Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. - Квантовая физика (2004) (1076130), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Поэтому искомая вероятность Рл равна квадрату модуля ~Сл~ г соответствующего коэффициента в разложении (3.72). Следовательно, среднее значение (3.74) С учетом (3.73) преобразуем (3.74) к удобному для расчетов виду. При этом (У) =~фф*У„=„")',С„У„~ Члч *а =2„С„~ Ч *У„Ч „(Р. л уУ УлЧ'л = ФЧ'л Следовательно, Я=~с„) ч" (лч„)а = ( ч' Ьс„лч+ л ул чдХ л С учетом свойства линейности оператора Ф получаем ,,)'„СлФЧ'л = Ф(,)' СлЧ'л) = ФЧ'.
Поэтому для расчета среднего значения физической величины 7" в квантовом состоянии системы, описываемом волновой функцией Ч', окончательно получаем формулу (У)= ~Ч "(ФЧ)Л. (3.75) 152 По свойству собственных функций и собственных значений опе- ратора Ф учитывая важность формулы (3.75), ее часто рассматривают как четвертый постулат квантовой механики. Отметим, что если Ч' = Ч'„, то из (3.75), естественно, следует (Х)= ~ Ч'л(ФЧ'п)с1~'= ~ Ч'пХлЧ'п«~'=Х. ~ Ч'лЧ'пФ'=Хл.
~н, и Таким образом, квантовая механика позволяет дать численную оценку потенциальных возможностей того или иного поведения кввапового объекта. И хотя вероятность того или иного результата измерения в квантовой механике относится к отдельному объекту, для экспериментального определения численного значения этой вероятности необходимо многократное повторение измерений в квантовом ансамбле одинаковых систем. Такой подход к описанию физических явлений принципиально отличается от традиционного подхода классической теории. Поэтому на стадии становления квантовой механики столь необычные и революционные идеи даже в среде физиков не сразу нашли полное понимание. "Некоторые физики, в том числе и я сам, не могут поверить, по мы раз и навсегда должны отказаться от идеи прямого изображения физической реальности в пространстве и времени или что мы должны согласиться с мнением„будто явления в природе подобны игре случая.
< ... > Я еще верю в возможность создания модели, т. е. теории, способной излагать сами сущности, а не только вероятности их проявления", — писал А. Эйнштейн в начале ХХ в. Однако впечатляющие успехи квантовой механики при описании явлений в микромире показали, что другой теории, альтернативной квантовой механике, в физике нет. "Внедрение случайности в жизнь Вселенной не порождает хаоса.
В жизни Вселенной осуществляется безмерно великое число проб и испытаний. В этом многообразии событий обнаруживается закон величайшей Красоты и Гармонии. Иллюстрацией этому утверждению может служить квантовая механика, законы которой основаны на концепции, отвергающей предопределенность событий. Именно на этой основе были вскрыты изумительные закономерности атомного мира, позволившие понять строение атомов и молекул, закономерности их взаимодействия", †пис известный физик Д.И.Блохинцев в конце ХХ в. 153 Задача 3.6. Определите скорость изменения со временем среднего значения физической величины Г", считая, что оператор Ф явно не зависит от времени.
Решение. Так как (У)= )'Ч "(ФЧ)ЛР, то — = ) — (ФЧ)Л+ ) Ч*~Ф вЂ” )Л. д(Х) ЭЧ'- ,~ - дЧ"~ й „„дг дг ) Учитывая, что эволюция волновой функции Ч' описывается уравне- нием Шредингера, находим ЭЧ' . ЭЧ'* РЭ вЂ” =НЧ~, -И вЂ” =ЙЧ~*. дг ' д Поэтому Поскольку операторы Й и ч — эрмнтовы, то первый интеграл в правой части этого равенства можно преобразовать к виду /(Йч')(фч) и = ~ (фч)~йч) л = ') ч'(Йфч) и. ия нн н" Следовательно, =-' ) Ч*'~(йа-Ей)Ч'~ И.
Полученное соотношение показывает, что производная среднего значения физической величины по времени может быть представлена как среднее значение для некоторого оператора. Этот оператор и 154 называют производной оператора Ф по времени. Таким образом, для оператора Ф, явно не зависящего от времени, — =-(ЙФ-ФЙ). й д Отсюда следует, что если оператор Ф некоторой физической величины Г явно не зависит от времени и коммутирует с гамильтоннаиом Й, т.
е. ЙФ=ФЙ, то среднее значение (~) этой физической величины не изменятся со временем. Как и в классической механике, в квантовой механике такие величины называются интегралами движения, соответствующими различным законам сохранения. Заметим, что оператор -(ЙФ-ФЙ) м (фй — Йф) А 1'й называется квантовой скобкой Пуассона операторов Ф н Н. 3.7. Одновременное измерение разных физических величин Важным вопросом в квантовой механике является вопрос о возможности одновременного точного измерения в некоторой квантовой системе двух разных физических величин. В качестве таких наблюдаемых величин могут выступать, например, координата и проекция импульса частицы, кинетическая и потенциальная энергии частицы, два различных компонента момента импульса и др Можно ли организовать физический эксперимент так, чтобы в нем эти две величины были измерены одновременно и точно? Какие физические величины в квантовой системе могут быль измерены одновременно и точно, а какие — нет? Некоторая физическая величина считается измеренной точно в данной квантовой системе, если каждое ее измерение в квантовом ансамбле одинаковых систем приводит к одному и тому же результату измерения.
При этом предполагается, что эксперимент проведен идеально и приборные погрешности исключены. 155 В 3.6 было показано, что физическая величина а может быть точно измерена только в такой системе, квантовое состояние которой описывается волновой функцией, являющейся одной нз собственных функций соответствующего этой физической величине оператора А.
При этом вовсе не обязательно, чтобы в этом квантовом состоянии была возможность так же точно измерить другую физическую величину Ь. Эти физические величины а н Ь будут одновременно точно измерены только в том случае, если соответствующие им операторы А и В имеют общую систему собственных функций. Покажем, что если два оператора А и В имеют общую систему собственных функций, то между ними существуют некоторые коммутационные соотношения н результаты последовательного действия операторов на волновую функцию не зависят от порядка нх применения. Действительно, пусть функции Ч'„(а =1, 2, ...) являются собственными функциями как оператора А, так и оператора В.
Тогда выполняются следующие соотношения: А(ВЖ„) = А1Ь„'Р„)= Ь„(АЖ„) =Ь„а„Ж„, В(АЧ'„) = В1а„Ч'„) = а„(ВЖ„) = а„Ь„Ж„. Здесь а„и ܄— собственные значения операторов А и В, соответствующие нх общей собственной функции Ч'„. Отсюда следует, что А(ВЧ'л)= В(АЧ'и). Но так как любая волновая функция Ч' может быть представлена в виде линейной комбинации собственных функций: Ч' =,1„С„Ч'„, то в силу линейности квантово-механических операторов для любой волновой функции должно выполняться коммутационное соотношение 156 А(ВЧ') = В [АЧ'), (3.76) которое в операторной форме может быть записано в виде АВ=ВА или АВ-ВА=О. (3.77) разность операторов А — ВА называют коммутатором операторов А и В и обозначают обычно символом [А,В1жА — ВА. (3.78) Два оператора, коммутатор которых равен нулю, называют коммутирующими операторами.
Таким образом, мы приходим к важному выводу квантовой механики: если две разные физические величины а и Ь могут быть одновременно точно измерены, то соответствующие им операторы А и В должны быть коммутирующими операторами, т. е. для них должно выполняться соотношение (3.77).
Справедливо и обратное утверждение. Таким образом, коммутативность операторов указывает на возможность одновременного точного измерения соответствующих им физических величин. И наоборот, некоммутативность операторов указывает на невозможность такого одновременного точного измерения двух соответствующих им физических величин. По этому правилу проверим, можно ли одновременно точно измерить координату х частицы и проекцию р„ее импульса? Для этого найдем коммутатор операторов х и р;. х(рхЧ') — р, (хЧ~) = х~ -й — )+ й — [хЧ') = йЧ'. 1', дЧ') .
д дх ! дх Отсюда получаем [х, р„] = й ю~ О . (3.79) 157 Таким образом, нельзя одновременно точно измерить координату х частицы и проекцию рх ее импульса. Как и следовало ожи- дать, этот вывод совпадает с выводом, полученным ранее (см. 2.3) при анализе соотношений неопределенностей Гейзенберга.
При одновременном измерении у квантовой частицы ее координаты х и проекции р„импульса результаты измерений в квантовом ансамбле будут разбросаны относительно средних значений, и этн флуктуации можно охарактеризовать средними квадратами отклонений, или дисперсиями: Покажем, что найденное значение для коммутатора ~х, р,1= й позволяет оценить связь между этими дисперсиями. С целью упрощения выкладок ограничимся рассмотрением одномерного движения частицы, выбрав систему отсчета, для которой (х) = О и (р„) = О. В этом случае (( ~~) ( г) ~Ч, гЧ,,~ Будем считать также, что волновая функция Ч' нормирована и поэтому Ч'(~ )=О, причем на бесконечности квадрат модуля волновой функции достаточно быстро (быстрее, чем х ) стремится к нулю. При этих предположениях рассмотрим несобственный интеграл, зависящий от некоторого действительного параметра а и имеющий положительные значения для всех значений этого параметра 1(а)= ~~~ах- — р„~Ч'~ Ит= ~~ахЧ'+ — Ых.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
