Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. - Квантовая физика (2004) (1076130), страница 27
Текст из файла (страница 27)
я" Таким образом, среднее значение величины а остается неизменным ° во времени. Задача 4.2. Докажите, что если частица находится в стационарном состоянии и имеет дискретный энергетический спектр, то среднее значение проекции ее импульса (р,) равно нулю. Решение проведите для одномерного случая ( Ф = 1) .
Решение. Докажем сначала, что операторы координаты х, проекции импульса р„и гамильтониан Й связаны следующим коммутационным соотношением: ~Й, х] = — ™ р,. шс Подействуем коммутатором ~ Н, х] на некоторую функцию у йз ~Н, х]зу=Н(хщ) — х(Нщ)= — — (хзу)+Ухцгг Ь ахз ( йг ~з ') йз зг йз ~г~у -х — — + Уу — — — (хзр)+ х— 2в1~ дхз ! 2е дхз 2в дхз д' дчl д'~р Принимая во внимание, что — (ху) = 2 — + х —, получаем дхз дх дхз г - .з 1й . т.
е. ( Н, х~]= — р,. Отсюда следует, что Ч 174 р„= ]Й, х~. Найдем теперь среднее значение проекции импульса (р,) в состоя- нии, описываемом волновой функцией у . Оно определяется как Подставляя сюда найденное выражение для оператора р„получаем (р,) = — ) ( у'й~у- я*ай у) (х = — ((зр'й зу — я*хйзя)4т.
и' и' учитывая эрмитовость оператора Й (см. (3.42)) и дискретность спек- тра энергии, находим, что Поскольку состояние частицы является стационарным, то Йц=Ещ, а (Йър) =(ЕЧг) =Еу', Таким образом, (р ) — — ) ( хЕ р я — хЕтпу ) 4х = О. и' 4.2. Частица в потенциальной яме с непроницаемыми стенками Рассмотрение стационарных задач квантовой механики начнем с наиболее простой для анализа задачи о движении частицы в потенциальной яме с непроницаемыми, т. е. с бесконечно высокими 175 стенками. Такие ямы называют еще потенциальными ящиками, наиболее часто это название применяется по отношению к трехмерной потенциальной яме.
В этом случае частица движется в ограниченной области пространства, т. е. мы имеем дело с так называемым финитным движением. Рассматриваемые в этом параграфе особенности движения частицы, такие, например, как квантование энергии, вырождение энергетических уровней и т. д. в дальнейшем будут проанализированы для случая потенциальных ям другого вида. Одномерная потенциальная има.
Рассмотрим частицу, находящуюся в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. В этом случае потенциальная энергия частицы У(х) имеет вид х<0 У(х)= О, 0<х<а, х>а — + — ( Е-У (х)Д1Р = О. (4.11) а~у 2во ,1хг йг Поскольку вне ямы потенциальная энергия обращается в бесконечность, то для того, чтобы выполнялось уравнение (4.11),необходимо, чтобы вне ямы волновая функция ч1(х) обращалась в нуль, т. е.
у(х)мО. Это означает, что в случае ямы с бесконечно высокими стенками частица не может выйти за пределы ямы, поскольку такие стенки являются непроницаемыми для частицы. В силу непре- а х Рис. 4.1. Одномерная по- тенциальнак яма с непро- ницаемыми стенками 176 т. е. внутри ямы (О < х < а ) потенциальная энергия У(х) постоянна и равна нулю, а вне ямы обращается в бесконечность (рис. 4.1).
Запишем уравнение Шредингера для одномерного движения частицы вдоль оси х рывности волновая функция у(х) должна обращаться в нуль и на аннцахямы: при х=О и при х=а. Таким образом, задача о движении частицы в потенциальной яме сводится к решению уравнения — + — Еу=О, 0<х<а, 2и~) г з (4.12) с граничными условиями у(0) =О, у(а) =О. Введем обозначение (4.13) чг" +/с чу=О, решение которого есть у(х) =Аз(пкх+ВсоИх. (4.14) Используя граничное условие ц~(0) = О, получаем В = О, т.
е. у(х)=Азщйх. Второе граничное условие у(а)=0 приводит к соотношению А з(п йа = О, которое для А ~ 0 выполняется при йа =+кп, л = 1, 2, 3, (4.15) Отметим, что значение л =О,формально также входящее в решение (4.14), не удовлетворяет условию задачи, так как при этом Ч~ьзО, а это означает, что частица в яме отсутствует. Поэтому значение л = 0 следует отбросить. Подставляя (4.13) в (4.15), приходим к выражению для полной энергии частицы, движущейся в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками, 177 При этом уравнение (4.12) примет вид хорошо известного из тео- рии колебаний уравнения 2й2 Е„= н, н=1,2,3,... 2тоа (4.16) У Важной особенностью полученного энергетического снектра (4.16) являет- 4 ся его дискретность. Частица, находящаяся в потенциальной яме, может иметь только дискретные, квантованные значения энергии (рис.
4.2), определяемые из выражения (4.16). Отметим, что квантование возникает вследствие граничных условий, накладываемых на волновую о а х функцию, т. е. вследствие равенства ну- лю волновой функции на границе потенРис. 4.2. Энергетические ной я уровни частицы в потен- Число л в (4.16), определяющее энергию частицы в потенциальной яме, называется квантовым числом, а соответствующее ему значение ń— уровнем энергии.
Состояние частицы, в котором она обладает наименьшей энергией (в этом случае л=1), называется основным состоянием. Все остальные состояния являются возбужденными: значение л = 2 отвечает первому возбужденному состоянию, значение н = 3 — второму возбужденному состоянию и т. д. Следует отметить, что минимальное значение энергии частицы, находящейся в основном состоянии, отлично от нуля. Этот результат согласуется с соотношением неопределенностей и является общим для всех задач квантовой механики.
В классической механике минимальную энергию, равную нулю, имеет покоящаяся в яме частица. Такого состояния покоя у квантовой частицы не существует. Обсудим подробнее вопрос о дискретности энергетического спектра. Разность значений энергий ЛЕ„л-го и (н+ 1) -го энергетических уровней равна 2й2 ЛЕн = Еп+1 Ел = 2 (2л+1). 2тоа 178 Оценим величину ЛЕ„для конкретных случаев.
-27 Случай 1. Рассмотрим молекулу газа массон то =10 кг в сосуде размером а = 0,1м. При этом для п >1 ЬЕ„=6,8 10 л эВ. Энергетическое расстояние между соседними уровнями оказывается столь малым по сравнению с энергией теплового хаотического движения молекулы МТ (при комнатной температуре )гТ = =2,6 10 ~зВ), что практически можно говорить о сплошном энергетическом спектре движущейся молекулы. Случай 2. Рассмотрим свободный электрон (во — -0,9 10 кг) -30 в металле (а = 0,01 м) .
В этом случае ЬЕ„=7,5.10 л эВ, т. е. энергетическое расстояние между уровнями намного меньше характерного значения энергии электронов в металле, составляющего по порядку величины 1 эВ. Однако, как будет показано в гл. 6, наличие дискретных уровней даже в случае потенциальной ямы макроскопических размеров для электронов имеет принципиально важное значение. Случай 3. Рассмотрим свободный электрон в атоме (а =10 м). При этом разность значений энергий соседних уровней составляет ЬЕ„=0,75л зВ. Это заметная величина по сравнению, например, с энергией связи электрона в атоме ( Е„- 10 зВ).
Поэтому дискретность энергетического спектра в этом случае оказывается весьма существенной. Завершая рассмотрение энергетического спектра частицы в потенциальной яме (4.16), отметим еще одно его свойство. Запишем отношение ЛЕ„к Ег' 179 ЛЬ'„2п+1 Е„ иэ При увеличении квантового числа и это отношение уменьшается с АЕ'„2) —" = —, таким образом, дискретность энергетического спектЕл ра с возрастанием и играет все меньшую роль.
Этот результат представляет собой проявление важного физического принципа— принципа соотвеисивия, согласно которому при больших значениях квантового числа и, т. е. при и ->, квантовая механика переходит в классическую механику. Волновые функции частицы в одномерной потенциальной яме.
Перейдем теперь к анализу волновых функций частицы, находящейся в одномерной потенциальной яме. Из (4. 14) с учетом (4.15) получаем них 1!т„(х) = Аяп —. а Множитель А находим из условия нормировки волновой функции (4.10) ~/ в ) !1!1„(х)~ ЫхА )яп — Йс=А — =1. 0 а 2 Гг Таким образом, А = ~ —. Тогда волновые функции частицы в ода номерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками имеют вид цгн(х) = ~ — яп —, 0 < х < а, и = 1, 2, 3, ... (4.17) Г2 .
них а а ! Отметим, что эти функции, согласно общей теории (см. (3.54)), являются ортонормированными, т. е. 180 где 5 „— символ Кронекера. Рассмотрим графики волновых фУнкЦий 1У„(х) (Рис. 4.3) Дла пеРвых я=4 четырех значений квантового числа л. Волновые функции, отвечающие раз- л=З ным значениям и, существенно отличаются друг от друга. Если поместить я=2 начало координат в середину ямы, то волновые функции частицы внутри ямы а=1 для нечетных значений л будут четными функпиями координаты, и на- О а х оборот, волновые функции для четных и — нечетными фУнкциами координа- Рве. 4.З.
Волновые функты. При увеличении квантового числа цвн частицы в потенция на единицу число точек пересечения альной яме с непроннволновой функции с осью х также паемыми стенками увеличивается на единицу. Отличительным свойством найденных волновых функций является излом, т. е. скачок производной на границах ямы. Этот скачок возникает вследствие того, что на границах ямы потенциальная энергия частицы У(х) обращается в бесконечность.
В случае ямы конечной глубины скачок производной волновой функции на границе ямы отсутствует, т. е. волновая функция является гладкой (см. 4.4). На рис. 4.4 представлены графики квадрата модуля волновой функции ~1у„(х)~, определяющего плотность вероятности нахож- г денна часпщы в потенциальной яме. Плотность вероятности оказывается существенно различной для разных состояний частицы, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
