Феодосьев В.И. Сопротивление материалов (1075903), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Диаграмма растяжения имеет участок с идеальной пластичностью, Рис. 11.33 Для решения задач такого типа следует ввести понятие пластического шарнира. Рассмотрим процесс распространения зоны пластических деформаций в стержне при увеличении нагрузки. Пластические деформации появятся сначала в точках, расположенных у верхней и нижней поверхностей в наиболее напряженных сечениях. Зоны пластических деформаций (при некотором значении силы Р) на рис. 11.34 заштрихованы. По мере роста Рис. 11.34 нагрузки эти зоны расширяются. В качестве предельного можно рассматривать случай, когда в некотором сечении, где имеет место наибольший изгибающий момент, эти зоны сомкнутся, как это показано пунктиром на рис. 11.34. Все сечение будет охвачено тогда пластической деформацией, и изгибающий момент в нем достигнет предельного значения Мпр. Как уже было установлено в З 11.3, для прямоугольного сечения 1 Мар = — атбй 4 Изгибающий момент не может стать больше предельного.
Сечение, в котором возник предельный момент, можно уподобить шарниру с постоянным моментом трения. Такой шарнир косит название пластического шарнира. Очевидно, если в стержне нлн раме возникнет несколько шарниров, система может стать механизмом. Возвращаясь к рассматриваемому стержню, обнаруживаем, что его предельное состояние характеризуется возникновением трех пластических шарниров (рис. 11.35). Из условия равновесия половины стержня находим 4Мяр пр $ (11.23) или ЬЛ2 Рар = (гт 1 Рис. 11.35 8 Рис. 11.3В 4ВО В дополнение к рассмотренному примеру на рис. 11.3б показано несколько статически неопределимых систем н соответствующих нм шарнирных механизмов.
Р Для систем, показанных на рис. 11.3б, а-г, соответственно имеем 2М,р!+а Фар = 1а ! — а Рпр — — ЗМяр/1; Ряр — — 4Мпр/(; Рпр = 2Мпр/1; Расстояние а подбираем из условия максимума изгибаюшего момента в шарнирах А. Полагая, что на расстоянии а от опор поперечная сила Я равна нулю, находим а = 1(~2 — 1); саяр = Р (~2+ 1) . При изменении формы поперечного сечения в полученных выражениях меняется только М,р, . П р и м е р 11.10.
Определить М,р, для круглого и треугольного поперечных сечений. Рис. 11.37 В обоих случаях зона пластичности охватывает все сечение (рис, 11.37), и предельный момент представляет собой момент сил, выражаюшихся через постоянное напряжение с,. ~з 2а ,1з Для круга М,р — — 2а, с. Так как с = —, то М,р —— 8 З~г' б Для треугольного сечения сначала необходимо найти положение осн раздела, т.е. высоту й1. Ее определяют из условия равенства нулю нормальной силы в сечении или равенства плошадей верхней растянутой и нижней сжатой зон.
Предельный момент равен сумме моментов сил в обеих зонах: Б Мпр = — (тт6Ь 1 3 2 11.6. Основы теории пластичности До сих пор мы имели дело с простейшими видами напряженных состояний. Мы рассматривали либо одноосное растяжение или сжатие, либо чистый сдвиг.
При этом характеристика материала для соответствующего напряженного состоя- Лля сложного напряженного состояния имеем линейные соотношения обобщенного закона Гука: 1 Сг = — ~стг — и(ау + ст )], 1 Еу = ~сту — ц (стг + Рг)], 1 Ег = — [стг — и(ог + оу)], туг 7уг= ~-, 3 Tгг '~гх = (11.24) Условия перехода из упругого состояния в пластическое могут быть определены по критерию пластичности. Как мы уже знаем, в настоящее время имеется несколько критериев перехода из упругого состояния в пластическое. Наиболее приемлемыми являются: теория Мора, вытекающая из нее в частном случае гипотеза максимальных касательных напряжений и гипотеза энергии формоизменения.
Наиболее удобной для нахождения соотношений пластичности является последняя. По этой гипотезе переход из упругого состояния в пластическое происходит тогда, когда величина ~71 = 2 +6 (туг + тг2х + Tг2у), (11.25) называемая иитемсивмостью мапряжеицй, достигает предела текучести. 4В2 ния считалась заданной, и в этих условиях решение задачи не встречало принципиальных трудностей. Если перейти к более сложным задачам, то прежде всего возникает вопрос, как при других напряженных состояниях связать аналитически напряжения и деформации, а главное, как по результатам испытания образца на растяжение перейти к зависимостям сложного напряженного состояния. В пределах упругих деформаций этот вопрос решить сравнительно просто.
При растяжении справедлив закон Гука в простейшей форме: В упругом состоянии интенсивность напряжений о; может быть выражена при помощи соотношений (11.24) через деформации. Тогда после преобразований получаем Л 2(1+ р) 3 х (~у — ~„") +(~, — ~,) +(~~ — ~у) + — (7у, +7,, +7,у) У~ Обозначим ~Г2 Е$' = 2(1+ р) ,)г+(, )г+(, )г+ з г + 2 (7уг + 7гх + ~ху ) (11.2б) и будем называть эту величину иншеисивностиью деформаций, Для упругого состояния справедливо следующее соотношение: (11.27) Это выражение можно рассматривать как одну из форм обобщенного закона Гука. Теперь надо решить, как будет выражаться связь между компонентами напряжений и деформаций в пластическом состоянии.
Определение этих соотношений и решение на их основе ряда задач механики сплошных сред составляют содержание теории пластичности. Зависимости между компонентами напряжений и деформаций в зоне пластичности должны быть, очевидно, построены так, чтобы при упругих деформациях искомые соотношения переходили в соотношения (11.24). Но этого мало. Нужно, чтобы из тех же выражений как следствие вытекал принятый ранее критерий пластичности, т.е.
в данном случае критерий энергии формоизменения. Тогда искомые соотношения пластичности будут представлять собой логическое расширение установленных ранее закономерностей. Для законов пластичности удобно избрать ту же форму написания, что и для законов упругости. Так, вместо того чтобы писать о = ~(е), где Де) есть функция, заданная графически диаграммой растяжения, можно написать с= Е'а, (11.28) где Е' рассматривается как функция деформации е. Из диаграммы растяжения (рис.11.38) видно, что Е' = а/с. При упругих деформациях <р' = <р, Е' = Е (см.
рнс. 11.38). Рис. 11.38 При переходе к сложному напряженному состоянию весьма заманчиво выглядит перспектива обобщить таким же образом и соотношение (11.27), приняв / ~т;=Ее;, 484 где Е' снова рассматривается как переменная величина, а соотношение (11.29) сохраняется единым для всех видов напряженного состояния. При упругих деформациях выражение (11.29) принимает вид (11.27).
Переход же упругого состояния в пластическое характеризуется равенством ст; = о . Согласно выражению (11.25), мы приходим, таким образом, к гипотезе энергии формоизменения. Многочисленные эксперименты, поставленные для проверки высказанного предложения, показали, что оно является правильным для весьма широкого класса задач. Таким образом, было установлено, что вид функции (11.29) определяется в основном свойствами материала и почти не зависит от типа напряженного состояния.
Это положение является первым (исходным) положением теории пластичности. Вторым положением теории пластичности является условие,что изменение объема е=е,+Яу+е, остается чисто упругим. Это хорошо согласуется с экспериментами. При всех достижимых для современной техники давлениях не удалось с помощью всестороннего сжатия вызвать в материале пластические деформации. При деформировании материала пластические деформации, как правило, заметно больше упругих. Так как е является величиной того же порядка, что и упругие удлинения, то обычно принимают, что при пластическом деформировании объем меняется незначительно.
Тогда при выводе формул, связывающих компоненты напряжений и деформаций в пластической зоне, принимают р = 1/2. Теперь составим искомые соотношения. Прежде всего отметим, что при одноосном растяжении, когда о =с, ау=о~=ту~ — т~~=т~у=О ех = — Я~ еу = ег = Ме~ "~уг = 7гх = 7ху — — О, интенсивность напряжений о, и интенсивность деформаций е; обращаются соответственно в и и е. Значит, выражение (11.29) переходит в (11.28), а это есть аналитическое выражение кривой обычной диаграммы растяжения.
Но, согласно первому положению теории пластичности, зависимость (11.29) едина для всех напряженных состояний. Следовательно, она ничем не отличается от обычной зависимости, задаваемой диаграммой растяжения. Надо только откладывать по осям не и и е, а о; и с; (рис. 11.39). Тогда ст; Е~ т.е. мы получаем величину переменного модуля. д Рис. 11.39 4ВЬ Теперь аналогично выражениям (11.24) выписываем соотношения пластичности: 1 о — — (о + ~гя) Зе; > 7ях 3~я > (У~ Зе, > 7гг = тгг> о; Зе' 7Ю3~ Юя> о; 1 С вЂ” — (Ог + Гя) 2 (11.30) 1 о, — — (сто+ оя) Е где 0= с учетом того, что р = 1/2, т.е.
2(1+ ~с) ~>/ 1 Е> ~г! 3 Зе; Приведенные соотношения пластичности не являются совершенно точными и считаются верными по крайней мере для тех видов нагружения, при которых внешние силы в процессе П р и м е р 11.11. Лана диаграмма растяжения е = ~(е). Построить соответствующую ей диаграмму сдвига г = ~(~). Лиаграмму сдвига можно получить либо из прямого иснытання на кручение, либо же перестройкой диаграммы растяжения при помощи соотношений пластичности. Обратимся к формулам (11.25) и (11.26).
Лля растяжения о; = >т, а е; = е. При сдвиге, полагая и = 1/2, находим >т; = г~ГЗ, е, = у/~ГЗ. Но зависимость о, = Х(е) едина для всех напряженных состояний. Поэтому зависимости >т = ~(е) и г = Д~/~ГЗ) одинаковы. Перестройка диаграммы заключается, следовательно, в простой замене а на г~>/3 > а е — на у/~ГЗ. Чтобы получить диаграмму сдвига, нужно в каждой точке диаграммы растяжения ординату уменьшить в ~/3 раз, а абсциссу во столько же раз увеличить (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
