Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. - Квантовая физика (2004) (1076130), страница 23
Текст из файла (страница 23)
е. представлена в виде ряда ч =).с„ч „. (3.55) ~ Ч' Ч'сЛ~=,) С„~ Ч' Ч'„=~Г,С„а „=С . (3.5б) 143 Коэффициенты этого разложения (в общем случае комплексные) можно определить, воспользовавшись ортогональностью собственных функций. Для этого умножим ряд (3.55) на Ч'„, и проинтегрируем по всему пространству.
Тогда, изменив порядок суммирования и интегрирования, получим Отсюда, меняя обозначение и на л, получаем формулу для определения коэффициентов С„в разложении (3.55): (3.57) Если оператор Ф имеет непрерывный спектр собственных значений г", лежащих в интервале Г, то в разложении любой волновой функции по собственным функциям суммирование переходит в интегрирование.
Поэтому (3.58) и непрерывное множество коэффициентов Су определяется по формуле (3.59) Спектры собственных значений квантово-механических операторов. Физическое содержание проблемы нахождения собственных значений квантово-механическнх операторов, которое будет рассмотрено в 3.6, обусловливает принципиально важную роль в квантовой механике этой на первый взгляд чисто математической задачи. Рассмотрим несколько таких задач о нахождении спектров собственных значений операторов. 1.
Спектр собственных значений оператора координаты х непрерывен. В самом деле, так как действие этого оператора на волновую функцию сводится к умножению ее на координату х, то уравнение задачи на собственные значения оператора х, имеющее вид хЧ' = хЧ', (3.60) 144 , дЧ' = РхЧ дх (3.61) из которого следует определить возможные значения р„. Решение уравнения (3.61) Ч'=Сехр 1 —" (3.62) при всех действительных значениях р„определяет функцию Ч', удовлетворяющую всем стандартным условиям регулярности.
Поэтому собственные значения оператора р, образуют непрерывный спектр от — до + . Такой же вывод относится к собственным значениям операторов р ' и р,. 3. Примером дискретного спектра является спектр собственных значений оператора проекции момента импульса Ц. Для определения этого спектра направим полярную ось сферической системы координат вдоль оси г. Тогда с учетом (3.36) уравнение лля определения собственных функций и собственных значений оператора 1, представим как дифференциальное уравнение первого порядка (3.63) Общее решение этого уравнения может быть записано в виде 145 соответствует операторному равенству х = х, которое, по определению, выполняется для любого значения ха(,+ ). Аналогичные выводы получаем для операторов у и х .
2. Спектр оператора проекции импульса рх также является непрерывным спектром. Действительно, задача на собственные значения такого оператора сводится к решению дифференциального уравнения первого порядка Ч' = С ехр 1 — ~ — . (3.64) Собственные функции оператора Е, должны быть однозначными функциями, а так как угловая координата ~р является циклической переменной задачи, то условие однозначности собственной функции сводится к условию ее периодичности: Ч'(ср+2п) = Ч'(~р). Выполняя зто условие для функции (3.64), получаем равенство ехр 1 т =ехр 1-~- ехр 1~ =1.
Из последнего соотношения следует, что — х — =2язп, т=О, х1, 12, Е 2п й Е, =тй, т= О, +1, х2, ..., (3.65) соответствующий набору собственных функций зтого оператора Ч'„, (~р) = — ехр(йи~р). 1 ~Г2ж (3.66) 1 Значение константы С = — выбрано в (3.66) из условия норми/2п ровкн 146 Таким образом, найден дискретный спектр собственных значений оператора Е: 1Ч' Ч' '19=1.
о 4. Собственные функции и собственные значения оператора квадрата момента импульса 1. следует искать из уравнения которое с учетом формулы (3.36) запишем в сферической системе координат: - —.— ~зш — ~+ — г — =1 Ч' (3.67) ~з1пйдВ~ оВ) з(пгВ В~р'~ Репппь зто уравнение можно с привлечением специальных функций. Это решение приводится в курсах теоретической и математической физики. Ниже мы ограничимся лишь кратким перечнем свойств зтого решения. Прежде всего отметим, что спектр собственных значений оператора,Р оказывается дискретным, т. е.
уравнение (3.67) имеет решения из класса регулярных функций только для значений Е~ =а~1(1+1), 1=0, 1, 2, ... (3.68) ч' =у~ (в,ф) (3.69) 147 Каждому собственному значению из (3.68) соответствует 21+1 различных собственных функций, которые выделяются заданием целочисленного параметра т= О, +1, х2, ..., +1. Другими словами, каждое собственное значение оператора Ь имеет кратность 'з вырождения, равную 21 + 1. Собственные функции оператора 1~, найденные из решения уравнения (3.67), имеют вид Функции уд,„относятся к классу специальных функций и называются сферическими, или шаровыми, функциями.
Если их нормировать условием то можно выписать несколько первых нормированных сфериче- ских функций в явном виде: 13 Гз . Уо о = — ', У1 о = ~ — сов О, У1 ~1 = ( — з1п Оехр(~ йр); ~/4п ' 1 4л ' 18п Уго= ( — (Зсоз 0-1),уг з1= ~ — созОз1пОехр(+нр), (3.70) ~(16л ' ~8п Уг зг — — ~ — зш Оехр(+12(р); 1зо — — ~ — созО(5соз 0 — 3). ~~5 г . ~7 ~ г ~ 32л ~16л 5.
Задачи о нахождении спектра собственных значений оператора полной энергии Н связаны с заданием конкретного вида потенциального силового поля, в котором движется частица. Некоторые из них будут решены в гл. 4 при описании стационарных квантовых состояний.
В этих задачах решение уравнения Шредингера будет сведено к нахождению собственных функций и собственных значений гамильтониана Н. 3.6. Измерении физических величин в квантовых системах Пусть известна волновая функция, описывающая состояние частицы в квантовой системе. Каков будет результат измерения физической величины у в этой системе? Как рассчитать и предсказать результаты эксперимента по определению значений этой физической величины? Ответ на зти вопросы о результатах измерений физических величин дает третий постулат квантовой 148 ,столики, утверждающий, что в результате измерения физической величины 1" в любой квантовой системе могут быть получены только такие значения, которые являются собственными значелиями оператора Ф, соответствующего этой величине. Этот важный постулат квантовой механики устанавливает связь между теорией и возможностью ее экспериментальной проверки.
Математический аппарат теории, в котором физические величины представлены операторами, позволяет предсказать результаты измерений физических величин в различных квантовых системах. Эти выводы теории могут быль проверены экспериментально. Так, например, используя найденные в 3.5 спектры собственных значений операторов Т. и Ц, можно утверждать, что при измерении модуля орбитального момента импульса атомов всегда будут получаться значения Ь = ч Ь из набора l 2 а для проекции момента импульса на выделенное магнитным по- лем направление 2 в экспериментах будут получены значения т,,= й, =о,ы,+г,... Точное решение задачи квантовой механики об атоме водорода, которое будет рассмотрено в гл. 5, приведет нас к такому же выводу, причем целочисленные параметры 1 и и в теории атома называются квантовыми числами, характеризующими состояние электрона в атоме.
Теперь следует ответить на вопрос о том, какое конкретное собственное значение ~, оператора Ф будет результатом измерения физической величины ~ в квантовом состоянии, описываемом волновой функцией Ч'? Ответ на этот вопрос подтверждает, что вероятностная интерпретация лежит в основе всех положений квантовой механики. Если состояние частицы в квантовой системе описывается волновой функцией Ч'„, которая является одной из собственных Функций оператора Ф, то в этом квантовом состоянии физическая 149 величина у имеет определенное значение, равное г„.
Это означает, что если представить совокупность большого числа одинаковых независимых квантовых систем (рис. 3.4), в которых тождественные частицы все находятся в одинаковых квантовых состояниях (такую совокупность квантовых систем называют квантовым ансамблем), то, измеряя физическую величину г" в различных системах этого ансамбля, мы всегда будем получать в результате измерения одно и то же значение, равное Г"„.
Квантовый ансамбль систем Результаты измерений Рис. 3.4. Измерение физической величины, имеющей определенное значение Однако возможна и другая ситуация, когда волновая функция не будет являться собственной функцией оператора Ф. В таком квантовом состоянии физическая величина у не имеет определенного значения. Это означает, что, согласно третьему постулату квантовой механики, и в этом случае результатом измерений физической величины г" в системах квантового ансамбля будут только значения из спектра собственных значений оператора Ф.
Однако измерения в различных системах квантового ансамбля (рис. 3.5) будут давать разные значения Я~, У2, ..., Дв и т. д. При этом каждое значение г"„в квантовом ансамбле будет обнаруживаться с определенной вероятностью Р„. В процессе измерения квантовая система взаимодействует с измерительным прибором. В результате такого взаимодействия квантовая система, находящаяся в состоянии, описываемом волно- 150 вой функцией Ч', переходит с вероятностью Р„в состояние с волновой функцией Ч'„. Такой переход называют редукцией, или Кодяанеоы, ВОЛНОВОН фуНКЦИИ.
Квантовый ансамбль систем Результаты измерений Рис. 3.5. Измерение физической величины, не имеющей определенного значения В квантовых системах, в которых физическая величина 7" не имеет определенного значения, имеет смысл находить среднее значение, т. е.математическое ожидание результатов измерений в серии из большого числа измерений (3.71) Для того чтобы рассчитать вероятности Ря в (3.71), следует разложить волновую функцию Ч' в ряд по полной системе собственных функций Ч'„оператора Ф: (3.72) Напомним, что такое разложение всегда возможно и коэффициенты этого разложения вычисляются по формуле (3.73) 151 Разложение (3.72) показывает, что произвольное квантовое состояние можно представить в виде совокупности квантовых состояний с определенными значениями физической величины Г".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
