Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. - Квантовая физика (2004) (1076130), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Мощные короткодействуюшие ядерные силы удерживают нуклоны в ядре. По условию задачи поле ядерных сил У (г) в первом приближении можно моделировать сферической потенциальной ямой с непроницаемыми стенками: Здесь г — расстояние нуклона от центра ядра, а а — радиус потенциальной ямы, равный по порядку величины размеру ядра.
Стенки рассматриваемой потенциальной ямы ( г = а ) непроницаемы для частицы вследствие бесконечности их энергетической высоты. Поэтому вне ямы, т. е. при г>а, волновая функция нуклона равна нулю. Это означает, что нуклон находится только внутри ямы, где 0<г<а. Чтобы найти энергию нуклона в сферической потенциальной яме, нужно решить уравнение Шредингера для стационарных состояний (4.6).
С учетом того, что внутри ямы потенциальная энергия нуклона У = О, уравнение Шредингера запишем в виде 2гл, Е Ьу + Ч(=0, 0<г<а. йг Так как в этой задаче силовое поле имеет сферическую симметрию, следует перейти в сферическую систему координат и рассматривать волновую функцию Ч~ как функцию радиальной координаты г и утловыхпеременных 6 и <р, т.е. у=у(г, д, <р). Но поскольку, согласно условию задачи, основное состояние частицы в яме является сферическн симметричным, т.
е. не зависит от углов 6 и <р, мы будем считать, что волновая функция частицы зависит только от радиальной координаты г. В этом случае оператор Лапласа имеет вид 1 1 ( , йц(г)') И ~Р(г) 2 Йьу(г) ( ) 2 + г' Ыг~ юг ) йз г Нг Таким образом, уравнение Шредингера для частицы в сферической потенциальной яме можно представить в виде Ы~ц~ 2 Ну 2глсŠ—,+ — + У=О, Йг г пг й~ Искомое решение этого уравнения должно удовлетворять двум условиям: рг'(0)~ < и у(а) = О. Первое из этих условий является следствием ограниченности волновой функции в любой точке пространства, а второе — следствием непрерывности волновой функции с учетом непроницаемости стенок потенциальной ямы.
Будем искать волновую функцию ц~(г) в анде зр(г) = —. и(г) Подставляя ее в уравнение Шредингера, получаем уравнение для функции и(г) И~и 2воŠ— + и=О, 0<г<а, ,~„г йг р с граничными условиями и(0) =0 и и(а) =О. 191 Эта задача формально полностью эквивалентна задаче о движении частицы в одномерной потенциальной яме шириной а с бесконечно высокими стенками (см. 4.2).
Поэтому с учетом соотношений (4.16), ( 4.17) ее решения можно записать в виде и„(г)=Аз(п —, л=1,2,3,... лпг а Возвращаясь к функции ж(г), запишем ненормированные (А = сопя) волновые функции лпг зш у„(г)=А ", л=1,2,3, г являющиеся решением исходной задачи и описывающие все возможные сферически симметричные квантовые состояния частицы в данной потенциальной яме. Этим квантовым состояниям соответствуют значения полной энергии частицы 2й2 л, л 2глса При а=1 это выражение определяет минимально возможную полную энергию нуклона в рассматриваемой модели ядра.
Подставляя численные значения тс =1,67 10 шкг н а=10 ' м, находим Е „=3,3 10 Дж = 2,1 10 эВ = 2,1 МэВ. Это значение энергии существенно превышает значение энергии электрона в атоме, что указывает на возможность выделения в ядерных процессах энергии, в миллионы раз превышающей энергию химических реакций. Осуществление реакций деления тяжелых ядер и синтеза легких ядер с выделением ядерной энергии подтверждает этот вывод, полученный как следствие законов квантовой механики. 4.3. Движение частицы в областях потенциального порога и потенциального барьера В 4.2 было рассмотрено движение частицы в ограниченной области пространства — фиинтное движение. Перейдем теперь к 192 „внизу случаев, в которых частица, находящаяся в силовых но„ях, способна уходить на бесконечность, т. е. приступим к рассмотрению ннфинитного движения часпщы.
движение частицы в области потенциального порога. Рассмотрим движение частицы в силовом поле, в котором ее потенциальная энергия У(х) имеет вид О, х<0, 0(х) = Уо, х>0. Такое силовое поле называют потенциальным порогом (потенциальной стенкой). Оно может быть использо- ц, вано для моделирования различных силовых полей с резкой границей. На границе порога, т. е.
при х = О, потенциальная энергия частицы скачком меняется на конечную величину Уо (рис. 4.7). 0 Обозначим область слева от порога (х<0) цифрой 1 и все реше- Рис.4.7.Прямоугольныйпония для этой области будем отмечать тенцнальный поРог индексом 1. Область справа от порога (х > 0) обозначим цифрой 11 и будем отмечать соответствующие ей решения индексом 2. Уравнение Шредингера для частицы в таком силовом поле имеет вид: в области 1 " % 2'яо — 1+ — ЕУ1 — — О, 12 й2 в области П Д Ч~2 2™о (2 й2 + — (Š— (7о)Ч2 = О. 7 — Юпэ Рассмотрим сначала случай, когда энергия частицы Е меньше высоты потенциального порога Уо, т.
е. Е <11о. В этом случае мы имеем дело с высоким потенциальным порогом. Вводя обозначе- ния 1с1 —— — Е и 12 — — — (Уо — Е), (4.29) Г2щ 2 то 1~ й2 к2 получаем уравнения Шредингера для областей 1 и И: 12 Ч'1 +),2ц, 0 (4.30а) ~2 2 2 Ц'2-),2у =О. (4.30б) Решения уравнений (4.30а), (4.306) запишем в виде у,(х) = яв' гх+ яв-' ~х ц/2(х) = А2е"2" + В2е (4.31а) (4.31б) 194 Отметим, что полученные волновые функции цг1и у2, описывающие состояние частицы в областях 1 и И, в случае высокого потенциального порога имеют существенно различный вид. Первое слагаемое в выражении для волновой функции щ1 описывает плоскую волну де Бройля, распространяющуюся вдоль оси х из к области порога, т.
е. слева направо. Аналогично, второе слагаемое описывает плоскую дебройлевскую волну, распространяющуюся вдоль оси х в отрицательном направлении. В том, что выражение е' действительно описывает плоскую волну, легко убедиться, вспомнив про временной множитель в ' для волновой функции частицы, находящейся в стационарном состоянии(4.8). Умножая е' на е '~', получаем е'( ~), т. е. пло- или А1 + В1 — — В~, а~А -111В =-1 В' . (4.32) Уравнения (4.32) позволяют выразить коэффициенты В~ и Вз через коэффициент А,, т.
е. через амплитуду падающей на порог волны де Бройля. Поскольку в подобных задачах все имеющие физический смысл величины, такие, например, как коэффициент отражения частицы от порога, коэффициент прохождения и т. д., выРажаютса чеРез отношение коэффициентов В~ и Вз (или анало- 195 кую волну де Бройля, распространяющуюся вдоль оси х в положительном направлении. Аналогично е '~ соответствует плоской волне де Бройля, распространяющейся вдоль оси х в отрицательном направлении. ' волновая функция Ч11х)(4 31а) представля собои сумму падающей на порог и отраженной от волн де Ро, ~~~да как волновая функшш ~у (.) ~431б) теризующая движение частицы в области П, представляет собой сумму двух экспонент с действительными показателями степени.
Воспользуемся теперь условиями, налагаемыми на волновую функцию. Поскольку волновая функция должна быть ограниченной, а первое слагаемое в выражении для волновой функции ~уз(х) прн х, стремящемся к бесконечности, неограниченно возрастает, то необходимо потребовать, чтобы коэффициент Аз перед этим слагаемым был равен нулю. Далее, в силу того, что порог Уо имеет конечную высоту, волновая функция на границе раздела областей 1 и П должна быть не только непрерывной, но и гладкой, т. е. иметь непрерывную производную. Прнравниваиие волновых функций и их производных на границе раздела двух областей, в которых волновая функция имеет разный вид, получило название сшивки волновых функций и их производных. В данном случае условия сшивки имеют вид гичных им) к А1, то без потери общности можно положить А1 — — 1.
При этом для В1 и В2 из(4.32) получаем к1 — й2 21с1 В,= —, В,= )с1 + 1~2 )с1 + 1~2 (4.33) Таким образом, волновые функции частицы в случае высокого порога равны: щ(х)=е 1 + е 1, х<0, (4.34а) Йх ~1 — 1Й — йх )с1 + 1~2 ут(х) = 1 е 2, х)0. га1 1с1+ 1сг (4.34б) Отметим, что система уравнений (4.32) имеет решение при любых значениях коэффициентов /с1 и 1сз „т. е.
при любых значениях энергии Е (напомним, что Е < Уо). Это означает, что частица обладает непрерывным энергетическим спектром. Найдем коэффициент отражения В, определяющий вероятность того, что частица отразится от высокого порога. Согласно физическому смыслу, коэффициент отражения 7 ! ,Упек! (4.35) .1= — ~Ча Ь|*-Ч*а 1р~ г, (4.36) С учетом соотношений (4.34а) и (4.36) получаем 196 ГДЕ 1, И 1„ея — ВЕКТОРЫ ПЛОтНОСтИ ПОтОКа ВЕРОЯтНОСтИ СООтветственно для отраженной (второе слагаемое в (4.34а)) и падающей (первое слагаемое в (4.34а)) волн. Напомним, что вектор плотности потока вероятности (см.
(3.19)) определяется через волновую функцию у следующим образом: Подставляя эти выражения в (4.35), находим, что Коэффициент прохождения Р частицы через порог (коэффициент прозрачности порога), определяющий вероятность того, что частица пройдет в область 11 имеет вид где 1 — вектор плотности потока вероятности для прошедшей Щ волны цг2(х)(4.34б). Подставляя у2(х)в (4.36), получаем, что ,1ар =О, а следовательно, и Р = О.
Таким образом, в случае высокого порога (см. рис. 4.7) Я = 1, Р = О и выполняется условие Я+ Р = 1. Рассмотрим поведение частицы в области 11 высокого потенциального порога. Волновая функция частицы ц~2(х) (см. выражение (4З4б)) отлична от нуля и уменьшается с возрастанием х по экспоненциальному закону, а это означает, что существует отличная от нуля вероятность пребывания частицы под порогом, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
