Феодосьев В.И. Сопротивление материалов (1075903), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Объясняется это тем, что слагаемые, входящие в функцию (10.42), имеют различный характер. Первое слагаемое представляет собой быстро затухающую функцию, второе — является функцией быстро возрастающей. Если длина цилиндра! достаточно велика, и функция е «*(С1 ипйх+ Сгсовйх) при значениях х, близких к!, принимает исчезающе малые значения, то можно считать, что деформация цилиндра в окрестности второго торца не зависит от условий в окрестности 42В Постоянные С! и Сз подберем так, чтобы в начале отсчета х, т.е.
в месте сопряжения цилиндра с жестким фланцем, перемещение ы и угол поворота Ып!/Ых обращалмсь бы в нуль. Тогда получаем ы = [! — с (в!пйх .!. сов!к)]. 4И~ Р С! =Сз=— р 4Й~Р ' Так как 41~ = ЕЛ/(Я~Р)! то И ~ -ах и = [1 — с (в!и йх -!- сов Йх)]. ЕЛ 1 График этой функции показан на рис. 10.36. (10.43) Рис. 10.36 Прм достаточно большом х функция ы принимает вид д2 ЕЛ ' (10.44) йх > 3,34, 430 Нетрудно установить, что это не что иное, как увеличение радиуса цилиндра при свободном растяжении в окружном направлении.
В самом деле, прм нагружении внутренним давлением в цилиндре, как мы видели в нредыдушей главе, возникает окружное напряжение е~ = рй/Л. Соответствующее удлинение е! = рВ/(ЕЛ). Чтобы определить увеличение радиуса цилиндра, следует умножить г! на Л, в результате чего приходим к выражению (10.44). На основании выражения (10.43) легко проследмть, сколь далеко вдоль образующей распространяется влияние зашемленмя у фланца. Если довольствоваться точностью в пределах 5 %, то можно сказать, что зона влияния простирается примерно до такого значения х, при котором — ьх е (в!и йх + сов йх) < 0,05.
Сумма в1пйх + сов хх не может быть больше ~/2. Следовательно, а ~ < О, 035, откуда или, согласно выражению (10.39), в ) 3, 3 4 ее' ее! ы 2,7~Яй. ° 3(! — Вв) Таким образом, зона влияния краевого защемления распространяется на участок цилиндра длиной 2,7зЯЬ. За пределами этои эоны можно считать, что напряжения с достаточной для практических целей точностью соответствуют беэмоментной теории. Величина зЯЙ обычно мала по сравнению с длиной цилиндра, и поэтому изгибные напряжения носят явно выраженный местный характер.
Эта особенность распределения напряжений около контура является общей для оболочек вообще и носит название краевого эффекта. Пользуясь формулами (10.34) и (10.43), определим изгибающий момент М~.' г М~ — — 20 А е 1соз йя — з1п кя), Р~ з -йа нлн М = е (евв Йв — в!в Йв). в))Й 3(! — Йе) Эпюра Мя изображена на рис. 10.36. Наибольшее значение изгибающий момент имеет в заделке: М 2~3(! — Йв) Поскольку У~ = О, мериднональное напряжение ю~, согласно формуле (10.41)! принимает значение РЛ 3 рИ 1, В2 —. Й !/3(! !ее) Ь Изгмбное напряжение в меридиональном направлении оказывается в 1,82 раза больше расчетного напряжения по безмоментной теории.
Краевой эффект, как видны, приводит к заметному повышению максимальных напряжений. Еще более резкое повышение напряжений имеет место в зоне сопряжения оболочек, например, цилиндра, соединенного со сферическим днищем (рис. 10.37, а). Здесь, как показывают подсчеты, при одинаковой толщине оболочек местное эквивалентное напряжение ря Б (т„в — — 1, 05 — ~ — . Ь ~/Л' Это напряжение уже по порядку величины больше того, что дает безмоментная теория. С тем, чтобы снизить краевой эффект, в зоне сопряжения 431 Рис.
10.37 делают плавные переходы, как это показано, например, на рис. 10.ЭТ, 6. В зтоы случае напряжение изгиба заметно снижается. По подсчетам рЯ В юе = 0,145 — —, Л р' что не дает заметного отличия от напряжений, определенных с использованием безыоментной теории. Из всего сказанного не следует делать вывод о неприменимости безмоментной теории в случаях, когда в оболочке имеется краевой эффект. Выше было указано, что, если в оболочке отсутствуют резкие переходы или жесткие контурные эащемления, определение напряжений с использованием безмоментной теории оказывается достаточно точным для всех точек оболочки. Когда же имеются местные защемления, беэмоментная теория оказывается неприменимой лишь для областей, расположенных в зоне краевого эффекта, и дает опять же вполне приемлемые результаты для точек общего положения. Не всегда вычисленные выше изгибные напряжения следует рассматривать как расчетные.
Вело в том, что эти напряжения носят явно выраженный местный характер. Между тем известно, что для пластичных материалов резкие перенапряжения в узкой области при статическом нагружении не сказываются сушественным образом на несущей способности системы. Так, в рассмотренной цилиндрической трубе в зоне сопряжения с фланцем при увеличении давления произошло бы местное пластическое обмятые материала, а несушая способность трубы не пострадала бы.
Вместе с тем местные напряжения имеют существенное значение для хрупких материалов, а также в случае изменяющихся во времени нагрузок. Этот вопрос специально будет рассмотрен в гл. 12. 432 Глава 11 ОСНОВЫ РАСЧЕТА ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ, РАБОТАЮЩИХ ЗА ПРЕДЕЛАМИ УПРУГОСТИ 11.1. Отличительные особенности расчета и схематизация диаграммы растяжения Все рассмотренные до сих пор вопросы относились к расчету элементов конструкций в пределах упругих деформаций.
Однако многообразие возникающих на практике задач далеко выходит за рамки, очерченные законом Гука, и сплошь и рядом приходится рассматривать вопросы, связанные с пластическими деформациями тел. Сюда относятся в основном задачи исследования некоторых технологических операций, таких, например, как навивка пружин или штамповка различных изделий. С учетом пластических деформаций рассчитывают сильно напряженные элементы конструкций типа оболочек ракетных двигателей и многие другие.
При решении подобного рода задач закон Гука теряет свою силу, и прямая пропорциональность между напряжениями и деформациями заменяется некоторой более сложной зависимостью, определяемой видом диаграммы растяжения. Если 433 в обычных задачах деформации не превышают величины ОА (рис. 11.1), то при расчете с допуском пластических деформаций такое ограничение снимается, и величина е оказывается существенно большей. Вместе с тем она остается по-прежнему пренебрежимо малой по сравнению с единицей. В таком случае о С говорят, что расчет ведут в пределах малых пластических деформаций.
Понятно, что можно также ставить вопрос и о расчетах при больших пластических деформациях, Такие задачи возникают, например, при анализе кузнечно- Ю А Г Ю прессовых и вытяжных технолоРис. 11.1 гических операций. Этих вопро- сов, однако, мы касаться не будем. В связи с малостью пластических деформаций к классу задач, рассматриваемых в настоящей главе, полностью применим принцип неизменности начальных размеров, и при составлении уравнений равновесия можно считать, что пластически деформированная система мало отличается от недеформированной. Рт ~ ~~г Рис. 11.2 Что же касается второго основополагающего принципа, т.е. принципа независимости действия сил, то в данном случае он оказывается неприменимым. Это хорошо иллюстрирует пример, представленный на рис.
11.2. Положим, что стержень нагружен силами Р1 и Р2, первая из которых вызывает 434 пластические деформации. При прямой и обратной последовательности приложения сил удлинения стержня, как видим, оказываются различными. Зависимости между напряжениями и деформациями при нагрузке и разгрузке не совпадают. В соответствии с этим принято различать активное и пассивное деформирование образца.
При активном деформировании, или, как говорят обычно, активной деформации, напряжение возрастает, при пассивной — уменьшается. Таким образом, участок диаграммы ОВС (см. рис. 11.1) соответствует активной, а Сà — пассивной деформации. Деформацию, измеряемую отрезком ОР (см. рис. 11.1), можно рассматривать как сумму чисто пластической, необратимой деформации ОГ и упругой деформации ГР, которая восстанавливается после снятия нагрузки.
Таким образом, деформация образца не является ни чисто пластической, ни чисто упругой. При больших нагрузках в некоторых случаях можно пренебречь упругими деформациями по сравнению с пластическими. Если пластические и упругие деформации являются величинами одного порядка, их называют упругопластическими деформациями. Этот же термин употребляют по отношению к деформации различных тел, в которых имеются области упругих и области пластических деформаций. В связи с возникновением в работающей конструкции пластических деформаций весьма существенным является вопрос общих принципов ведения расчета. При пластических деформациях нельзя, как правило, пользоваться методом расчета по допускаемым напряжениям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
