Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. - Квантовая физика (2004) (1076130), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Час- Рнс 4.24. Потенциальная энергия гармонического остица совершает колебательные движения между стенками потенциальной ямы внутри отрезка [-ао, ао~, выйти за пределы которого она не может. Амплитуду колебаний ао находим из выражения В квантовой механике для решения задачи о гармоническом осцилляторе нужно решить уравнение Шредингера (4.6), в котором потенциальная энергия У имеет внд (4.77): Анализ показывает, что волновые функции, являющиеся решением уравнения (4.80), будут непрерывными и конечными не при всех значениях параметра ц, а лишь при з)=2и+1, и=0,1,2,3,...
Выражая, согласно (4.79), энерппо осциллятора Е через получаем Е = йозо и+ — ~, и = 0 1, 2, 3, ... 11 и 2! (4.81) Это соотношение и определяет закон квантования энергии гармонического осциллятора. Отметим, что уровни л энергии гармонического осциллятора в отличие, например, от случая прямоугольной потенциальной ямы, яв- О к лаются эквидистантными, т.
е. расположены на одинаковом энергетиРис. 4.25. Уровни энергии ческом расстоянии ЬЕ = йод друг гаРмонического осциллл- от друга (рис. 4.25). Еще одной важной особенностью энергетического спектра (4.81) является наличие так называемых нулевыхколебаний — колебаний с 1 энергией Ео — — — йап, соответствующих значению квантового 2 числа и =О. Отличие от нуля минимальной энергии осциллятора характерно, как мы уже видели, для всех квантовых систем и является следствием соотношения неопределенностей.
В реальных квантовых системах, например в кристаллах, эти колебания сохраняются, как показывает опыт, даже при температурах, близких к абсолютному нулю, когда, казалось бы, все тепловое движение должно прекратиться. Нулевые колебания играют в физике весьма важную роль, в частности, они обусловливают отсутствие кристаллизации жидкого гелия при нормальном давлении даже при абсолютном нуле 236 мперагур, Велика роль нулевых колебаний и в объяснении природы снл молекулярных взаимодействий, физических особенностей поверхностного натяжения, адсорбции и других молекулярных явлений.
В эксперименте наличие нулевых колебаний наблюдается, в частности, в опытах по рассеянию света кристаллами при низких температурах. 1 Покажем, что значение нулевой энергии Ео — — — йюо есть как 2 раз то минимальное значение энергии осциллятора, которое согласуется с требованиями соотношения неопределенностей. Поместим начало координат в точку, являющуюся положением равновесна гармонического осцнллятора, совершающего колебания по закону х = хо сов геок Тогда неопределенность координаты Ьх принимает вид Ьх=чх = аз соз озог=~ — а г 112 где черта означает усреднение по времени. Амплнтудаколебаний ао связанас энергией Е соотношени- 2 2 ем Е= — воао гао, следовательно, 2 2' Аналогично для неопределенности импульса имеем — во~ао глв =,~щ~Е. 2 Подставляя Лх и Ьр в соотношение неопределенностей Ахар> Ь ~ —, получаем следующее условие: Е > йозо(2, т.
е. действительно, минимальное значение энергии гармонического осциллятора есть Ео-лщ /2. 237 Эквидистантность энергетических уровней гармонического осциллятора (см. выражение (4.81)) на первый взгляд означает, что осциллятор может поглощать и испускать излучение частотой а, кратной гео, т.е. го=Ливо, где Лп — разность квантовыхчисел начального и конечного уровней осциллятора. Однако на самом деле это не так. Точный расчет, выходящий за рамки данного курса, показывает, что особенности испускания и поглощения электромагнитного излучения гармоническим осциллятором таковы, что возможны переходы только между соседними уровнями, т. е.
(4.82) Условия, которые определяют изменение квантовых чисел при разрешенных переходах системы из одного состояния в другое, называются правилами отбора. Таким образом, согласно правилам отбора, квантовое число и при испускании и поглощении электромагннпюго излучения квантовым гармоническим осшпшятором может изменяться только на единицу. Перейдем теперь к анализу волновых функций гармонического осциллятора. Как следует из теории дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, волновые функции, являющиеся решениями уравнения (4.80), имеют вид Ч/„(Р)=С„е 2 Н„(Ц), п=О, 1, 2, ..., (4.83) где ф— коэффициент, получаемый из условия нормировки волновой функции.
Функция Н„(с) представляет собой полипом Чебышева — Эрмита и-го порядка: (4.84) Отметим, что для этих полиномов справедливо рекуррентное со- отношение Нам (Р)+ 2~Н„(Р) -2п Н„1(~) = О, 238 позволяющее найти Н„(») для всех и, исходя из того, что Но(»)=1 и Н,(»)=2» Н Р Р Нг (») = 2»Н1 (») — 2Но (») = 4» — 2, Нз (») = 2»Нг (») 4Н1 (») = 8» 12» ит.д.
) Ч~„(х) ~г (х)дх=б „, где Ь „— символ Кронекера. Приведем вид нормированных волновых функций для первых трех энергетических уровней гармонического осциллятора ( хг1 Чо(х) — ~ — ехр ,/х~ /к 2хо ,/т~д о ( г„')' ""-й-.б ')"(-') (4.85) Графики волновых функций для значений квантового числа и от О до 5 пРедставлены на Рис. 4.26.
ОтРезок [ — ао, ао] опРеделЯ- ет область, в которой совершал бы колебания классический осциллятор Ширина этой области оказывается различной для разных значений квантового числа и, поскольку энергия осциллятора, а следовательно, и амплитуда его колебаний также зависят от и. 239 Волновые функции (4.83) ортонормированы, т. е. удовлетворяют условию — ае ао х Рнс. 4.26.
Волновые функции гармонического осцнллятора Из (4.83) — (4.85) следует, что волновые функции гармонического осциллятора обладают определенной четкостью. Они являются четными функциями координаты х при четных значениях л и при и=О, и нечетными функциями при нечетных п. Значение квантового числа и определяет также число точек пересечения волновой функции с осью х. В основном состоянии, т. е.
при и = О, точки пересечения внутри параболической ямы отсутствуют, при л =1 имеется одна точка пересечения, при л = 2— две и т. д. Таким образом, при увеличении квантового числа п на единицу волновая функция гармонического осциллятора меняет четность и приобретает добавочную точку пересечения с осью х. Отметим, что вне классической области [-ао, ао) волновые функции ц/„отличны от нуля, что свидетельствует о том, что квантовый гармонический осциллятор с определенной вероятностью может находиться вне пределов параболической потенциальной ямы (см.
задачу 4.10). При малых значениях квантового числа и плотность вероятно- сти нахождения частицы, определяемая квадратом модуля волновой функции ~Ч/в(х)~, кардинальным образом отличается от плотно- 2 сти вероятности обнаружения классического осцнллятора 240 йР 1 кД вЂ” х (4.86) Плотность вероятности в случае классического осциллятора (4.86) можно получить следующим образом. Пусть за время ш частица проходит путь от точки с координатой к до точки с координатой х+ ~й, т. е.
ее координата меняется в интервале значений шириной Нх. Поскольку для гармонических колебаний 2к 2к 2п к=поз(п — 6 а ~й=ао — соз — гш', то вероятность йР того, что Т Т Т частица при движении в одну сторону находится в интервале шисй пт Ых риной Ых, равна йР—— Т,~2 2п ~ 2 2 — , откуда и аок соя — г к,/ао — х Т следует (4.86). При л=О плотность вероятности обнаружения квантового осциллятора ~щ(х)~ имеет форму гауссовской кривой с максимумом в точке х = 0 (рис. 4.27, а, сплошная линия), а плотность вероятности обнаружения классического осциллятора (4.86), наоборот, минимальна в точке х= О и стремится к бесконечности в точках поворота, в которых скорость частицы становится равной нулю (рис.
4.27, а, пунктирная линия). При достаточно большом значении квантового числа л, например при л = 10, функция ~~у„(х)~ приближается к классичег ской кривой распределения. Она достигает максимума вблизи точек поворота и резко спадает вне классической области движения (рис. 4.27, б ). При а -+ плотность вероятности ~у„(х)~, как 2 того и требует принцип соответствия, переходит в классическую функцию распределения плотности вероятности.
Отметим, что модель гармонического осциллятора и связанная с ним задача о движении частицы в параболической потенциальной яме является идеализацией, справедливой лишь при малых отклонениях колеблющейся частицы от положения равновесия. Во всех реальных ситуациях потенциальная энергия (7(х) часпщы, совершающей колебания около положения равновесия, имеет более сложный по сравнению с (4.77) вид. Поэтому при возрастании амплитуды колебаний движение часпщы будет все больше отличаться от гармонических колебаний. Такое движение называют ангармоническим движением, а соответствующий осциллятор — апгармоническим оспиллятором. Однако в случае малых колебаний влияние ангармонизма ничтожно мало, что позволяет использовать модель гармонического осциллятора для описания колебательного движения квантово-механических систем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
