Феодосьев В.И. Сопротивление материалов (1075903), страница 57
Текст из файла (страница 57)
В этом случае о пригодности конструкции судят либо по возникающим перемещениям, либо по предельной, или разрушающей нагрузке. Для того чтобы ввести в расчетные формулы зависимость о = ~(е), диаграмму растяжения необходимо схематизировать. При упругих деформациях на участке ОА (см. рис. 11.1) диаграмма растяжения близка к прямой, и можно с весьма большой степенью точности принять, что с пропорционально я.
Дальнейшую схематизацию участков диаграммы проводят различными способами в зависимости от вида диаграммы и от предполагаемого метода решения конкретной задачи. 43б В случае, если диаграмма материала имеет площадку текучести, как, например, для малоуглеродистых сталей, можно приближенно представить диаграмму в виде двух прямых (рис. 11.3, а).
Ло предела текучести имеет место обычная линейная зависимость, а дальше, когда напряжение а становится равным пределу текучести ют р, напряжение не зависит от деформации, т.е. ю = ат,р. Рис. 11.3 Понятно, что при достаточно больших удлинениях эта закономерность теряет свою силу точно так же, как теряет свою силу и закон Гука. Диаграмма, показанная на рис. 11.3, а, носит название диаграммы идеальной пластичности. Зависимость между ю и е можно также представить в виде двух прямых и для некоторых диаграмм, где отсутствует площадка текучести (рис. 11.3, о).
При ~ ( я.г имеем а=Ее, при е) ет ~т.р = Р(~ ет)~ где Е и Р— угловые коэффициенты прямых. Значение Р обычно существенно меньше Е. Подобные диаграммы свойственны большей частью легированным сталям. Для некоторых материалов, как, например, для отожженной меди, диаграмма не имеет явно выраженного упругого участка (рис. 11.4). В этом случае кривая может быть представлена степенной зависимостью 43В Рис.
11Л где А, и — постоянные, которые подбирают так, чтобы принятая зависимость на участке рабочего изменения я возможно ближе подходила к экспериментально снятой кривой. Существенно отметить, что схематизация конкретного участка диаграммы зависит еще и от того, сколь широки пределы изменения деформаций в рассматриваемой задаче.
Так, если ожидаемые деформации лежат в пределах от О < е < а1 (рис. 11.5), диаграмму следует схематизировать прямыми ОА и АЬ. Если же необходимо исследовать поведение системы в пределах больших деформаций, например в пределах О < е < е2, диаграмма может быть схематизирована прямыми ОА и АС. В ряде случаев упругой деформацией по сравнению с плас- Ф В тической можно пренебречь. Тог- А да диаграмму растяжения схематизируют прямыми ОА и АВ ь (рис.
11.6). Ло напряжений, не превышающих предела текучести, Рис. 11.В тело рассматривают как жесткое, при больших напряжениях его считают пластическим. Материал, наделенный такими свойствами, называется жестко- пластическим. Так или иначе, но во всех случаях функцию, которой заменяют диаграмму растяжения, подбирают в первую очередь в зависимости от формы кривой.
Если в дальнейшем оказывается, что выбранная функция при решении конкретной задачи 437 приводит к громоздким вычислениям, выбирают новую функцию с таким расчетом, чтобы, с одной стороны, она продолжала служить достаточно точным приближением к диаграмме растяжения, а с другой — сложность вычислений не была чрезмерной. Во многих случаях вместо подобранной аналитической зависимости 17 = ~(е) пользуются графическими, графоаналитическими или численными методами решения. С простейшими из этих методов мы ознакомимся ниже.
11.2. Напряжения и перемешения в простейших стержневых системах при наличии пластических деформаций Рассмотрим несколько задач, на примере которых можно увидеть основные особенности поведения систем при пластических деформациях. Наиболее просто решаются эти вопросы для стержневых систем. П р и м е р 11.1. Определить абсолютное удлинение, возникающее под действием собственного веса, свободно висящей проволоки длиной 1 из отожженной меди, диаграмма растяжения которой приведена на рис.
11.7. Зависимость удлинения е от напряжения 1г может быть представлена степенной функцией е = А1г~. Константы А и л заданы. Рис. 11.7 На расстоянии я от конца проволоки с = 7~, где 7 — плотность меди. Деформация е = А у" г". Искомое абсолютное удлинение определим путем интегрирования этого выражения по длине проволоки: 1 1л+ 1 А1" я" ~я = Ау" и+1 о 438 П р к м е р 11.2. Определить усилия в стержнях и неремещенне узла А (рис. 11.8, а) в зависимости от силы Р. Найти также остаточные напряжения, которые возникают в системе после ее нагружения силой Р н последующей разгрузки.
Диаграмма растяжения материала обладает участком идеальной пластичности (рис. 11.8, 6). а Рис. 11.8 При малых значениях силы Р во всех стержнях системы возникают упругие деформации. Усилия в стержнях определяются обычкыын методами раскрытия статической неопределиыости. Поскольку такую задачу мы уже рассматривали ранее (см.
пример 1.5), выпишем значения усилий в стержнях без вывода: Рсоа~ а Р (11.1) 1+ 2соаз а' 1+2соаз а' где № — нормальная сила в крайнем стержне; а Фг — то же в среднем. Перемещение точки А равно удлинению среднего стержня, т.е. Уг1 Р1 1 6~ = Ег' с'Р 1 + 2 совз а Эти зависимости сохраняются до тех пор, пока в среднем стержне, в котором нормальная сила больше, чеы в крайних, не возникнут пластические деформации..)то произойдет при (11.2) или при Р = е,.рГ(1+ 2сов а). Далее напряжение в среднем стержне остается неизменным, раиным ~г, р.
Сила Фг также не меняется. И равна п,.рГ. Усилия в боковых стержнях определяк>тся в этом случае нз условия равновесия узла (рис. 11.9). 4~~т.р~ ~Л~~ Рис. 11.9 439 Система, таким образом, из статически неопределимой превращается в статически определимую: Ф Р вЂ” Ф,.РГ № = 2 сова (11.З) Перемещение точки А (см.
рис. 11.9) равно Ы1/сова, или ЕГ совз а 2ЕГ совз а Лвлее и в боковых стержнях напряжения становятся равными пределу текучести. Из выражения (11.3) следует, что это произойдет прн Р ~у.рГ (1 + 2 сов а). уфр ф Рис. 11.10 Теперь рассмотрим вопрос об остаточных напряжениях, возникаюших в системе после раэгруэии. Понатио, что при этом имеетск в ви. ду нагружение системы такими силами, при которых в среднем стержне 440 В этом случае система превращается в механизм, поскольку при дальнейшем возрастании силы условие равновесия для системы не соблюдается. В каждом из стержней нормальная сила, судя по диаграмме растяжения, не может быть больше, чем ю,.р Г, а вертикальная составляющая трех сил равна ю,,рГ(1+ 2сова) и остается постоянной.
Таким образом, к системе не может быть приложена сила, ббльшая указанной. Эту силу для данной системы следует рассматривать как предельную. В некоторых случаях ее именуют также разрушающей нагрузкой. Понятно, что название "разрушающая нагрузка" не отражает полностью существа явления. Если действительнал диаграмма растяжения при увеличенных значениях с имеет участох упрочнения, то возможно, что сила Р, большая предельной, окажется в дальнейшем уравновешенной внутренними силами. Однако это произойдет при весьма заметных перемещениях и столь сильных изменениях геометрической формы системы, что последнюю в этих условиях можно рассматривать как разрушившуюся. На рис.
11.10 показано изменение усилий № и Л~з, а также и перемещения 6,, в зависимости от силы Р. возникают пластичесхие деформацкк, иначе прк чксто упругих деформациях остаточных налряженкк не будет. Однако нагрузка прк этом должна оставаться меньше предельной. Процесс разгрузки эквивалентен приложению внешней силы, равной силе нагрузки, но обратной ей по знаку. Следовательно, остаточные напряжения в системе можно рассматривать как алгебраичесхую сумму напряжений, возникающих в результате последовательного црнложения сил нагрузки и противоположных и равных им сил разгрузки.
Вследствие того что принцип независимости действия сил в данном случае неприменим, приложение сил нагрузхи и разгрузки должно быть Нацщ~ка Рис. 11.11 только в прямой последовательности (рис. 11.11). Деформации цри разгрузке происходит упруго, и материал следует при этом закону Гука. Поэтому в процессе разгрузки в стержнях будут вознихать усилия, определяемые выражениями (11.1). При нагрузхе же усилия определяются выражениями (11.2) и (11.3). Такиы образом, остаточные усилия, возникающие в стержнях, будут Р— ~т,рР Рсоа а Р 2 сова 1+ 2совз а' 'Р 1+ 2совз а В этих выражениях нод Р понимается сила, до которой происходило нагружение. Ее значение находится в пределах, ограниченных нагрузкой, соответствуюгцей началу образования пластических деформаций, с одной стороны, и значением предельной нагрузки — с другой: ст,рГ (1 + 2сов а) ( Р ( ат.рГ (1 + 2 сов а). Остаточные напряжения являются самоуравновешенными, т.е.
узел стержней (рис. 11.12) при отсутствии внешних сил должен находиться в равновесии: 2Ф1 ост сов а + Фз ост = О. Подставляя сюда значения Ф~ „, и Фзос, легко убедиться, что полученные выражения для сил удовлетворяют этому условию. 441 1+ЯсыЪ Рис. 11.12 На рис. 11.12 показан график изменения остаточных сил в зависимости от нагружающей силы Р. В среднем стержне сила №„, является сжимающей. В боковых стержнях остаточные силы — растягивающие. При повторном нагружении система деформируется упруго до тех пор, пока сила вторичного нагружения не станет равной силе первоначального нагружения. Если систему нагружать дальше, в стержнях возникнут пластические деформации, изменяющиеся по установленным выше законам первоначального нагружения. П р и м е р 11.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
