Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. - Квантовая физика (2004) (1076130), страница 38
Текст из файла (страница 38)
е. содержать электромагнитные волны любой длины. Уже этот вывод противоречит линейчатости спектров излучения атомов, наблюдаемой в опытах. Кроме того, непрерывное излучение уменьшает энергию электрона. Поэтому за счет излучения радиус орбиты движущегося электрона должен уменьшаться, и, в конце концов, электрон обязан был бы упасть на ядро.
Иными словами, планетарная модель атома в классической физике оказывается неустойчивой. В 1913 г. Н. Бор показал, что "спасти" планетарную модель атома можно, вводя в теорию атома идеи квантования и выделяя при этом некоторые орбиты, разрешенные для движения электрона. Очевидно, что в правилах квантования должна фигурировать квантовая постоянная Планка. И так как квант действия й имеет размерность момента импульса, то Бор добавил в теорию условие квантования момента импульса движущегося вокруг ядра электрона.
Простейшим атомом является атом водорода, содержащий один-единственный электрон, движущийся по замкнутой орбите в кулоновском поле ядра. В первом приближении ядро атома можно считать неподвижным, а электронные орбиты — круговыми орбитами. С учетом этих предположений Бор сформулировал основные положения теории атома водорода в виде трех постулатов. 1.
Электрон в атоме может двигаться только по определенным стационарным орбитам, каждой из которых можно приписать опРеделенный номер л = 1, 2, 3, ... Такое движение соответствует стационарному состоянию атома, обладающему неизменной полной энергией Е„. Это означает, что движущийся по стационарной замкнутой орбите электрон, вопреки законам классической электродинамики, не излучает энергию.
2 Разрешенными стационарными орбитами являются только те, для которых угловой момент импульса Ь электрона равен целому кратному значению постоянной Планка Ь. Поэтому для и-й стационарной орбиты выполняется условие квантования (5.3) Ь=лй, п=1,2, 255 3. Испускание или поглощение кванта излучения происходит при переходе атома из одного стационарного состояния в другое (рис. 5.4).
При этом частота оз излучения атома определяется разностью энергий атома в двух стационарных состояниях: Электрон г1о) ~ — — Еь -Е„, й > и. (5.4) Квантование энергии атома. Запишем условие вращения электрона массой жо по круговой орбите радиуса г под действием кулоновской силы со стороны ядра и формулу Бора квантования момента импульса электрона: Рис. 5.4.
Излучение атома топ 1 е г г 4кво гг гиоог = ий. (5.5) Решая эту систему уравнений, приходим к следующему выражению для радиусов допустимых (стационарных) орбит электрона в атоме водорода: 4иаог1 и (5.6) мое Вводя в качестве универсальной константы теории боровский радиус а= =0,529 10 м 4иеой |о (5.7) мое как радиус первой стационарной орбиты электрона в атоме водо- рода, запишем формулу (5.6) в виде =1,2,3, (5.8) 256 Важно отметить, что оценка размера атома водорода (- 10 1о м), полученная из (5.7) и (5.8), совпадает с соответствующей оценкой в газокинетической теории.
Отсюда находим, в частности, что иа первой стационарной орбите электрон движется со скоростью 2,2 10 м/с, совершая один пол- 6 -1е ный оборот завремя Т, =1,5 10 с. Полная энергия электрона, движущегося по л-й стационарной орбите, складывается нз его кинетической энергии г 4 о л о 2 32пгвгйг г (5.10) и потенциальной энергии кулоновского взаимодействия электрона с ядром 4 е тое (5.11) 4яаог„ 16пгвгйглг Поэтому с учетом (5.10) и (5.11) получаем важную формулу теории Бора — формулу квантования энергии электрона в атоме водорода: тое 1 13,6 Е=Е„+У=- — = — ' эВ. (5.12) 32пгагйг и' л' о Полная энергия электрона в атоме оказалась отрицательной, так как, по определению, отрицательна потенциальная электростатическая энергия взаимодействия электрона с ядром.
С увеличением номера орбиты полная энергия электрона в атоме возрастает. При этом номер орбиты и является квантовым числом. Па рис. 5.5 в соответствии с (5.12) изображен энергетический сиектр электрона в атоме водорода. В области положительных энергий энергетический спектр свободного электрона является ~плошным спектром. В области отрицательных значений полной 9 — !0329 257 И (5.5) получаем значение скорости электрона на и-й стационарной орбите г гл (5.9) 4паойл энергии энергетический спектр связанного с атомом электрона становится дискретным. Для наглядности на рис. 5.5 каждому возможному значению энергии соответствует энергетический уровень.
В стационарном состоянии электрон может находиться на одном из этих дискретных энергетических уровней. Переход электрона с одного уровня на другой на этом рисунке изображен соответствующей стрелкой, начало и конец которой указывают энергетические уровни, между которыми происходит переход. Е4= — 0,85эВ (а=4) ЕЗ= -1,5 эВ (а=3) Е2= — 3,4 эВ (а=2) Е1= — 13,6 зВ (а=1) Лаймана Рис.
5.5. Энергетический спектр электрона в атоме водорода Обычно атом находится в основном состоянии с наименьшим значением энергии, равным Е1. В таком состоянии атома электрон движется по первой стационарной орбите, имеющей минимальный радиус, равный а. Если атому сообщить дополнительную энергию, то он может перейти в возбужденное состояние (переход 1 на рнс. 5.5). Электрон при этом переходит на орбиту большего радиуса. Возбуждение атомов может иницнироваться различными способами, например столкновением атомов газа в хаотическом тепловом движении, пропусканием через газ потока частиц с высокой энергией (электронов, а-частиц и др.) и, наконец, поглощением атомами излучения. Если энергия, переданная электрону, будет достаточно велика, то электрон может преодолеть силу притяжения к ядру и ото- 258 ся от атома. Такой процесс называют ионизацней атома.
Из 5.5 следует, что минимальная энергия, необходимая для иониции атома водорода (переход 2), равна Е; =~Е1~=13,6зВ. (5.13) а.ь =Š— 2- — 2 (5.14) Здесь постоянная 4 я= " =г,О7.1О" с ' 32я а л (5.15) точно соответствует постоянной Ридберга, найденной из оптических экспериментов. Полученная формула для частот излучения атома водорода точно совпадает с обобщенной формулой Бальмера (5.1б).
Не удивительно поэтому, что за создание теории атома водорода, в основе которой лежит постулат квантования (5.3), в 1922 г. Н. Бор был у остоен Нобелевской премии по физике. 259 Это значение хорошо согласуется с экспериментальными данными, полученными для энергии ионизации атома водорода. В возбужденном состоянии атом долго находиться не может. 1(ак и любая физическая система, атом стремится перейти в состояние с наименьшей энергией.
Поэтому приблизительно через 1О ~с возбужденный атом самопроизвольно (спонтанно) переходит в состояние с меньшей энергией, испуская при этом квант энергии излучения. Такой процесс продолжается до тех пор, пока атом не окажется в основном состоянии. Если определена структура энергетических уровней, то можно рассчитать и структуру оптического спектра излучения атома водорода. Действительно, частоту излучения при переходе электрона с й-й, более удаленной, орбиты на л-ю (я > л) можно определить, используя прав частот из третьего постулата теории Бора.
С учетом (5.4) и ормулы квантования энергии (5.12) получаем выражение для частот излучения атома водорода при различных переходах й ~л: Изложенная выше теория может быть обобщена на случай эллиптических орбит'(теория Бора — Зоммерфельда, 1915 г.) и для описания свойств любых водородоподобных атомов — атомных систем, содержащих один электрон, движущийся в поле ядра с положительным зарядом +Хе. Это — однократно ионизированный + .++ гелий Не (У, = 2), двукратно ионизированный литий 1.1 (Е = 3), трехкратно ионизированный бериллий Ве (Е = 4) и т. д.
Простой пересчет показывает, что энергетический спектр водородоподобного иона получается из формулы (5.12) умножением на У~, а радиус орбит электрона оказывается в У раз меньше, чем в атоме водорода. Н. Бор в своей теории атома водорода впервые реализовал идею квантования энергии частицы, движущейся в силовом поле. Однако зта теория не может рассматриваться как законченная теория атомных явлений. Описывая атом законами классической физики, Бор просто "запретил" электрону, движущемуся по стационарной орбите, излучать электромагнитные волны. При этом условие квантования момента импульса электрона (5.3) не имеет общего физического обоснования и фактически угадано (в дальнейшем будет показано даже, что угадано не совсем верно) для атома водорода.
Попытки Бора обобщить теорию и сформулировать постулаты квантования для более сложных атомов не увенчались успехом. Однако, будучи первой квантовой теорией атома, теория Бора имела большое значение для развития правильных физических представлений об атомных явлениях. С позиции современной физики атом является физической системой, которая заведомо не может быть описана классической теорией, не учитывающей волновых свойств движущегося в атоме электрона.
В последующих параграфах этой главы будет рассмотрено, как в современной квантовой теории формулируется и решается проблема описания атомных систем. Задача 5.1. Покажите, как условие квантования момента импульса электрона в теории Бора атома водорода можно сформулировать с учетом гипотезы де Бройля о наличии у электрона волновых свойств. Решеныа Для электрона, движущегося по круговой орбите радиуса г, момент импульса Е связан с импульсом р простым соотношением: Ь = = Рг. Поэтому условие квантования (5.3) можно преобразовать к виду 260 гнй 2кг=л —. Р Согласно гипотезе де Бройля, движение электрона следует связать с волновым процессом, длина волны которого Ь 2яй ~~в Р Р Следовательно, условие квантования Бора можно записать как 2яг = лХв, л =1, 2, 3, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
