Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. - Квантовая физика (2004) (1076130), страница 40
Текст из файла (страница 40)
е. два таких оператора коммутируют. Поэтому коммутируют операторы Ь, и Лв „а также оператор Лв, и оператор умножения на функцию У(г), зависящую только от радиальной координаты. Отсюда следует, что оператор квадрата момента импульса Е '3 коммугирует с гамильтониаиом Н в форме (5.17б), записанной для сферически симметричного поля кулоновских сил. Согласно общим положениям квантовой механики, изложенным в гл.
3, это означает, что в любом стациона ном состоянии атома эле он имеет не только оп е еленное значение полной эне гни Е но и оп еленное не изменяю ееся со в еменем значение мо ля момент имп льса Е= 2 Этот вывод квантовой теории атома полностью соответствует классическому результату, согласно которому момент импульса является интегралом движения и не изменяется со временем при движении частицы в поле центральных сил. Значит, функция ~(0 9) в (5.21) должна быть собственной функцией оператора т е удовлетворять уравнению 267 ~ )1 т 1(1+1)й ~1 т (5.22) 1(1+1)ь2 у 2 2в0г 4кеог~ Х = ЕХ.
(5.23) Решение этого уравнения будем искать в виде Х(г) = —. Н(г) г (5.24) Подставив искомую функцию Х(г) такого вида в уравнение (5.23), получим более простое по форме уравнение для функции Я(г): 82 ~2Е + 1(1+1) Й уе 2гл г2 4неог~ Е = ЕК. (5.25) 2~во Нг Перейдем в этом уравнении к безразмерным величинам 1 Е р=У вЂ” и е= — —, е>0, а у2Ж (5.26) выбрав в качестве характерного размера боровский радиус 268 Функции 1~ — — У~ (О, <р) называются сферическими, или шаровыми, функциями (см. формулы (3.70)). Эти функции определяются двумя целочисленными параметрами 1 и т, которые называют квантовыми числами.
Орбитальное (азимугальное) квантовое число 1 принимает значения 1=0, 1,2, ... Квантовое число т=О, +1, +2, ..., +1 называют магнитным квантовым числом. Физический смысл этих квантовых чисел и их названий мы обсудим ниже. Подставив в уравнение (5.20) волновую функцию в виде (5.21), где У(О,<р) =уд,„(О,д), и разделив его на этот угловой множитель, получим уравнение для радиальной функции Х (г): 4яаол а= все авк в качестве характерной энергии — энергию ионизации атома водорода, найденную в теории Бора: 1 е А мое 4 Й~=Е; — —— 2 4неоа 2гл а2 32к2ео2л2 Тогда уравнение (5.25) примет вид (5.27) Я(р) =и(р)ехр( — ар), а = Я. (5.28) Подставляя,(5.28) в (5.27), находим уравнение для новой искомой функции и(р).
После несложных вычислений получаем И и Ии ~2 1(1+1)1 — 2 — 2П вЂ” + — — и =О. е(Р "Р ~Р р (5.29) Функцию и(р), являющуюся решением этого уравнения, будем искать в виде степенного ряда 0 и(р)=р+ ~аьр =,)'.,акр 1=о ь=о (5.30) Для нахождения коэффициентов этого ряда аь подставим (5 30) в (5.29) и соберем члены ряда с одинаковой степенью р. Такая подстановка дает 269 Точное решение этого дифференциального уравнения с перемен- ными коэффициентами следует искать в виде произведения двух функций: ас, ~()с+1+1)()с+1) — 1(1+1)~ р~+~ ~ + т=о + ~ ~2 — 2а(сс+1+1)Др +' =О. я=о (5.31) В первой сумме при )с = 0 выражение в квадратных скобках обращается в нуль. Поэтому суммирование в ней фактически начинается с 1с = 1. Следовательно, сдвинув на единицу индекс суммирования в первой сумме, формулу (5.31) можно преобразовать к виду ~, ~а~+с ( (1+1+ 2) ()с+1+1) -1(1+1)) + +аь~2 — 2а(я+1+1)~~р + =О.
2а(1+1+1) — 2 (1с+1+ 2)()с+1+1) — 1(1+1) 15.32) Однородность уравнения 15.29) позволяет, выбрав значение коэффициента ао, по формуле (5.32) определить ап затем найти аз и т. д. Вычисляя таким образом все коэффициенты аь, находим искомое решение уравнения (5.29) в виде ряда (5.30) по степеням р с известными коэффициентами. Из (5.32) следует, что для достаточно больших значений й 2а связь между коэффициентами ряда (5.30) имеет вид аь, с = — аь.
)с Но именно такая связь существует между коэффициентами ряда ,)„— р =ехр(2ар), " (2а) ь=о 270 Чтобы это равенство выполнялось при всех р, коэффициент при каждой степени р должен быть равным нулю. Значит, ряд (5.30) будет решением уравнения (5.29), если выполняется следующее рекурревтное соотношение для его коэффициентов: предста „пощего собой разложение экспоненты с показателем степени пени 2ар. Следовательно, если ряд (5.30) имеет бесконечное число сл ло слагаемых, то для достаточно больших значений р функ- „~ л (р) будет иметь следующую асимптотику: и(р)=р+ ехр(2ар). Ио тогда из (5.28) следует, что даже после умножения на ехр(-ар) ралиальная составляющая Я(р) будет неограниченно возрастать при р -+ . С учетом (5.21) и (5.24) такой же неограниченный рост на бесконечности будет наблюдаться и у искомого решения уравнения Шредингера.
Такая функция не удовлетворяет условию нормировки и, следовательно, не может рассматриваться как волновая функция электрона. Построенное решение уравнения Шредингера, однако, будет убывать при г — ~ и удовлетворять всем условиям регулярности, если ряд (5.30) оборвется на каком-либо конечном члене, т. е. будет многочленом конечной степени.
Только в этом случае экспоненциальный множитель в (5.28) обеспечит убывание квадрата модуля волновой функции на бесконечности. Из (5.~2))следует, что обрыв ряда (5.30) на номере й = л„произойдет, если выполнится следующее условие: 2а(и„+1+1) = 2. (5.33) 2 л~(1е 1 Ел = — — и — 1 32п2а2ь2 л2 (5.34) 271 Обозначим целое число и„+1+1= и, назвав л„радиальным квантовым числом, а и — главным квантовым числом. Очевидно, что лИ+1,т. е. 1<и-1. Условие (5.33) в этом случае принимает вид ал=1 или а = 1~ л .
С учетом соотношений (5.26) это условие можно сфор~ г мулировать как условие квантования полной энергии электрона в атоме Итак, условие регулярности волновой функции привело к условию квантования энергии атома, которое при У =1 точно совпало с условием квантования энергии (5.12) в теории Бора. Поэтому из (5.34) также следует экспериментально подтвержденная формула Бальмера (5.14). Таким образом, радиальная часть волновой функции электрона в водородоподобном атоме зависит от двух квантовых чисел л и 1 и может быть записана в виде Х„~(р)=р ехр( — ~~„акр, " Ь=О (5.35) г где р=г.—, лг =л — (1+1), причем 1<п — 1, а коэффициенты аь а для й > О находятся из рекуррентных соотношений (5.32).
Значение коэффициента ао в конечном итоге выбирается из условия нормировки волновой функции, которое в сферической системе координат запишется в виде 2п и ) ) ~у(г,О,д)~ г з)пОг)пййр=1. (5.36) О О О Здесь г з)п ОЬМОйр = Л" — элемент объема в сферических коорг. динатах. Следовательно, волновая функция, определяющая квантовое состояние электрона в атоме, найдена. Она имеет вид р (р,О, р)=Х„,(р)У,„(О, р) Значение 1..................... О 1 2 3 4 5 Символ состояния ...........
я р Ы 7" я и 272 и зависит от трех квантовых чисел — л, 1 и гп. Для обозначения квантовых состояний с заданным значением орбитального квантового числа 1 используют следующие спектроскопические символы: В частности, состояние с 1=0 называется з-состоянием, а „ектрон в таком состоянии — л-электроном. Состояние с 1=1 называется р-состоянием и т.
д. для более полного обозначения квантового состояния электрона необходимо указать также значение главного квантового числа и, Оио приводится перед символом состояния. Так, электрон в квантовом состоянии с и = 2 и 1 = О обозначается символом 2з, в состоянии с и = 4 и 1= 2 — символом 4Н и т. д. Поскольку всегда 1< и — 1, то возможны следующие состояния электрона: и=1~1л и=2~2л, 2р и=З~Зл, Зр, Зд и=4-э4л, 4р, 4а, 47 ит.д. Анализ свойств сферических функций 1~ (0,<р) показывает, что все л-состояния электрона, т. е.
состояния с 1 = О и и = О, являются сферическн симметричными состояниями. Волновая функция в этих состояниях не зависит от угловых переменных О и <р. Прив~фем в табл. 5.1. некоторые нормированные волновые функции щль„для ряда квантовых состояний водородоподобиых атомов р = У вЂ” ~. а! Таблица 5.1 273 Окончание табл. 5.1 На рис. 5.7 для некоторых квантовых состояний атома водорода, описываемых найденными волновыми функциями, показана радиальная электронная плотность вероятности в виде облака, густота которого в разных точках пространства пропорпиональна этой плотности вероятности. Именно так в виде облака плотности ве оятности может быть е ставле т вкв й теории.
Рис. 5.7. Пространственное распределение плотности вероятности обнаружения электрона в различных квантовых состояниях атома водорода Задача 5 4. Определите, на каком расстоянии от ядра с наибольшей ероятностью мозно обнаружить электрон в атоме водорода в 14- и 2р-состояниях. решение. В заданном квантовом состоянии электрон можно обнаружить на различных расстояниях от ядра. При этом вероятность нахождения электрона на расстоянии г от ядра, точнее в узком шаровом слое радиусов от г до г+41г, определяется как 2яя 41Р = ) Яр(г, й, 4р)~ г2 а1пй41г41й414р оо Эта вероятность пропорциональна толщине слоя 4Ь, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
