Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. - Квантовая физика (2004) (1076130), страница 28
Текст из файла (страница 28)
для разных значений квантового числа и. Так, например, в основном состоянии, т. е. при п= 1, частица с наибольшей вероятностью находится в центре ямы, а в первом возбужденном состоянии, т. е. при п=2, вероятность обнаружить частицу в центре "мы Равна нулю, хотя пребывание часпщы в левой и правой поло- 181 винах ямы равновероятно. Такое поведение кардинально отличается от поведения в яме классической частицы, для которой плотность вероятности нахождения частицы одинакова в любой точке ямы. Вероятность того, что частица в яме находится в области х! <х<х2, определяется согласно выражению а х Рис.4.4. Плотность вероятности нахождения частицы для различных квантовых состояний (4.19) Отметим, что с математической точки зрения задача о движении частицы в одномерной потенциальной яме с непроницаемыми стенками аналогична задаче о колебании струны с закрепленными концами.
И в том, и в другом случае из граничных условий следует, что на ширине ямы (на длине струны) должно укладываться Х целое число полуволн, т. е. а=и —. В нашем случае Х вЂ” это 2 дебройлевская длина волны частицы в яме Хв. Двумерная потенциальная яма. Рассмотрим частицу, находящуюся в двумерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. В этом случае потенциальную энергию частицы У1х, у) можно представить следующим образом: О, (х,у)ай, У(х,у) = (х,у)н И, где И=1(х,у): 0<х<ап О< у <а2) — прямоугольная область на плоскости (х,у) (рис. 4.5).
Вне потенциальной ямы, как и в одномерном случае, волновая функция частицы зя(х, у) га 0. 182 У аг Поскольку движение частицы в яме вдоль осей х и у происходит независимо, волновую функцию 'т'(х, у) запишем в виде произведения: цк(х, у) = цк1 (х)цкг (у), (4,20) аг к Рнс.
4.5. Двумерная пря- моугольная потенциаль- ная яма где вгг(х) — функция, зависящая только от координаты х, а чгг(у)— функция, зависящая только от координаты у. Подставляя выражение (4.20) (4.б), получаем в уравнение Шредингера Ь~l(х, у)+ — Еър(х, у)=0, 2гло ,2 вгг(у) ~ +зкг(х) 2 = — Езк,(х)уг(у). ,121у (х) г121 (у) 2 (х2 1у2 йг Разделив левую и правую части этого выражения на чгг(х)уг(у), приходим к соотношению 1 И~~рг(х) 1 д ~рг(у) 2лгс 1а,(х) (хг у (у),у 2 1 дуг(х) 2во 1 Е ч,(х) 183 Первое слагаемое в левой части (4.21) зависит только от х, а второе — только от у.
Поскольку их сумма равна постоянной величине, то это означает, что каждое из слагаемых также представляет собой постоянную величину, т. е. 1 ЫзЧг(у) 2п1о — = — Е2~ ~ (У) 12 ~2 Ы 1р1(х) 2в~ 12 йз + — Е11у1(х) =О, а Ч2(У) 2то + — зЕ292(У) =О, (у' и' (4.22) решения которых были нами получены ранее (см. (4.17)). Функции 1у1(х) н 1у2(у) имеют вид Гг. я,х 1у (х) = — з(п И 1(а а 1 1 Ч (У) — яп —, 2 . пл2у '1 а2 а2 где квантовые числа п1 н л2 принимают значения л1, п2 —— = 1, 2, 3, ... В результате нормированная волновая функция частицы, находящейся в двумерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками, есть „(х,у) = — з(п — яп ~4 .
Кл1х . Кп2у а1а2 а1 а2 (4.23) 0<х<а1, 0< у<а2, п1, п2 -— 1, 2, 3, . Энергия частицы в двумерной яме описывается выражением 184 где Е1 и Ез — константы, имеющие размерность энергии, причем Е1+Е2 =Е. Таким образом, уравнение Шредингера для двумерной задачи разделяется на два одномерных уравнения 2 2 — + —, пи пг = 1, 2, 3, ... (4.24) Энергетический спектр часпщы (4.24), как и следовало ожидать, ,л,лается дискретным н зависит от двух квантовых чисел п1 и и г.
Рассмотрим движение частицы в квадратной потенциальной яме, для которой а1 = аг =а. В этом случае гг, Е„„= ~п1 +пг ~, п1,п2=1,2,3, ... (4.25) Лп ( 2 21 2тоа Отсюда следует, что одному и тому же энергетическому уровню Е, определяемому квантовыми числами п1 н и, при вивг ' п1 ~ пг соответствуют два различных состояния частицы, описываемых волновыми функциями у„, „и у„2гч. Энергетический уровень, которому соответствует не одно, а несколько состояний частицы, называется вырожденным энергетическим уровнем, а число соответствующих ему состояний называется кратностью вырождения или степенью вырождения уровня.
В случае двумерной квадратной потенциальной ямы кратность вырождения энергетического уровня, для которого п1 юь пг, равна двум. Энергетический уровень, которому соответствует одно состояние частицы, называется невырожденным. В двумерной квадратной потенциальной яме невырожденными являются энергетические уровни, для которых п~ = пг. 'Трехмерная потенциальная яма. Рассмотрим частицу, находящуюся в трехмерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками (в потенциальном ящике).
Обозначим через О = <(х,у,г): 0<х<ап 0<у<аг, 0<2<аз) внутреннюю область прямоугольного параллелепипеда (рис. 4.6). В этой задаче потенциальная энергия частицы у(х, у, 2) имеет вид О, (х,у,х)н б, У(х, У,2)= (х, У,2)6 О.
185 Вне потенциальной ямы волновая функция частицы у(х, у, г)мО. Внутри ямы, так же как и в двумерном случае, представим волновую функцию в виде произведения 1г(х, У, г) = Щ1(х)Я/2(у)Щ(г), Рис. 4.б. трехмерная петен и- де фУикцил 'т'1(х) зависит только альная яма (потенциальный от координаты х; у2(у) — только ящик) от координаты у; уз(г) — только от координаты г. Используя тот же самый метод решения, что и для двумерной ямы, из уравнения Шредингера в трехмерном случае получаем три одномерных уравнения: й' у~(х) 2во + — Еру1(х) =О, (2 ))2 " 92(У) 2гпо г(2 й2 + — Е21у2(у) =О, д ~уз(г) 2ю~ + — ЕзМз (г) = О, Дг2 Д2 где Е1 + Ег + Ез — — Е. Решение этих уравнений, обращающееся в нуль на границе области С, т. е.
на непроницаемых стенках потенциального ящика, определяет вид нормированной волновой функции частицы у„, „„(х, у, г) = з1п яп яп (4.26) ~8 . кп~х, нпгу . ппэг й1йгйэ й1 й2 йэ и ее энергетический спектр 186 (4.27) — + — + Здесь квантовые числа п1, п2, пз = 1, 2, 3, ... Отметим, что и квантовое состояние частицы, и ее энергия в случае трехмерной потенциальной ямы задаются тремя квантовыми числами. Рассмотрим движение частицы в кубической потенциальной яме, т. е. будем считать, что а1 — — а2 — — аз — — а.
В этом случае энергетический спектр частицы 2 2 Ья пг д, —— 2(п1 +п2 +пз )* п1 п2 из=1 2 3,... (4.28) 2 2 2 2пгоа Энергетические уровни в кубической яме, для которых п1 =п2 —— пз, являются невырожденными, все остальные уровни вырождены. Вопрос о кратности вырождения энергетических уровней в кубической яме рассмотрен в задаче 4.4. Задача 4.3. Частица массой пгс находится в двумерной квадратной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками во втором возбужденном состоянии. Найдите вероятность обнаружения а а частицы в области 0<х< —, 0<у<-, где а — сторона ямы, а 3 3 также разность значений энергий второго и первого возбужденных состояний.
Решение. Волновая функция частицы, находящейся в двумерной квадратной потенциальной яме, согласно (4.23), имеет виц 2 . Йп~х . нпгу ц~„„(х, у) = — гйп — з1п '"г а а а а ее энергетический спектр описывается выражением гйг 187 а 0<х<-, 3 Вероятность обнаружить частицу в области а 0 < у < — определяется выражением 3 а/3 а/3 Р = ) / )3р~ 3 (х, у)! 4хИу = о о — ~ а1п — гйп — аМу = — — — =0,07.
а о о а а ~3 8п/ Разность значений энергий второго и первого возбужденных состояний частицы равна к'А~ 3 ~'РР ЛЕ = 3 (8 — 5) = — 3. 2ш аз 23я аз Задача 4.4. Частица массой во находится в трехмерной кубической потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками. Сторона куба равна а. Найдите: а) энергию 6-го уровня; б) разность энергий б-го и 5-го уровней; в) кратность вырождения б-го уровня. Ревгевие.
Энергия частицы, находящейся в трехмерной кубической потенциальной яме,согласно (4.28), может принимать значения где квантовые числа л,, лз, вз = 1, 2, 3, ... Основному состоянию частицы, т. е. состоянию с наименьшей энергией, отвечают квантовые числа в, = вз = вз = 1. Энергетические уровни возбужденных 188 где квантовые числа л,, яз —— 1, 2, 3, ... Первому возбужденному состоянию частицы отвечают квантовые числа л, =1, вз —— 2 ( или, наоборот, в, = 2, лз = 1), Следовательно, соответствующий ему энергетический уровень оказывается двукратно вырожденным.
Второму возбужденному состоянию отвечают квантовые числа л, = вз = 2, соответствующий ему энергетический уровень невырожден. состояний частицы определяются приведенным выражением для Е при последовательном увеличении суммы квадратов кванч~ "3 з товых чисел х ~л,.~ (см. таблицу). ьо Как следует из таблицы, б-му энергетическому уровню соответствует сумма квадратов квантовых чисел, равная четырнадцати, следовательно, 2~2 282 Ее = — 14=7 2вса жса Для разности значений энергий б-го и 5-го уровней получаем гйг гйз ЬЕ = Еь -Ез = г 114 — 12) = — з. 2еса юса Обсудим теперь вопрос о кратности вырождения энергетических уровней частицы, находящейся в трехмерной кубической яме.
Если квантовые числа н,, н, и л равны между собой, то соответствующий энергетический уровень оказывается невырожденным. 189 Таковы, например, энергетические уровни, отвечающие набору квантовых чисел (1, 1, 1), (2, 2, 2) и т. д. Если два из трех квантовых чисел равны между собой, но не равны третьему квантовому числу, то энергетический уровень имеет кратность вырождения, равную трем, В частности, трехкратно вырожденными являются 2, 3 и 4-й энергетические уровни. И наконец, если квантовые числа не равны между собой, т. е. если и, Ф лз Ф из, то кратность вырождения определяется числом возможных перестановок из трех чисел, т. е. равна шести. Именно эта ситуация реализуется для 6-го энергетического уровня.
Таким образом, кратность вырождения 6-го уровня Ка = 6. Задача 4.5. Нуклон в ядре за счет действия ядерных сил находится в сферической потенциальной яме радиуса а = 10 ы м с непроницаемыми стенками. Полагая, что основное состояние частицы в поле ядерных сил является сферически симметричным, оцените нижний энергетический уровень нуклона в ядре. Массу покоя нуклона считать равной ео = 1,67 10 ж кг. Решение. Ядра атомов состоят из протонов и нейтронов. Эти частицы в ядерном взаимодействии ведут себя одинаковым образом, поэтому и протоны, и нейтроны в ядре называют общим названием— нуклоны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
