Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. - Квантовая физика (2004) (1076130), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Заметим, что обозначение < и ~ т > следует рассматривать как 1 ! сокращенную запись выражения < и~1~ т >, где 1 — единичный (тождественный) оператор, для которого 1Ж,„= Ч'и. Поэтому < и! т > = < Ч'„~ Ч' >= ~ Ч"„Ч' йУ = б и " '(О, если и ~ т. Эту матрицу называют матрицей оператора Ф (или физической величины 1 ) в системе собственных функций оператора А, или, как говорят, в А-представлении.
В квантовой механике при этом используются координатное, импульсное, энергетическое и другиепредставления. Каждую величину Ф„ называют матричным элементом, соответствующим переходу из состояния т в состояние и. Матричный элемент имеет два индекса: первый и — номер строки матрицы и второй т — номер ее столбца.
Для матричных элементов Ф„применяется также обозначение, предложенное Дираком, Итак, оператор Ф физической величины г" в А-представлении определяется матрицей Ф, элементы Ф „которой определяются соотношением (3.88). При этом эрмитову оператору всегда соответствует эрмнтова матрица, для матричных элементов которой справедливо соотношение Ф „= Ф' „. Определим некоторые алгебраические операции над матрицами Гейзенберга.
1. Сложение матриц. Если С=А+В„то для матричных элементов матрицы С = А+ В выполняется равенство С„=Аи +В 2. Умножение матриц. Если С= А В, то элементы матрицы С = А В определяются по правилу перемножения матриц При этом произведение матриц, как и произведение операторов, не коммутатнвно, т. е. в общем случае А В ~~ В.А.
Так как правила сложения и умножения матриц определены, то можно определить и простейшие функции матриц. Так, например, под функцией ехр(Ф) будем понимать следующий ряд из матриц: ехр(Ф)=1+Ф+ — Ф +...+ — Ф +... 2 1 и 2 и! Отметим одно важное свойство матриц Гейзенберга физических величин в квантовой механике. Если определить матричные элементы Ф оператора Ф в собственном Ф-представлении, когда Ф'Р = 1' Ч', то из(3.88) получим ти т~ л~Ф~гл ~т ~ Ч М т~(Р т Хт ~ Ч и Ет~1У = отбит ' ~Ф уФ 167 Это означает, что матрица оператора Ф в собственном представлении является диагональной, т.
е. матрицей, у которой отличны от нуля лишь элементы с л = т, причем эти диагональные злементы являются собственными значениями оператора Ф. Таким образом, важная задача квантовой механики — определение собственных значений квантово-механического оператора Ф вЂ” в матричной формулировке сводится к нахождению такого преобразования матрицы, которое приводит ее к диагональному виду.
Представление квантовой механики в матричной форме позволяет формулировать уравнения квантовой механики так, что в них не фигурирует волновая функция, а сами уравнения по форме совпадают с уравнениями классической механики, но с тем принципиальным отличием, что в зтнх уравнениях классические физические величины заменены соответствующими матрицами. В некоторых случаях при решении задач квантовой механики матричная форма уравнений оказывается даже удобнее операторной. Но в нашем курсе при решении задач квантовой механики будет рассматриваться только операторная форма с использованием волновой функции и волнового уравнения Шредингера. Примеры решения некоторых задач квантовой механики с матричной формой уравнений можно найти в учебниках по теоретической физике.
4. СТАЦИОФЩРНЫЕ ЗАДАЧИ КВАНТОВОИ МЕХАНИКИ Особенности движения микрочастиц в тех или иных силовых полях можно выявить, рассматривая стационарные состояния— состояния, в которых полная энергия частицы остается постоянной. В этом случае плотность вероятности пребывания частицы в какой-либо точке пространства не зависит от времени. Волновая функция, описывающая стационарное состояние частицы, является решением уравнения Шредингера для стационарных состояний.
При движении частицы в ограниченной области пространства, например в случае, когда частица находится в потенциальной яме и не может уйти на бесконечность, ее энергетический спектр оказывается дискретным, т. е. энергия частицы кваитуется.
В случае, когда частица может уйти на бесконечность, она обладает непрерывным энергетическим спектром. Квантование энергии наиболее ярко проявляется для атомных систем, т. е. систем, размеры и массы которых чрезвычайно малы. Решение стационарных задач квантовой механики позволяет получить ряд интересных физических результатов, не имеющих классических аналогов.
В частности, это относится к туннельному эффекту — явлению, заключающемуся в прохождении квантовой частицы через потенциальный барьер, высота которого превышает полную энергию частицы. В настоящее время устройства, в которых используется туннельный эффект, широко применяются в научных исследованиях и технических приложениях: туннельный диод, лампа с холодным катодом, сканирующий туннельный микроскоп и т. д. 4 1.
Уравнение Шредингера для стационарных состояний Основным уравнением нерелятивистской квантовой механики является временнбе уравнение Шредингера 169 . ач (й — = Й~, дг (4.1) ~2 где Й = — Л+ У(х, у, 2, г) — оператор полной энергии частицы г, (гамильтониан). Это уравнение позволяет найти волновую функцию Ч'(х, у, ~, г) как функцию координат и времени, определить плотность вероятности нахождения частицы в любой точке пространства в любой момент времени и тем самым полностью описать квантовое состояние частицы, движущейся в силовом поле. В квантовой механике существует класс задач о движении в силовых полях, для которых силовая функция У(х, у, г, г) не зависит явно от времени, т.
е. У(х, у, х, г) ьэ У(х, у, 2). Такие силовые поля называются стационарными силовыми полями. В этом случае силовая функция У(х, у, 2) имеет смысл потенциальной энергии частицы. В стационарных полях квантовая система может находиться в состояниях с определенным значением энергии Е. Эти состояния называются стационарными состояниями, а задачи о движении частиц, находящихся в таких состояниях, — слкл1ионарными задачами квантовой механики. Именно стационарные состояния квантовых систем и будут рассмотрены в этой главе. Найдем общий вид волновой функции, соответствующей стационарному состоянию. Поскольку оператор Й в уравнении (4.1) не зависит явно от времени, то волновую функцию Ч'(х, у, 2, г) следует искать в виде произведения двух функций Ч'(х, у, х, Р) = Ч1(х, у~ а) ф(г), (4.2) 1й йр — = — Оу.
1Р й Ц/ (4.3) 170 одна из которых — 1у(х, у, а) — зависит только от координат, а другая — Ч1(г) — только от времени. Подставив волновую функ- цию (4.2) в уравнение (4.1) и разделив затем обе части уравнения на чг(х, у, 2)у(1), получим Йц=Ец, (4.4а) (4.4б) Уравнение (4.4а) определяет собственные значения и собственные функции оператора полной энергии (гамильтониана) Н. Следовательно, константа Е представляет собой не что иное, как полную энергию квантово-механической системы. Перепишем уравнение (4.4а) с учетом вида оператора Н: (4.5) )2 )2 д2 где Ь = — + — + — — оператор Лапласа.
Уравнение (4.5) дх2 ду2 д22 называется уравнением Шредингера для стационарных состояний. Его решения — функции цех, у, 2) и соответствующие значения энергии Š— определяются конкретным видом потенциальной энергии частицы (7(х, у, 2). Часто уравнение Шредингера для стационарных состояний записывают в следующей форме: Ьу + — (Š— (7)у = О. 2иЦ1 й2 (4.6) Перейдем теперь к анализу временнбй функции фг). Решение уравнения (4.4б) имеет вид 171 В уравнении (4.3) левая часть зависит только от времени, а „раааа — только от координат. Выполнение этого равенства возможно лишь в том случае, если левая и правая части уравнения равны посто ойвел е, бозначимеебу ой Е. Та мобразом, из (4.3) получаем два уравнения (одно — для функции фх, у, 2), а другое — для функции <р(г)): Е -ю — С ф(г) = срое (4.7) где <ро — некоторая константа.
Без потери общности можно положить щ> — — 1, так как в выражение (4.2), определяющее общий вид волновой функции, входит также функция у(х, у, я), задаваемая с точностью до произвольного множителя. Таким образом, волновая функция частицы, находящейся в стационарном квантовом состоянии, имеет вид ,Е Ч(х, у, т,г)=цг(х, у,т)е " =3г(х, у, с)е . (48) Из (4.8) следует, что волновая функция стационарного состояния гармонически изменяется со временем ь Частота зтого изменения аз= Е/и. Данный результат показывает, что соотношение де Бройля Е = ла, первоначально применявшееся в случае свободного движения частицы, справедливо также и в случае движения частицы в произвольном стационарном силовом поле.
Важно отметить, что для стационарных состояний плотность вероятности местонахождения частицы не зависит от времени. Действительно, Е 2 -ю' — С е м~=)Ч~(х, у, х, г1 =~я/(х, у, я)! Е,Е =~я/(х, у, т)~ е а е а =~ц/(х, у, т)~ (4.9) 172 Можно показать, что в стационарных состояниях от времени также ие зависят вектор плотности потока вероятности и средние значения физических величин.
С учетом соотношения (4.9) условие нормировки волновой функции для таких состояний принимает внд ) ~Ч/(х, у! 2)~ !тУ = 1. (4.10) Задача 4.1. Покажите, что в стационарном состоянии среднее значе- ние физической величины, оператор которой не зависит явно от вре- мени, остается постоянным. Решение. Рассмотрим физическую величину а, оператор которой А не зависит явно от времени. Среднее значение (а), согласно (3.75), определяется нз выражения (а) = / Ч' (х, у, г, !)АЧ'(х, у, г„г)аг!.
С учетом вида волновой функции (4.8) получаем Е .Е (а)= ~Ч!(х,у,г) е" АЧ!(х,у,г) е "Л'. Так как оператор А явно от времени не зависит, то временной мно- .Е -! — ! житель е " можно вынести из-под знака оператора .Е Е (а) = ) я/(х, у, г) е" е " АЧ/(х, у, 2)!зг. .Е .Е ! ! -! — ! Поскольку е" е " =1, товитогеполучаем 173 Координатную часть волновой функции чг(х, у, г) в стационарных задачах часто называют просто волновой функцией, учитывая, что зависимость от времени определяется соотношением (4.8). (а) = ) у(х, у, х)Ау(х, у, г)Л~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
