Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. - Квантовая физика (2004) (1076130), страница 25
Текст из файла (страница 25)
158 Запишем это соотношение в виде у(ц)= ~ ~ахЧ'+ — ~ ахЧ' + — Ых=Аа -Ва+С. (3.80) Здесь А= ~Ч'*х ЧЧх=Р~ >О, В= — ~х Ч' +Ч' — Ж= — ~х — (Ч' Ч')Их= ( л* .гч) ь ь~ ь =-хч"Ч'! + 1 Ч~*ЧЧх=1, гбач' ЫЧ' е ФИ Ф 1 С= ~' — ( =- ~ Ч* — ( = — Р, >О. ,1,(х,1х 1,1хг 8г Условие положительности интеграла Х(а), значение которого записано в виде квадратного трехчлена (3.80), на основании теоремы о корнях квадратного уравнения можно записать в виде 4АС>В . (3.81) Подставляя в (3.81) вместо А, В, С их значения, получаем, что всегда выполняется неравенство 4Р,Рз ~ й, которое можно записать как (3.82) 159 определенностями координаты и проекции импульса, то (3.82) примет вид А"Арх— л (3.83) 2 Аналогично могут быть получены еще два неравенства для других координат: Аувер > — А~Ар > —.
й Й 2 ' 2 (3.84) 160 Сравнение полученных соотношений с формулами (2.1б) показывает, что соотношения неопределенностей Гейзенберга являются следствием общих положений квантовой механики. В общем случае можно доказать, что если операторы А и В двух физических величин не коммутируют, причем (А, В) = с, то для соответствующих физических величин а и Ь справедливо соотношение неопределенности АЛЬ> —, исключающее возмож(с! 2 ность одновременного стремления к нулю неопределенностей Аа и АЬ.
Легко убедиться, что операторы кинетической и потенциальной энергий не коммутируют. Поэтому, хотя оператор полной энергии есть сумма таких операторов, нельзя утверждать, что в квантовой системе полная энергия системы есть сумма кинетической н потенциальной энергий. Это означает, что принципиально нельзя одновременно точно измерить кинетическую и потенциальную энергии движущейся частицы. В связи с этим нельзя измерить полную энергию частицы, измеряя одновременно ее кинетическую и потенциальную энергии. Еще раз подчеркнем, что в квантовой механике математическим объектам и операциям над ними всегда соответствуют физические объекты и управляющие их движением законы.
Известный физик-теоретик А.В. Фок в своей книге "Начала квантовой механики" отмечал, что можно составить целый словарь для перевода квантовой механики с математического языка на физический язык. В качестве примера приведем одну из страничек такого словаря. Физика Математика Состояние квантовой частицы Плотность вероятности обнару- жения частицы Достоверность наличия частицы Условие нормировки Линейный эрмитов оператор чя> Физическая величина г' Вероятность при измерении 1 получить значение ~„ вом состоянии Коммутативность операторов А и В: АВ = ВА Можно порекомендовать каждому, изучающему квантовую механику, самостоятельно продолжить заполнение страниц такого словаря. Задача 3.7. Определите оператор ускорения для частицы массой гяс, движущейся в потенциальном силовом поле Р = — ягадУ.
Решение. Так как векторный оператор скорости б можно выразить через оператор импульса 161 Волновая функция Ч' Квадрат модуля ~Ч'~ = Ч"Ч~ Собственная функция Ч'„операто- ра Ф, соответствующая собствен- ному значению 1'„ Квадрат модуля коэффициента в разложении волновой функции Ч' в ряд по собственным функциям Ч'„ оператора Ф Состояние квантовой частицы, в котором значение физической величины 1' равно 4 Среднее значение (математиче- ское ожидание) физической величины 1 в заданном кванго- Принципиальная возможность одновременно наблюдать и точ- но измерять физические величи- ны а и Ь И 6= — = — Ч, Рис Рлс то, дифференцируя этот оператор по времени в соответствии с правилом, найденным при решении задачи 3.5, определим векторный оператор ускорения как а= — = — = — ~Й р-рй~= — ГЙч — ЧЙ~.
й тс Ж шел а Поскольку гамильтоннан йг Й = — ь+й, г, а операторы ЬмЧ и Ч являются коммутирующими операторами, 2 то а = — ~ЙЧ вЂ” Чб~. ис Для выяснения смысла получившегося коммутатора подействуем им на произвольную функцию г'. Тогда получим Й(ЧЧ)-Ч(йЧ) =и(ЧЧ )-Ч(иЧ) =-(Чи)Ч. Но в потенциальном поле векторный оператор силы Р =(Г,Р, Р ) т' з> есть оператор умножения на -ЧУ, т.
е. ГЧ =-(Чи)Ч. Поэтому окончательно находим г а= —, илн т а=Г. Фс Это операторное уравнение имеет внл уравнения Ньютона классической механики. Оно подтверждает вывод о том, что соотношения 162 Ч ~~жду операторами в квантовой механике имеют ту же структуру, что и соотношения между соответствующими физическими величинами в а классической механике. Задача 3.8.
Установите коммутационные соотношения между операторами проекций момента импульса Ц, й и А,. Решеныа Рассмотрим коммутатор операторов Е,, и Е»: С учетом явного вида (3.34) операторов Е., и 1. определим в декартовой системе координат результат действия коммутатора зтих операторов иа волновую функцию: ~„(~,~)-~,(Х,'Р) =-й ~~ у — ~ — ~~ — — 1- ~~ а, ауЛ а. д2 , Г ач а'ч а'ч, а'ч а'ч а'ч А у — + уг — — ух — — я — + гх — — ц~ — + ~ ах а ах а ' ауах ауаг а а, , а'ч а'ч ач а'ч 1 ,( ач ач 1 .- +г +ху г х х2 ~ -л у — — х — =МтЧ. ахау а ' ау агау~ ~ ах ау ~= Таким образом, доказано, что Е.„Е, -Е,Е„= ие.,;~ О.
Точно так же можно получить коммутационные соотношения для других пар операторов проекций момента импульса: Ьт~'у ~'А 1б3 Этн соотношения свидетельствуют о том, что все трн проекции момента импульса не могут одновременно иметь определенные значения, за исключением случая, когда все трн проекции одновременно равны нулю. Можно показать (доказательство рекомещ~ется провести самостоятельно), что оператор квадрата момента импульса Е комыутнрует с операторами 1.„Е н Ц. Следовательно, квадрат момента импульса (нлн модуль момента импульса) может быль одновременно точно измерен лишь с одной нз его проекций.
Полученный результат означает, что в квантовой механике изображение момента импульса в виде вектора носит достаточно условный характер. Поэтому н сложение моментов импульса (например, орбитального н спннового) нельзя проводить как сложение векторов. 3.8. Матричная формулировка квантовой механики Представление физических величин эрмитовыми операторами, действующими на волновую функцию, не является единственно возможным математическим аппаратом квантовой механики. В 1925 г., еще до открытия Э. Шредингером основного уравнения для волновой функции, В.
Гейзенберг предложил в квантовой механике каждой физической величине ставить в соответствие некоторую матрицу с бесконечным числом строк и столбцов. Такая "матричная механика" была развита в работах В. Гейзенберга, М. Бориа, П. Иордана и других физиков на первом этапе независимо от волновой теории, а позже — параллельно ей. В дальнейшем Э. Шредингер показал, что представления физических величин операторами и матрицами эквивалентны, хотя математический аппарат этих двух методов решения задач квантовой механики оказывается различным. Связь между операторами и матрицами физических величин установим, считая для упрощения выкладок, что спектры рассматриваемых квантово-механических операторов являются дискретными, хотя все обсуждаемые ниже соотношения были обобщены Дираком и на случай операторов с непрерывными спектрами.
(3.85) причем коэффициенты этого разложения определяются по форму- лам С„= ~ч*„рЛР. (3.86) Если теперь в качестве функции ~р взять функцию ФЧ'„„являюп1уюся результатом действия на функцию Ч'„, оператора Ф физической величины г", то из (3.85) и (3.86) получим равенство ФЧ' = ~Ф Ч'„, и (3.87) где Ф = ~ Ч'„(ФЧ' )Л'. (3.88) Величины Ф „можно рассматривать как элементы некоторой бесконечной матрицы Фы Ф12 Ф1з - Фь Ф21 Ф22 Фгз - Ф2т Ф = Фа1 Фа2 Фаз - ~е 165 Пусть Ч'„, п =1, 2, ..., — известный набор собственных функций некоторого квантово-механического оператора А. Из свойств собственных функций эрмитовых операторов следует, что любую регулярную функцию 1Р можно разложить в ряд по собственным функциям оператора: < и(Ф! т > или < иф т > .
(3.89) Такой символ можно рассматривать как символ, сконструированный из обозначения наблюдаемой физической величины (или соответствующего ей оператора Ф) и символов ~ т> и < и~ . Формально каждую собственную функцию Ч',„(начальное состояние) представляет некоторый базисный вектор !Ч' > или сокращенно! т> бесконечномерного пространства, который называют кет-вектором. Собственную функцию Ч'„(конечное состояние) представляет вектор < Ч'„) или < и ~, который называют бра-вектором. Такие названия происходят от английских Ьгас- и йеьз образующих слово Ьгаскег (скобка).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
