волны Аз получаем следующее выражение: 4Ще 3 (й~+Йг) е' г — (/с~ -lсг) е ' г~ Векторы плотности потока вероятности для падающей на яму и прошедшей через нее волны, согласно (4.36), имеют вид 228 7 „образом, коэффициент прохождения )9, характеризующий вероятность прохождения частицы над ямой, равен (4.73) Подставляя в (4.73) значения /с~ и /сз из (4.72), получаем 4Е(Е-0о)) (4.74) 2 П 2тоа г (4.75) где л — целые числа, при которых Е >Уо. Знергию частицы, движущейся над потенциальной ямой, удобно отсчитывать не от дна ямы, а от ее верхнего уровня Уо, 229 Из (4.74) следует, что коэффициент прохождения В зависит от соотношения между энергией частицы Е и глубиной потенциальной ямы Уо и в общем случае оказывается меньше единицы.
Зто означает, что даже при Е > 13о существует отличная от нуля вероятность того, что частица отразится от потенциальной ямы. Данное явление, полностью отсутствующее в классической физике, объясняется наличием у частицы волновых свойств. При з1п1сза=О коэффициент прохождения Р обращается в единицу, т. е. частица не испытывает отражения на границах ямы. Зто условие выполняется при й2а = ял, т.
е. при значениях энергии частицы поскольку именно энергия Е'= Š— (70 определяет кинетическую энергию частицы вдали от ямы. Переходя в (4.75) от Е к Е', получаем 282 Е = 2л (10~ 2воа (4.76) где и — целые числа, при которых Е'>О. Проведенный анализ дает квантово-механическое объяснение эффекту Рамзауэра (см. гл. 2). Напомним, что в опыте Рамзауэра наблюдалась прозрачность атомов инертных газов для пучка электронов при определенном значении энергии электронов.
Конечно же, более адекватным опыту Рамзауэра было бы рассмотрение движения электрона в области трехмерной потенциальной ямы, моделирующей силовое взаимодействие электрона с атомом. Однако решение даже одномерной задачи позволяет не только качественно объяснить результаты опыта, но и получить определенные количественные соотношения (см. выражения (4.74) — (4.76)). Условие М2а = лл можно представить в виде га=Х л, Задача 4.8.
Частица массой тс находится в одномерной потенциальной яме с одной бесконечно высокой стенкой (см. рис. 4.18). Глубина ямы равна Уш ширина — а. Считая, что в яме есть лишь один энергетический уровень Е = Ус/2, найдите: а) значение Уса для такой ямы; б) наиболее вероятное значение координаты частицы х,; в) вероятность нахождения частицы в области х>а. 230 где Хв — дебройлевская длина волны частицы внутри ямы.
Это условие определяет гашение за счет интерференции волн, отраженных от двух границ ямы. Аналогичное явление наблюдается в волновой оптике и заключается в том, что тонкая пленка определенной толщины может не отражать световую волну. Нанесение такой пленки на поверхность прозрачного тела, например линзы, позволяет полностью исключить отражение световых волн при прохождении через него (эффект "просветления оптики"). резаеиие. Условие, опРеделяющее возможные значения энергии час- тицыпри Е<0о, имеетвнд й2 а1п)г1а =+ ь,а г„'Цо ' где й = )~ —.
Подставляя сюда значение Е = —, пол аем ГДЕ 0о йт 2 Поскольку в яме всего один энергетический уровень, значение аргуп мента синуса должно лежать в пределах от — до к Следователь- 2 но, решение уравнения имеет вид а~/~ба Зп Отсюда находим, что ширина и глубина ямы должны удовлетворять условию 9 п~й~ (Уоа~ = —. 16 то Рассчитаем наиболее вероятное значение координаты частицы х Плотность вероятности нахождения частицы в яме в определяется 2 квадратом модуля волновой функции ~1р(х)~ . Поскольку внутри ямы (см. уравнение (4.60а)) )ц~(х)~ = А аш Е,х, то, решая задачу на экстремум и, получаем з(п2/с,х=0.
Отсюда следует, что 2х,х=зоп, где я =1, 2, 3, ... В силу того что х1а < и, в полученном решении следует оставить только значение т = 1. Таким образом, 231 Учитывая связь между а и Уо, приходим к окончательному вы- 3 ражению х = — а. Рассчитаем теперь вероятность нахождения частицы в области х > а. Обозначим через Р, и Рз вероятности нахождения частицы соответственно внутри и вне ямы. С учетом вида волновых функций (4.60а), (4.606) где ~2 Фо Е) ~( ~о 1 2 з о ~( з о Соотношение между амплитудами А и С определим из условия непрерывности волновых функций при х = а: Агйпк,а = Се получаем 232 к и й х 21 2 Г~то а Р1 — — ~А зш й~хдх, Рз — — ~С е зьыкхНх о О Зк С учетом того, что lс~ =аз — — — и, следовательно, 4а зя зя — 4 С сГ2 2 Отношениевероятностей Р, и Рз равно /2 зшй~а = —, 2 2 ЗЯ яп — хИх 4а о -2е 2 Зе ')е г "дх я а( Зп+2) Зк+2 Р, А Зя бк — е 2 Зп с' Принимая во внимание, что Р, + Рг = 1, получаем Рг = — = 0,149.
2 Зп+ 4 Этот результат означает, что с достаточно высокой вероятностью (-15 %) частица находится вне потенциальной ямы. Задача 4.9. Частица массой вс, двигаясь слева направо, падает на прямоугольную потенциальную яму глубиной Ус (см. рис. 4.21). Считая, что полная энергия частицы Е > Ус известна, найдите ширину ямы а, при которой коэффициент отражения часпщы от ямы максимален. 2 2 Ус яп йга 4Е(Š— Уо) тле Ег ~ — Е. Минимум В для различных значений ширины ~г „ яг ямы а реализуется при условии ~япЦа~=1, т.е.
при 233 Решение. Отражение частицы от потенциальной ямы представляет собой чисто квантовый эффект. Классическая частица не может отразиться от потенциальной ямы, в области ямы лишь возрастают ее кинетическая энергия и скоросп. Квантовая частица испытывает отражение от ямы в силу того, что она обладает волновыми свойствами и, подобно волне, может отражаться от любых прешпствий.
Поскольку коэффициентотраження И и коэффициеитпрохожления В связаны соотношением Я = 1- В, то максимум отражения будет наблюдаться в том случае, когда коэффициент прохождения Р минимален. Согласно (4.74), коэффициент прохождения В имеет вид /сга=(2т+1) —, т=О, 1, 2,3, ... г' Отсюда находим ширину ямы а, при которой отражение частицы будет максимальным: (2т+1) хл ,~8т~Е Отметим, что это условие можно переписать в виде 2т+1 )'5 ' 4 2кй где Хв = — дебройлевская длина волны частицы в яме.
/2т<,Е 4.5. Квантовый гармонический осциллнтор ~2 22 У(х) = — = 2 2 (4.77) Г~ где соо — — — — собственная частота классического гармоничето ского осциллятора. Таким образом, квантово-механическая задача о гармоническом осцилляторе сводится к задаче о движении частицы в параболической потеициальной яме (рис. 4.24). 234 Как известно, гармоническим осциллятором называется система, способная совершать гармонические колебания.
В физике модель гармонического осциллятора играет важную роль, особенно при исследовании малых колебаний систем вблизи положения устойчивого равновесия. Примером таких колебаний в квантовой механике являются колебания атомов в твердых телах, молекулах и т. д. Рассмотрим одномерный гармонический осциллятор, совершающий колебания вдоль оси х под действием возвращающей квазиупругой силы гх=-~х. Выражение для потенциальной энергии такого осциллятора имеет вид — + — Е- м=О, — <к<+ . (4.78) 2то ( тооэох 1 ах~ я~ 2 Вводя величины 2Е Ь вЂ” и хо-— „ й (4.79) х н переходя к новой безразмерной переменной г, = †, приводим ~о' уравнение (4.78) к виду — +(Ч-Р,~)У=О.
Н чг ц2 (4.80) 235 рассмотрим сначала поведение классического гармонического осциллятора. Пусть частица, обладаюшая полной энергией Е, совершает колебания в силовом поле (4.77). Е Точки ао и — ао, в которых полная энергия частицы равна потенциаль- ае 0 ае х ной энергии Е = У(х), являются для ча частицы точками поворота.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
