Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. - Квантовая физика (2004) (1076130), страница 36
Текст из файла (страница 36)
1Ч'о1 г !%о! г 0 ар х 2ао ао 0 ао 2ао х а б Рис. 4.27. Плотности вероятности обнаружения часпщы для квантового (сплошнвя линия) и классического (пунктирная линия) оспиллятора: а — прял=О; б — прял=10 242 Выполненный в этой главе анализ движения частиц в прямоугольной и параболической потенциальных ямах показывает, что, несмотря на различие форм ямы, в поведении частицы в яме имеется много общего: 1.
Энергетический спектр частицы, находящейся в яме в связанном состоянии, является дискретным, т. е. энергия частицы квантуется. 2. Частица, находящаяся в основном состоянии, т. е. на самом низшем энергетическом уровне, обладает не равной нулю энергией. 3. Плотность вероятности обнаружения частицы Ц имеет 2 максимумы в области между классическими точками поворота и экспоненциально убывает вне классической области. Это означает, что с определенной вероятностью частица может находиться вне ямы (за исключением ям с непроницаемыми стенками).
4. При увеличении квантового числа л на единицу волновая функция, описывающая поведение частицы в яме, приобретает дополнительную точку пересечения с осью х. Подчеркнем, что отмеченные свойства не зависят от формы потенциальной ямы, т. е. от вида потенциальной энергии У(х). Следует отметить еще одно важное обстоятельство: энергетический спектр частицы является дискретным (энергия квантуется) только в тех случаях, когда частица находится в потенциальной яме в связанном состоянии. Если же частица движется в области потенциального порога, потенциального барьера или над потенциальной ямой (при Е > Со), то квантование энергии отсутствует и ее энергетический спектр является непрерывным. Этот результат согласуется с общей теоремой квантовой механики, в соответствии с которой энергия всегда квантуется у систем, которые не могут уходить на бесконечность, и не квантуется у систем, способных уходить в бесконечность, т.
е. у которых плотность потока вероятности не равна нулю в бесконечно удаленной точке. Задача 4.10. Гармонический осциллятор находится в основном состоянии. Найдите вероятность обнаружения частицы вне пределов классической области, т. е. вне области — аа < х < аа, где аа — амплитуда классических колебаний. Решениа Поскольку осциллятор находится в основном состоянии, 1 то, согласно (4.81) и (4.85), его энергия равна Ер = — йщ~, а волно- 2 вая функция, описывающая его состояние, имеет вид ~ус(х)= 1 ( х ) = — ехр — . Здесь ха =, а а)~ = — — частота ДД ~ 2~ ~ ~ в~Ма )~еа классического гармонического осциллятора.
При максимальном отклонении классического осциллятора от положения равновесия его полная энергия должна быть равна потенциальной энергии, т. е. йас~ /2 = лаз /2. Отсюда следует, что амплитуда классических колебаний 243 Найдем вероятносп обнаружения частицы в кпассической области 2 1 2 2 2 Р = ) 'ргс(х)~ Ых= — ) е и пх= — ')е ~ су = — (е ~ Ну. Интеграл 1(г)= — )е ~ Ну "о называется интегралом вероятностей. Он широко используется в теории вероятностей, статистике, теоретической и математической физике, его значения для различных пределов интегрирования Г приведены в справочниках специальных функций. В данном случае, при с = 1, 1(1) = 0,8427, следовательно, Р = 0,8427 0,84. Соответственно вероятность Р того, что частица будет обнаружена вне классической области, равна Р =1 — Р 0,16.
Таким образом, вероятность пребывания гармонического осциллятора, находящегося в основном состоянии, вне пределов классической области составляет 16 %. Задача 4.11. Квантовый гармонический осциллятор с частотой колебаний гсз находится в первом возбужденном состоянии. Найдите средниезначенияпотенциальной (У) и кинетической (Е„) энергий осциллятора. Ренгение.
В силу того что осциллятор находится в первом возбужденном состоянии(в=1), его энергия, согласно (4.81), равна Е, = 3 = — йщ,, а соответствующая ему волновая функция имеет внд (4.85): 2 где х =, ч тагес Е„энергий в Операторы потенциальной У и кинетической рассматриваемой задаче имеют вид 2 2 2 82 ~2 О= 2 " 2 2 Ьз Средние значения потенциальной (У) и кинетической (Е„) энергий осциллятора, находящегося в состоянии, описываемом волновой функцией у1(х), согласно (3.62), могут быть представлены следующим образом: (У) = ~у, (х)бу,(х)дх, (Е„) = ~ц, (х)Е в)(х)г(х Найдем среднее значение потенциальной энергии гармонического осциллятора + 2 2 г+ (У) = ~зу1*(х)~1(х)с(х= — ~х !у1(х)/ ~(х.
С учетом явного вида волновой функции ц~1 (х) получаем 4-зз где интеграл 1, = ~ у е т с(у = — ~п. Таким образом, среднее значение потенциальной энергии гармонического осциллятора, находящегося в первом возбужденном состоянии, равно (и) = '"' —,Я =-й,. 2 я 3 3 ,/к еогао 8 4 Теперь найдем среднее значение кинетической энергии (Е ) = ~Ч1(х)Ек9!(х)~Й= — ~ 91(х) ', Их.
2 ее ах~ Вторая производная волновой функции у,1х) по координате х равна 2 Н дг~(х) 1 2 Зх хз пх,/2х /я "о(. хс хо ) Подставляя у, (х) и в выражение для (Е„), получаем И у,(х) 2 (Е ) = ) з+ 4~) е их= (31г А) 2 ) Г- где интеграл 1 = ~ ухе г ~1у = — ~п. Подставляя сюда значения о 4 1, и 1, находим,что (Е„) = ~ — /я — — /и~ = -до~,. 2йгсв Гз 3 ') 3 ~Я~4 8 1 4 Таким образом, средние значения потенциальной энергии (У) и кинетической энергии (Е„) гармонического осциллятора, накодягцегося в первом возбужденном состоянии„равны между собой и состав- 3 лают половину полной энергии осциллятора Е = — йгц~. Можно по- 2 казать, что это утверждение будет справедливым и для любого другого состояния квантового гармонического осциллятора. Полученный результат подтверждает вывод, сделанный в 2.3, о том, что в квантовой механике равенство полной энергии частицы сумме ее потенциальной и кинетической энергий выполняется только для средних значений энергии.
Задача 4.12. Частица массой тс движется в трехмерном потенциальном поле У(х,у,г)= — (х +у +х ), 2 /« — постоянная величина (трехмерный изотропный гармонический осциллятор). Найдите собственные значения энергии частицы и кратность вырождения я-го энергетического уровня, решение. Поскольку движение частицы вдоль осей х, у и г происходит независимо, будем искать волновую функцию в виде произ- ведения Ч«(х У г) = Ч««(х)Ч«г(У)Ч«з(г) где Ч«« зависит только от координаты х; Ч«г — только от координаты у; Ч«з — только от координаты г. Подставляя Ч«(х,у,г) в уравнение Шредингера (4.6), получаем Ч«г(У)Ч«з(г) г + Ч««(х)Ч«з(г) г + Ч««(х)Ч«г (У) г + «( Ч«,(х) «г Ч'г(У) ««Ч«з(г) Иу «(г 2, + — ГЕ-ТЛ(х, У,г)ДЧк,(х)Ч«г(У)Ч~з(г) =О.
«гг Разделив это уравнение на Ч«(х, у, г) и подставив данный в условии задачи вид зависимости (7(х, у, г), приходим к соотношению с 1 «( Ч««(х) 2и«о /с~Р 1 Ч««(х) «(хг йг 2 ~ с 1 «(гЧ«г(У) 2и«о ~У~ 1 аг 2 Ч«г(У) «(У 2л«с — Е. г «(гЧ«(х) 2и« /(у~ 2л«з Ч«,(х) ( ' йг 2 йг ,1 Ч« (У) 2 , (У 2 , — Ег Чгг(У) Ыу йг 2 йг 1 «( Чгз(г) 2л«с яг 2и«с ( г ьг 2 йг 247 Первое выражение в квадратных скобках в левой части этого равенства является функцией только координаты х, второе — только координаты у, третье — только координаты г. Поскольку их сумма — величина постоянная, то каждое из этих слагаемых также будет постоянной величиной: где константы Е,, Ею Ез имеют размерность энергии и удовлетворяют условию Е, + Ез + Еэ = Е. Таким образом, получаем три уравнения для одномерного гармонического осциллятора, решения которых нам уже известны (см. (4.81), (4.83)).
Волновая функция трехмерного гармонического осциллятора представляет собой произведение трех волновых функций для одномерного гармонического осциллятора (4.83) и зависит от трех квантовых чисел л,, из и из. Чгч «г «з(х У г) =Ч~„,(х)Ч),ч(У)Ч~„(х) л,,лэ,лэ — -0,1, 2, 3, ... Для энергии трехмерного изотропного гармонического осциллятора получаем следующее выражение: Е„=йгао л+ —, где и = л, + из + лз, л = О, 1, 2, 3, ...
Найдем кратность вырождения и-го энергетического уровня трехмерного гармонического осциллятора. Для заданного значения л кратность вырождения уровня равна числу возможных перестановок трех чисел и,, из и лэ, сумма которых равна и. Найдем сначала число перестановок при фиксированном значении л,. Оно, как легко видеть, равно числу возможных значений из (или, что то же самое, лз ). Число лз при заданном л1 может меняться в пределах от 0 до (и — л,), т. е. принимает л-гь+1 значение. Следовательно, число перестановок при фиксированном и1 равно л — л, +1. Суммируя это выражение по и,, находим кратность вырождения и -го энергетического уровня: Основное состояние трехмерного гармонического осциллятора (и = 0) оказывается невырожденным (Кс =1) . Первое возбужденное состояние (и =1) имеет кратность вырождения К, = 3, ему соответствуют тройки квантовых чисел (1, О, 0), (О, 1, 0), (О, О, 1). 248 5.
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ АТОМА Атомные системы являются объектами, для описания которых следует использовать законы квантовой механики. Именно поэтому в классической физике значительная часть экспериментальных результатов атомной физики не была объяснена. Первая попытка внести в теорию атомных систем идею квантования была предпринята Н. Бором в 1913 г.
Для простейшего атома водорода эта идея была реализована путем формального введения некоторых постулатов, решающим из которых был постулат квантования момента импульса электрона. Эта теория с большой точностью позволила рассчитать оптический спектр излучения атома водорода. Однако попытки обобщить теорию Бора на более сложные атомы не увенчались успехом. Квантовая физика рассматривает атом как систему, в которой электроны движутся в кулоновском поле ядра. Квантовая теория атома базируется на уравнении Шредингера, решение которого позволяет полностью описать свойства атома. В нерелятнвистской квантовой механике атомных систем в качестве дополнительной гипотезы была сформулирована гипотеза о спине (собственном моменте) электрона, позволяющая согласовать Результаты теории и эксперимента.
В релятивистской квантовой механике представление о спине электрона является естественным следствием уравнения днрака, лежащего в основе этой теории. Успехи квантовой теории атомных систем позволили предсказать ряд эффектов, которые были использованы при создании пРиборов и установок, широко применяемых в науке и технике, например приборов квантовой электроники. В частности, создание оптических квантовых генераторов (лазеров), разработанных на основе квантовой теории излучения атомных систем, стимулировало развитие новых направлений науки и техники в конце ХХ в. 249 5.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
