Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. - Квантовая физика (2004) (1076130), страница 30
Текст из файла (страница 30)
е. в области, в которой полная энергия частицы Е меньше ее потенциальной энергии уо. С точки зрения классической механики эта область для частицы является запрещенной, так как условие Е < Ц~ означает, что кинетическая энергия частицы должна быть отрицательной. Однако с точки зрения квантовой механики никакого противоречия здесь нет.
Кинетическая энергия является функцией импульса частицы р, а потенциальная энергия — функ- 197 цией ее координаты х,но, согласно соотношению неопределенностей, одновременное точное определение координаты н импульса невозможно. Поэтому в квантовой механике представление полной энергии частицы в виде суммы одновременно точно определенных кинетической и потенциальной энергий, как уже отмечалось в 2.3, не имеет смысла.
Полученный результат означает, что мнкрочастицы могут проникать в области, которые для макроскопическия частиц недоступны. Плотность вероятности нахождения частицы в области П определяется выражением 2 ж з г~, иг(х) = — =~щз(х)~ = ехр(-2йгх) = Ых )) + 1)гз 4х~ Г 2 — р1--,Гг, ог, -з~*~ 11'+12' " А (4.37) и зависит от массы частицы то,разности энергий Уо — Еи расстояния от границы порога х. Найдем значение экспоненциального множителя в (4.37) для электрона, полагая Уо — Е=1зВ. При х=10 юм, т.
е. при расстоянии от порога, сравнимом с размерами атома, 2 ехр — 2то(Уо — Е)х =0,29. ехр ~ — „2то Я, — Е)х~ = 4,54 . 10 2 — 8 Это означает, что вероятность пребывания электрона на таком расстоянии от порога ничтожно мала. Полученные оценки показывают, что в данном случае электрон с заметной вероятностью мо- 198 Мы видим, что вероятность найти электрон на таком расстоянии в области Б высокого потенциального порога достаточно велика. При х =10 ~ м 12 2 +к! Ч! =0 (4.38а) ~2 2 2 2— Ч2 + ь21)! (4.386) где й! и )12 определяются из соотношений й! —— ~ — Е и /с2 —— — (Е-Уо).
(4.39) ~г, г, )( 82 82 Решая уравнения (4.38а), (4.38б), получаем !у!(х)=А!е' "+В!е ' ", х<0, (4.40а) у2(х)=А2е! 2~+В2е ~ 2~, х>0. (4.40б) Будем считать, что частица приближается к порогу со стороны отрицательных значений х, т. е. движется слева направо. При этом 199 жег проникать в область П лишь на расстояния, сравнимые с размером атома.
Таким образом, хотя коэффнцие — т е. отражение является ол обязательно происходит на самом пороге, т. е. на границе раздела областей 1 и П. С определенной вероятностью частица может проникнуть в область П и затем выйти из нее. Интересно отметить, что рассмотренное явление имеет аналог в классической физике — явление полного внутреннего отражения в волновой оптике. В этом случае также происходит полное отражение при падении света на границу раздела оптически более плотной и менее плотной сред.
При этом свет может проникать в оптически менее плотную среду, однако его амплитуда убывает с глубиной по экспоненциальному закону. Перейдем теперь к анализу случая, когда энергия налетающей на порог частицы Е превышает высоту потенциального порога Уо, т. е. Е>Уо. Такой порог носит название низкого потенциального порога.
В этом случае уравнение Шредингера для областей 1 и П имеет вид первое слагаемое в (4.40а) описывает падающую на порог волну де Бройля, а второе слагаемое — волну, отраженную от порога. Аналогично первое слагаемое в (4.40б) соответствует прошедшей через порог волне де Бройля. Поскольку отраженная волна в области П отсутствует, то коэффициент Вг следует считать равным нулю, т. е.
Вг — — О. Условие непрерывности волновых функций и их производных на границе (при х = 0) приводит к следующей системе уравнений для коэффициентов А1, В! и Аг. А!+В1=Аг ~1А! — !11В! = )ггАг. (4.41) Полагая, как и в предь!душем случае, А! — — 1, для В!и Аг получаем ~! "г А — 2к )~! + )~2 Ч ~2 Таким образом, волновые функции частицы в случае ее движения в области низкого порога имеют вид ~!х ~! "г -Ь!х )~1 +)~2 2~! !!!2(х) = е! г" )!! + )!2 (4.42) г где й! и йг заданы соотношениями (4.39).
Для того чтобы найти коэффициенты отражения В и прохождения П частицы через порог, определим векторы плотности потока вероятности для падающей, отраженной и прошедшей (преломленной) волн де Бройля. Подставляя найденные волновые функции (4.42) в (4.36), получаем (4.43) С учетом (4.35) и (4.43) коэффициент отражения частицы от низ- кого потенциального порога Я = — '"'Р = 1 2 = (4.44) ь Й +1г ~1~ Т-О~|Р) Отсюда следует, что при Е > Ус существует отличная от нуля вероятность отражения частицы от низкого потенциального порога, т. е.
возможно так называемое надбарьерное отражение. Этот эффект является чисто квантовым и объясняется наличием у частицы волновых свойств. Макроскопическая частица, подчиняющаяся законам классической механики, при прохождении через низкий потенциальный порог не испытывает отражения, в области порога лишь уменьшается ее кинетическая энергия. Интересно отмеппь, что если потенциальный порог "обратить", т. е. считать, что У(х) = Уо в области 1 и У(х) = 0 в области П, то коэффициент отражения частицы с заданной полной энергией Е > Юо не изменится. Этот вывод следует из того, что в задаче с "обращенным" порогом во всех формулах й1 и й2 поменяются местами, но при этом, согласно (4.44), коэффициент отражения Е не изменится. Этот результат можно сформулировать и другими словами: вероятность отражения частицы от низкого потенциального порога не зависит от направления движения часпщы.
Коэффициент прохождения Р частицы через порог, согласно (4 43), принимает вид )1 Р) 41112 р ! а~ "~~ (»,6:и7к) Таким образом, и в случае низкого порога й+Р=1,что естественно было ожидать с точки зрения сложения вероятностей: па- 201 ь ег р(0 и= — =— 2(г) в (4.46) где Хв и Хь — длины волн де Бройля, а о( и п2 — скорости 0) (2) движения частицы соответственно в областях 1 и П. Выражая с( и п2 через кинетическую энергию частицы, получаем Е-()о 1 ()о Проведенный анализ еще раз указывает на глубокую аналогию, существующую между квантовой механикой и волновой оптикой. Прохождение частицы через потенциальный барьер.
Область пространства, в которой потенциальная энергия частицы У больше, чем в окружающих областях, называется потенциальным барьером. Анализ движения частицы в области потенциального барьера начнем с рассмотрения простейшего случая одномерного прямоугольного потенциального барьера (рис. 4.8), для которого потенциальная энергия частицы х<0, У(х)= Уо, 0<х<а, О, х)а.
Обозначим цифрой 1 область слева от барьера, цифрой П вЂ” область 0< х< а и цифрой Ш вЂ” область справа от барьера. Будем 202 дающая на порог частица либо отразится от него, либо пройдет в область П. Следует отметить, что волна де Бройля, описывающая движение частицы в области порога, на границе раздела областей 1 и П испытывает преломление, связанное с изменением скорости частицы с и ее длины волны Хв.
Относительный показатель преломления п (см. 2.1) определяется как читать, что частица приближается к барьеру со стороны отрицательных значений х, т. е. движется слева направо. Рассмотрим случай, когда энергия частицы Е меньше высоты потенциального барьера ()о, т. е. Е<()о(случай Е>Уо рассмотрен в задаче 4.7). Уравнение Шредингера для областей 1, П и Ш имеет вид О а х Рис. 4.8. Прямоугольный потенциальный барьер '( Ч1( )+129,( )-0 "" ')-"Ч (.) =, В Чз(х) ,,г (4.47) 2 еоЕ 2гпо (Уо —.Е) 82 ' 2 л2 Волновые функции, являюшиеся решением уравнений (4.47), запишем следующим образом: щ1(х) = А|е' " + В1е ' ", уг(х) = Аге"г + Вге г щз (х) = Азе' '~ + Взе ' '~.
(4.48) Как обычно, будем считать амплитуду падающей на барьер волны де Бройля А1 — — 1. Коэффициент Вз положим равным нулю, при- нимая во внимание, что при движении частицы слева направо в области П1 может распространяться только проходящая волна. 203 1бк1 кг -ига г г ге (к1 +кг) Подставляя сюда выражения для )с1 и /сг (см. (4.47)), получаем 2а Р=Р0ехр — 2во(Уо -Е) . Е( Е1 Здесь коэффициент Ро — — 1б — ~1 — — ~ является медленно изме- Ро ~ Ро! Е няющейся функцией отношения —, численное значение которой (70 сравнимо с единицей.
Основной вклад в зависимость Р от параметров задачи дает экспонента. Поэтому в большинстве случаев при оценке коэффициента прохождения через потенциальный барьер полагают Ро =1. При этом выражение для 1), которое используется при расчетах прозрачности барьера, принимает вид 2а Р=ехр — 2гло(Уо — Е) . (4.51) Отсюда следует, что коэффициент прохождения Р испытывает сильную (экспоненциальную) зависимость от ширины барьера а, массы частицы во и разности энергий Уо — Е. Обобщим полученный результат на случай потенциального барьера произвольной формы. для этого представим потенциапь- 205 ц случае, когда ширина барьера а удовлетворяет условию ь л»1(приведенные выше численные оценки показывают, что г для электрона это условие выполняется уже при ширине а в несколько атомных слоев), е г' «1 и гиперболический синус м ожно заменить экспонентой з1йга= — е . При этом коэфьге 2 фицнент прохождения Р частицы через барьер примет вид ный барьер в виде последовательности большого числа узких прямоугольных потенциальных барьеров, расположенных один за другим (рис.
4.9, а). Будем считать, что барьер имеет достаточно плавную форму, т. е. полагать, что его высота на расстоянии, сравнимом с длиной волны де Бройля, изменяется незначительно. Будем также пренебрегать надбарьерным отражением частицы. Волна де Бройля, прошедшая через !'-й прямоугольный барьер, представляет собой волну, падающую на (! + 1)-й барьер и т. д. Вероятность прохождения частицы через цепочку последовательно расположенных потенциальных барьеров равна произведению вероятностей прохождения через каждый из барьеров. Таким образом, коэффициент прохождения Р равен произведению коэффициентов прохождения для каждого барьера: гг= по; "и р1- г (е!* з-я)1= 2гзх! (4.52) =ехр — 2. ' 2во1У(х!) — Е~ 2г5х! й где Аь) — ширина т-го барьера; У(х!) — высота зтго барьера.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
