Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. - Квантовая физика (2004) (1076130), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Переходя от декартовых координат к сферическим по обычным правилам замены переменных х=гз1пйсоад, у=гашОз1п<р, г=гсозО, формулы (3.34) и (3.35) преобразуем к следующему виду: Так как полная энергия часпщы в классической механике есть сумма кинетической и потенциальной энергий, то в квантовой механике оператор полной энергии Н определяется как сумма операторов кинетической и потенциальной энергий.
Поэтому Й =е„+О = — +У. Р г, й2 Й= — А+У(х, У,г). г, (3.39) В классической механике полную энерппо часпщы, выраженную через ее координаты и импульс, называют функцией Гамильтона. Поэтому в квантовой механике оператор полной энергии Н называют оператором функции Гамильтона или просто гамильтонианом.
Гамильтониан Н является основным оператором квантовой механики, поскольку, выбирая конкретный вид гамильтониана с учетом силового поля, действующего на частицу, мы формулируем на математическом языке все особенности квантовой системы. Поэтому и основное уравнение нерелятивистской квантовой механики — уравнение Шредингера (3.8) — может быть записано в операторной форме, содержащей гамильтониан Н: й — = НЧ'. дЧ' дг (3.40) Заметим, что формула (3.39) определяет гамильтониан квантовой системы и в том случае, когда силовое поле является нестацинарным, т. е.
У = У(х, у, г, 1), а Ф = -8габ У. Однако эту формулу нельзя применить, если на частицу действуег сила, зависящая от скорости частицы. К такому типу сил относится, в частности, сила Лоренца, действующая на движущуюся в электромагнитном поле заряженную частицу. Если такое поле 136 Подставляя выражение для оператора квадрата импульса из фор- мулы (3.33), запишем оператор полной энергии как характеризуется скалярным ~р и векторным А потенциалами, то гамильтониан в уравнении Шредингера (3.40) следует записать в виде .,г Н = — (р-ЧА) +у~+У. 2то 1 Здесыу — заряд частицы, а векторный оператор А = А(х, у, х, г) и скалярный оператор ф=фх, у, х, г) являются операторами умножения на эти функции. Физическое содержание операторного метода в квантовой механике накладывает определенные ограничения на возможный вид квантово-механических операторов.
Пусть Ф вЂ” оператор физической величины )'. Тогда для любых функций Ч'1 и Ч'З и произвольных постоянных С1 н Сз должно выполняться равенство Ф(С1Ч'1+ СзЧ'з ) = С1ФЧ'1+ СтФЧ'з . (3.41) Операторы, обладающие таким свойством, называются линейными операторами. Свойство линейности операторов физических величин тесно связано с принципом суперпозиции квантовых состояний. Использование в теории линейных операторов не нарушает этого принципа. Оператором физической величины может быть только линейный самосопряженный (эрмитов) оператор. Такому оператору, как показано в 3.5, соответствует действительная (не комплексная) физическая величина. Самосопряженным называют оператор, который совпадает со своим сопряженным оператором.
В этом случае для произвольных функций Ч'~ н Ч'з тождественно выполняется следующее интегральное равенство ~ Ч'1 (ФЧ'з)пУ = ~ Ч'з(ФЧ'1) 0К (3.42) 137 Таким образом, каждой физической величине в квантовой механике ставится в соответствие определенный линейный самосопряженный оператор. Непосредственной проверкой можно убедиться, что все определенные выше квантово-механическне операторы обладают такими свойствами. Задача 3.4. Проверьте условие самосопряженности оператора проекции импульса р„. Реиениа Рассмотрим две нормированные волновые функции Ч', (хд) и Ч'2 (х,г), удовлепюряющие стандартным условиям регулярности и, в частности, условиям на бесконечности: Ч', 2(-, 1) = Ч',2 (+, г) = О.
С помощью интегрирования по частям находим, что »1»21 + 1»2 = )»Ч'г~ '" ! 1»х= ~Ч'2(Р Ч'1) 1»х Таким образом, мы доказали, что )Ч1(рлЧ2) х »Ч2(ркР1) В соответствии с (3.42) это и доказывает для одномерного случая (К =1) самосопряжеиность оператора р„. Для И=2 и У =3 доказательство выполняется аналогично. Задача 3.5. Определите 2-проекцию оператора момента импульса»2 в сферической системе координат. 138 реивеиие. Используя формулы связи декартовой прямоугольной и сферической систем координат х=гв1пйсов<р, у=гв1пЕв1п<р, в=гсовЕ, запишем вытекающие из них соотношения х~+у +в~ =г~, х +у =г в1п Е, у=х1ур, Дифференцируя зти формулы, находим Йр усов гр вшв' ду х пЕ' дх хз Так как д дгд дфд дед дх дх дг дх йр дх дЕ д д.д дрд дед — — — + — +— ду ду дг ду д<р ду дЕ то Е, =1й у — -х — =1й у — г-х —" — + + у — -х — — + у — х —— 139 дг х — =-=в1пЕ ° р дх г дЕ сов гр сов Е д» вЂ” "= — = пЕв1п р, дг у ду г яп гр дф сов~ гр сов <р дЕ в1пр Е су г Подставляя найденные значения производных, находим, что у — -х — = у — — х — =О, у — -х — ~=-1.
др де~ уа» ау~ Следовательно, , а ь =-1а —. 1 ав' 3.5. Собственные функции и собственные значения операторов Основные свойства собственных функций. Значения, которые может принимать данная физическая величина у, называют в квантовой механике ее собственными значениями. Нахождение таких значений тесно связано с математической задачей определения собственных функций и соответствующих им собственных значений оператора Ф. Если при действии оператора на некоторую функцию получается та же самая функция, умноженная на число, т.
е. если ФЧ'=уЧ', (3.43) то такую функцию называют собственной функцией оператора Ф, а число у" — его собственным значением. Квантово-механические операторы имеют не одну, а множество собственных функций и соответствующих им собственных значений. При этом совокупность собственных значений называют спектром оператора. Спектр оператора Ф считается дискретным, если он состоит из счетного множества значений ~'„для л = 1, 2, ..., соответствующих набору собственных функций Ч'„, которые представляют собой регулярные решения уравнения вида 140 ФЧ'„=~„Ч'„, и=1, 2, (3.44) ФЧ' = г" Ч'.
(3.45) Выполнив операцию комплексного сопряжения, получим (ФЧ') =г" Ч' . (3.46) Если в соотношении (3.42), которое для самосопряженного оператора выполняется тождественно, положить Ч'1=Ч'2 —— Ч', то в результате получим интегральное соотношение ( Ч" (ФЧ')ЫУ = ( Ч'(ФЧ') дУ, (3.47) 141 Спектр собственных значений оператора может быть либо непрерывным, когда в (3.43) г может принимать все возможные значения, либо состоящим из отдельных полос (интервалов), таких, что значения г' лежат в ряде интервалов.
В некоторых случаях одному собственному значению ~, оператора Ф принадлежит не одна, а несколько собственных функций Ч'„1,Ч'„2, ...,Ч' ~. Такие случаи называются вырожденными, а число Й таких функций называется кратностью вырождения. Из (3.43) следует, что собственные функции, вообще говоря, определены с точностью до некоторой постоянной, значение которой обычно выбирают из условия нормировки собственных функций. Докажем, что собственные числа операторов физических величин в квантовой механике всегда являются действительными числами и это свойство обусловлено самосопряженностью операторов.
Действительно, пусть Ф вЂ” самосопряженный оператор, а Ч' — его собственная функция, соответствующая собственному значению Г'. По определению, функция Ч' является решением урав- нения которое с учетом (3.45) и (3.46) можно преобразовать к виду (3.48) Отсюда следует, что ~ = ~, т. е собственные значения самосопряженных операторов всегда являются действительными числами. Докажем важное свойство ортогональности собственных функций квантово-мехаиическнх операторов. Пусть Ч'„и Ч'„,— две собственные функции самосопряженного оператора Ф, соответствующие различным собственным значениям 1".„и ~„, тогда они являются решениями следующих уравнений: ФЧ'„=У„Ч'„и ФЧ' =У Ч'„.
(3.49) Условие (3.42) самосопряженности оператора Ф, записанное для функций Ч'„и Ч'„„принимает вид ~ Ч'„(ФЧ',„)ЫУ = ~ Ч'„,(ФЧ'„) сй~. (3.50) дН ~М Отсюда с учетом (3.49) получаем ~„, ~ Ч'„*Ч'~ЫУ = ~'„~ Ч'„,Ч'„ЫУ. (3.51) ~н ~м (У -У„) ~Ч'„*Ч Л =0. (3.52) 142 Так как для самосопряженного оператора Д„= ~,, то (3.51) можно преобразовать к виду Если и я т, то ~„Ф ~„, и из (3.52) получаем условие ортогональности собственных функций, соответствующих различным собственным значениям: ~ Ч'„Ч' НУ вЂ” О, и ~ лз. , и (3.53) Если волновые функции Ч'„и Ч'„, считать нормированными на единицу, то условие ортогональности (3.53) собственных функций может быть записано как условие ортонормированносги (3.54) где символ Кронекера а„= О при л ~ т и а„=1 при л = гл. Математическая теория линейных самосопряженных операторов доказывает, что система собственных функций квантовомеханических операторов является полной системой функций. Это означает, что всякая волновая функция Ч', определенная в той же области переменных, что и собственные функции оператора, может быть разложена по собственным функциям, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
