Феодосьев В.И. Сопротивление материалов (1075903), страница 61
Текст из файла (страница 61)
11.40). нагружения возрастают пропорционально некоторому параметру, например времени. В этом случае, как можно показать, главные оси напряженного состояния при изменении внешних сил сохраняют свое направление. Такой вид деформации носит название простой деформации, а нагружение — простпого наеружения. Рассмотрим примеры решения некоторых задач, для которых необходимо применение аппарата теории пластичности.
бс,ИПа а ЛЮ УХО Ж 750 Юд Рис. 11.40 П р и м е р 11.12. Определить увеличение диаметра цилиндрического бака (рис. 11.41, а) в зависимости от давления р. Лиаграмма растяжения материала задана (рис, 11.41, о); Р = 1800 мм, Л = 10 мм. Меридиальное и окружное напряжения в стенках цилиндра равны ах =атп = 4Л ' рР ак=ас=— 2Л Согласно формулам (11.30), с; ( 1 с~ = — а~ — — аш а; ~ 2 3 с; рР или с~ = — — —. 8 а; Л Увеличен ие диаметра Зс;рР~ ЬР = Рс! = — — ' —. 8 а; Л (11.31) По формуле (11.25) находим ~3 рп 4 Л Построим теперь зависимость ЬР от давления р. Задаваясь давлением р, вычислим а;, а по диаграмме испытания находим с~. Затем из выражения (11.31) определяем ЬР и по точкам строим искомую зависимость (рис.
11.42). Полученное решение справедливо в пределах небольших йО, пренебрежимо малых по сравнению с диаметром й. В противном случае в выражениях для е и ек необходимо было бы учитывать изменение диаметра. Рис. 11.42 П р и м е р 11.13.
Для определения силы ударной волны, возникающей при взрыве, часто применяют тонкие свинцовые мембраны (рис. 11.43). Под действием давления мембрана получает остаточный прогиб, по величине которого н судят о силе волны. Требуется определить зависимость прогиба такой мембраны от давления. Решим задачу приближенно, полагая, что напряжения распределены по толщине мембраны равномерно и что форма изогнутой мембраны близка к сферической поверхности. Такое предположение, не сказываясь сильно на количественных результатах, значительно упрощает решение. Рис.
11.44 Рис. 11.43 Обозначим через р радиус кривизны сферической поверхности, а через а — половину центрального угла сегмента (рис. 11.44). Очевидно, р = а/з1па, нли, вследствие малости а, р а/а, где а — радиус мембраны. а аа Прогиб мембраны ~ = а Сб — — —. Окружное и меридиональное 2 2 напряжения в мембране 468 рр ра е~ — — е~ = — = —. 2Й 4ЬУ (11.32) Наконец, удлинения в мембране можно определить по разности длины ду- ги АС и хорды АВ: ра — ря(па а 2 1 г г с = ря1па 6 3 аг (11.33) Теперь обратимся к соотношениям пластичности (11.30). Примем (гз = О, ~т~ = е~л, ~ту — — ст~.
Тогда откуда 4~т;1 14ю~/1 ~втв = — — ~сетв + — с$ , '4тс = — — сф + — сщ 3 с; 2 3 с< 2 Подставляя сг, и ею в третье выражение (11.30), находим ст — -(с~+ +са). Подставляем сс в выражение интенсивности деформаций (11.26). То- 2 — с„, +с„,с~+с,. Но с~ — — с~ = с, позтому с; = 2с, или, г г ~/3 согласно выражению (11.33), 4 ~г (11.34) 3 аг Наконец, выражение е; (11.25) с учетом того, что г~ = О, а а„, = сто, приводим к виду ра ~ги = ~геь = —.
4й~ (11.35) Порядок построения искомой зависимости выглядит следующим образом. Задаемся прогибом ~. По формуле (11.34) находим с;. Далее, по диаграмме растяжения е; = Дс;) определяем е;, а по формуле (11.35) находим давление р, соответствующее принятому прогибу. Так по точкам строим искомую зависимость. 469 П р и м е р 11.14. Отожженную проволоку протягивают через коническое сужающееся отверстие (фильеру). В результате диаметр проволоки меняется с размера Рг на Р1 (рис.
11.45). Пренебрегая трением н считая угол конусности малым, определить, во сколько раз при указанной схеме вытяжки можно уменьшить диаметр проволоки. Материал обладает свойством идеальной пластичности. Рис. 11.46 Рис. 11.45 Обозначим через Р текущий диаметр, а через р — контактное давление и составим уравнение равновесия для элемента проволоки длиной Ыз (рис. 11.4Б): « г '«Р (е + йг) — (Р+ 2а 4я) — е — + р«Ра Иг = О, 4 4 где а — половина угла при вершине конуса. После преобразований получим йт 4а — + — (е+ р) = О. Р Так как материал обладает идеальной пластичностью, то интенсивность напряженного состояния е; постоянна и равна е,. Но в данном случае ел = е~ ех = еу = — р~ тху = туз — Гдх = О.
Поэтому~ согласно выражению (11.25), получаем е + р = е„а так как Р = 0~ + 2аг, то уравнение равновесия примет вид Йт 4ае, Ыг Рь + 2аг Интегрируя, получим е = — 2ет [1и(Р~ + 2ая) — 1п С]. Постоянную С подбираем из условия, что при входе в фильеру, т.е. при Р = Рз, напряжение е = О. Тогда получим Р е = 2е,1п —. Р Напряжение на вытягиваемом участке Рз е~ —— 2е, 1п —. Р~' Но е~ не может быть больше е„иначе этот участок будет продолжать удлиняться и сужаться, поэтому — ( ~/е = 1,65. Рз Р~ Естественно, что упрочнение материала и учет сил трения могут заметно изменить эту оненку. 4ТО Глава 12 ПРОЧНОСТЬ ПРИ ЦИКЛИЧЕСКИ ИЗМЕНЯКЭЩИХСЯ НАПРЯ;ЖЕНИЯХ 12.1. Понятие об усталости материалов ханизма.
Ось вагона, вращающаяся вместе с колесами (рис. 12.2), также испытывает циклически изменяющиеся напряжения, хотя внешние силы остаются неизменными, Происходит это в результате того, что Рис. 12.1 471 Многие детали машин в процессе работы испытывают напряжения, циклически меняющиеся во времени. Например, детали кривошипно-шатунного механизма двигателя внутреннего сгорания (рис. 12.1) находятся под действием периодически меняющихся сил. Закон их изменения определяется видом индикаторной диаграммы и кинематическими особенностями ме- частицы вращающейся оси оказываются попеременно то в растянутой, то в сжатой зонах.
1 1 ! ~~У Рис. 12.2 Для оси вагона на рис. 12.2 показана эпюра изгибающих моментов. В точке А поперечного сечения (рис. 12.3, а) имеем о = Му/1~. Расстояние у от точки А до нейтральной оси Ю меняется во времени по закону у = — в~пы1 где ы — угловая 2 скорость вращения колеса. Следовательно, РаР с~(1) = япсЛ. г~, Таким образом, нормальное напряжение в сечениях оси меняется по синусоиде с амплитудой (рис. 12.3, б) РаР о„= 21~ Ф Рис.
12.3 Опыт показывает, что при переменных напряжениях после некоторого числа циклов может наступить разрушение детали, в то время как при том же неизменном во времени напряжении разрушения не происходит. 472 Число циклов до момента разрушения зависит от о„и изменяется в весьма широких пределах. При больших напряжениях для разрушения бывает достаточно 5... 10 циклов. Это хорошо видно хотя бы на примере многократного изгиба куска про- Ь, ) волоки (рис, 12.4). При меньших напряжениях деталь выдерживает миллионы и миллиарды циклов, а при еще меньших — способна рабо- Рис. 12.4 тать неограниченно долго.
После разрушения на поверхности излома детали обнаруживаются обычно две ярко выраженные зоны (рис. 12.5 и 12.6). В одной зоне кристаллы можно различать невооруженным глазом с большим трудом. Микроповерхность излома сглажена. В другой зоне явно выступают признаки свежего хрупкого разрушения, кристаллы имеют острую огранку и блестящую чистую поверхность. Рнс. 12Л 473 Рис. 12.6 В целом создается впечатление, что подобного рода разрушение связано с изменением кристаллической структуры металла.
Именно этим и объясняли в свое время разрушение при циклических напряжениях. В настоящее время установлено, что структура металла при циклических нагрузках не меняется. Разрушению предшествует многократно сменяющаяся прямая и обратная пластическая деформация в наиболее слабых плоскостях наименее удачно расположенных кристаллов.
Это приводит к тому, что кристаллическое зерно, сохраняя в основном свою форму и связь с соседними зернами, постепенно разделяется на части полуразрушенными разрыхленными прослойками, имеющими определенную кристаллографическую ориентацию. Из рис. 12.5 видно, что разрушение вала произошло в результате развития трещины, образовавшейся у края сечения. Разрушение рельса (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
