Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. - Квантовая физика (2004) (1076130), страница 33
Текст из файла (страница 33)
энергия частицы в яме квантуется. Преобразуем уравнение (4.62) с учетом (4.58) к виду з)п 1с1а — + — + 1 )с1 1 + с18 1с1а )с1 + Й2 С учетом того, что, согласно (4.58), 1с1 + )с2 — — — Уо, получаем 2 2 2лсо ,г 82 1а =+ 2 сс1 2лсоа Уо (4.63) 219 Воспользуемся условиями, налагаемыми на волновую функцию, Поскольку волновая функция должна быть всюду конечной, а первое слагаемое в (4.606) при х -+ неограниченно возрастает, то необходимо потребовать, чтобы коэффициент В был равен нулю, т.
е. чтобы у2(х) = Се Перейдем теперь к анализу граничных условий. Непрерывность волновой функции 1р1(х) на левой непроницаемой для частицы границе ямы приводит, как мы уже видели в 4.2, к соотношению чг1(0) =О, откуда следует, что а=О. Условия непрерывности волновых функций и их производных при х=а дают следующую систему уравнений: Построим графики левой н правой частей уравнения (4.63) как функции параметра /с1а. Точки пересечения синусоиды с прямой (рис.
4.19) определяют корни уравнения (4.63), отвечающие искомым значениям энергии частицы Е. Поскольку, согласно (4.62), 1дй1а<0, будем выбирать только те значения параметра /с1а, которые удовлетворяют условию л — + 7НН < К1 Н < Я + 7ОН, 1 2 где т = О, 1, 2, 3,... На рис. 4.19 1 0 соответствующие области значе2я Зя К1а 3 ний к1а на оси абсцисс выделены жирной линией.
Приведенные графики покаРнс. 4.19. К нахожденшо корней уравнения (4.63) зывают, что энергетический спектр частицы является дискретным. Чем больше глубина УО и ширина а потенциальной ямы, тем ниже наклон прямой линии графика правой части уравнения (4.63) и тем больше точек пересечения имеет прямая с синусоидой.
Следовательно, тем больше энергетических уровней помещается в потенциальной яме. Найдем условие, при котором в яме существует хотя бы один энергетический уровень. В этом сдучае коэффициент, определяющий наклон прямой линии графика правой части уравнения (4.63), должен удовлетворять неравенству <— 2тОУОа %'2 Отсюда получаем гйз Уса > —. Згно (4.64) Обсудим это соотношение подробнее. Именно при выполнении этого условия уравнение Шредингера для частицы в яме имеет решение, т. е. в яме есть хотя бы один энергетический уровень.
220 Говорят, что в этом случае частица находится в яме в связанном состоянии. Отметим, что в левую часть неравенства (4.64) входят только параметры потенциальной ямы — ее ширина а и глубина (), а правая часть неравенства для рассматриваемого типа.часо тиц (значения то) представляет собой константу. Пусть потенциальная яма недостаточно глубока или недостаточно широка, что приводит к нарушению условия (4.64). В этом случае уравнение Шредингера для частицы в яме не имеет решения, или, как говорят, в яме нет ни одного энергетического уровня. В физике такие случаи отсутствия связанных состояний достаточно хорошо известны. Так, например, между двумя нейтронами или между двумя протонами действуют ядерные силы притяжения, однако связанного состояния двух нейтронов или двух протонов в природе не существует — потенциальная яма, соответствующая взаимодействию этих частиц, имеет недостаточную ширину и глубину.
Сила взаимодействия между протоном и нейтроном лишь незначительно превышает силу взаимодействия между двумя протонами или двумя нейтронами, однако этого превышения оказывается достаточно, чтобы появилось связанное состояние нейтрона и протона — дейтрон. В потенциальной яме, характеризующей взаимодействие протона с нейтроном, существует лишь один энергетический уровень. Это означает, что дейтрон всегда находится в основном состоянии и не имеет возбужденных состояний. Вернемся к анализу волновых функций данной задачи. При х < О, как уже отмечалось, у(х) м О. В области 1, т. е.
в потенциальной яме, волновая функция имеет вид щ~(х) = Аз(п/с~я, зто означает, что уравнение Шредингера, как и в случае ямы с двумя бесконечно высокими стенками, имеет осциллирующее решение. Наибольший интерес представляет вид волновой функции в области П ж2(х) = Се Волновая функция уз(х) вне потенциальной ямы отлична от нуля и убывает с расстоянием х по экспоненциальному закону, а 221 это означает, что в связанном состоянии существует отличная от нуля вероятность пребывания частицы вне потенциальной ямы (см. задачу 4.7). Соотношения между константами А и С могут быть найдены из условия нормировки волновой функции. Качественный вид волновых функций для данной задачи приведен на рис.
4.20. Рассмотрим теперь случай Е > ()0. Уравнение Шредингера в областях 1 и П соответственно имеет вид Рис. 4.20. Волновые функ- ции частицы в яме с одной непроницаемой стенкой г — +11 чг1 =0 (4.65а) «% г хх 2 2 — +яг Чг =О, " Ч'г г хх 2 (4.65б) где к1 = ( — Е; Йг = — (Š— (10). ~2ао 2то 1( „г йг (4.66) Решение уравнения (4.65б) представим в виде 2(х) = В ецгх С е-йгх (4.67) Сшивая волновые функции и их производные в точке х= а, приходим к следующей системе уравнений: 222 Запишем решение уравнения (4.65а) с учетом условия на границе ямы цю~(0) =0 й ! н1а -и~а ы иза С~ -иза 2ю' А '~ (е'"'~+е '~'~)=й (В'е'"г" +С'е иза). 21 В'= — е ияа ей1а 1+1 +е 'ь'а 1 — еиза И1а 1 1 + -и~а (4.68) Отметим, что соотношения (4.68) определяют амплитуды В' и С' при любых значениях к1 и /сз, т.
е. при любом значении энергии частицы Е > Уо. Следовательно, при Е ) Ц~ частица имеет непрерывный спектр энергии. Обсудим вид волновых функций (4.66) и (4.67). Каждая из них представляет собой сумму двух волн де Бройля: волны е ' распространяющейся справа налево, и волны е', распространяющейся слева направо. Пришедшая из + волна (второе слагаемое в (4.67)) на границе ямы х = а частично отражается, внося вклад в первое слагаемое в (4.67), и преломляется (второе слагаемое в (4.66)).
Далее волна полностью отражается от стенки при х= О, ( первое слагаемое в (4.66)), опять преломляется на границе ямы х=а, внося вклад в первое слагаемое в (4.67), и уходит на бесконечность. Прямоугольная потенциальная яма конечной глубины. Рассмотрим частицу, находящуюся в области симметричной прямоугольной потенциальной ямы конечной глубины (рис. 4.21). Такая модель качественно описывает движение заряженной частицы, например электрона„вблизи атома и применяется в атомной физике и физике твердого тела. Потенциальную энергию частицы в такой яме представим в виде 223 решая эту систему относительно амплитуд В' и С', получаем их выражения через амплитуду А '.
12о, х<0, 01х)= О, 0<х<а, Уо, х>а. Рассмотрим сначала случай Е < 1)о, т. е. будем считать, что частица находито е х ся в связанном состоянии. Уравнение Шредингера в областях 1 и 1П (вне поРис. 4.21. Потенциальная тенциальной ямы) запишем следующим яма конечной глубины образом: 2 В уз г, — — 112о Е) %,3=0. ,й,г Ьг Вводя обозначение й1 = — (Цо — Е), полУчаем г, „г 2 В 91,3 2 1 2 )11 Ч~1,3 Решения этого уравнения имеют вид 1у1(х) =А1е~1~+В1е ~1", х<0, 1уз(х)=Азе 1" +Взе '", х>а.
Для того чтобы волновая функция была ограничена, нужно потребовать,чтобы В1 =0 и А3 — — О. В области П, т. е. внутри потенциальной ямы, уравнение Шредингера 2 В Чг+2л1о~ „г+,г 2= имеет осциллирующее решение юг(х)=сз1п()12х+а), где йг =~ — Е, а С и а — некоторые постоянные. ~г, 1~ йг 224 асс(х)=А~еь'х, х<0, Ч'2(х) =Сз)п(ссгх+а), 0<х<а, Чсз(х) = В е ~1", . > (4.69) В силу непрерывности волновых функций и их производных в точках х=О и х=а получаем сяа= —, 2 1сс "г ск(Ага+ а) = — г /сс Зтн соотношения можно привести к виду ""г япа= ,Г2.ФО ' й)сг яп(хга+ ос) = 42слоУо Исключая из них а, получаем выражение й)сг )сга = ял — 2 агсяп, л = 1, 2, 3, ..., /2щбо (4.70) которое и определяет вид энергетического спектра частицы в потенциальной яме.
Отметим, что отрицательные значения и и а=О не удовлетворяют условию задачи, поскольку левая часть (4 70) неотрицательна. В силу того что аргумент функции агсяп не может превосходить единицу, значения йг ограничены велий )2 =-,/2,Ц,. 1 л 225 8 — 10329 7 аким образом, волновые функции частицы для данной задачи записываются как Покажем с помощью графического Зп метода, что энергия частицы в яме квантуется, т. е. энергетический спектр, определяемый уравнением (4.70), имеет 2п дискретный характер. Для этого построим графики левой и правой частей уравнения (4.70) в зависимости от /с2 (рис.
и 4.22) . График левой части представляет собой прямую линию у=)сза, наклон которой возрастает с шириной ямы 0 /с~ Ссг а. Графики правой части уравнения (4.70) для значений и = 1, 2, 3 представлены на рисунке кривыми ун уз и уз. Точки пересечения прямой у =)сза с кривыми у; определяют корни уравнения (4.70) .
Таким образом, спектр значений 1сз, а следовательно, и спектр связанньлс с ним значений энергии часпщы Е будет дискретным. Чем больше ширина ямы а, т. е. чем круче идет прямая у =1с2а, тем с большим числом кривых у; она пересекается, следовательно, тем больше энергетических уровней существует в яме. При lсз а<пи в яме может быть и энергетических уровней, т. е. частица может находиться в яме в и связанных состояниях.
С уменьшением глубины ямы Уо величина )с2, вх, а следовательно, и число уровней в яме уменьшаются. В случае Ж Ссз < —, т. е. при Ряс. 4.22. К нахождению корней уравнения (4.70) 2й2 ПО < 2исоа в яме остается лишь один энергетический уровень. Подчеркнем, что в симметричной прямоугольной потенциальной яме конечной глубины всегда имеется по крайней мере один энергетический уровень, т. е. существует одно связанное состояние частицы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
