Феодосьев В.И. Сопротивление материалов (1075903), страница 59
Текст из файла (страница 59)
452 С увеличением угла у остаточная кривизна уменьшается. При некотором у она может оказаться равной нулю. Это значит, что в этом сечении и на остальном внешнем участке ленты пластические деформации при навивке не образуются, и лента остается прямой.
11.4. Кручение стержня круглого поперечного сечения при наличии пластических деформаций (11.18) 7=Р~ (см. формулу (2.5)). Крутящий момент в сечении равен М„= 2~г Введем в это выражение взамен радиуса р переменное 7 со- гласно (11.18). Тогда 7тах 2и 2 к= 3 7 ~7 лЗ О (11.19) где (11.20) 453 Для исследования деформации стержня в условиях упруго- пластического кручения необходимо располагать диаграммой сдвига материала, т.е. зависимостью угла сдвиГа 7 от напряжения т (рис. 11.26). Будем считать, что такая диаграмма у нас имеется.
Она может быть получена путем испытания на кручение тонкостенных трубок. В дальнейшем мы покажем, что эта диаграмма может быть определе- 7 на путем перестройки обычной диаграммы растяжения сг = Дя). Принимая, как и при обычном кручении, гипотезу плоских сечений, получим Интеграл в выражении (11.19) представляет собой не что иное, как момент инерции криволинейного треуголь- Р У ника ОАВ (рис.
11.27, а) относительно оси т. Для заданной Ю Хюх Р~ диаграммы он может быть заранее определен как функция 7п~а» (рис. 11.27, 6). Теперь легко по точкам построить зависимость удельного б угла закручивания д от моменРис. 11.27 та М„. Задаваясь значением д, определяем, согласно выражению (11.20), 7„„», а затем с помощью графика значение интегра7тах ла т"у~ Ы7.
Затем по формуле (11.19) находим М„. Таким о образом, мы определили одну точку зависимости 0 от М„. Повторяя эту операцию несколько раз, получаем полную кривую д = ДМ„). При малых значениях момента, когда кривую 7гп ах ~ 7 ~7 = ~(7тах) г о нельзя построить точно, следует воспользоваться обычной ли- нейной зависимостью в пределах закона Гука В М С Ур Все последующие операции по определению закона распределения напряжений в поперечном сечении стержня, а также по нахождению остаточных напряжений и остаточных углов совершенно аналогичны тем, которые были рассмотрены в предыдущем параграфе для изгиба стержня, Поэтому, здесь эти операции повторять не будем, а проиллюстрируем их на конкретном примере.
(11.21) 454 П р и м е р 11.б. Вити цилиндрическая пружина (рис. 11.28, а) сжимается до полной посадки витков (рис. 11.28, б). Требуется определить шаг пружины после разгрузки, если до нагрузки он был равен в = 10 мм. Размеры пружины следующие: Р = 20 мм, Ю ж 4 мм. Модуль сдвига С = О, 77 .
10 МПа. Анаграмма сдвига материала задана кривой, показанной на рис. 11.28, е. 1,ЮФ М (Ю 120 а Ю М У И Ъа 4Ф/ Рис. 11.28 Р Осадка пружины на один виток равна А1 —— в — д. Но Л1 = — й, где ! — длина витка, равная «Р. Таким образом, в — д= — Р д. з 2 (11.22) 7ваи г7 47 = 0,455 10 МПа. По формуле (11.19) находим крутящий момент 2«0, 455 10-з 0 00955з По формуле (11.21) определяем угол закручивания при упругих деформациях 8 = = О, 001070 мм згв -1 7700« 4~/32 466 Отсюда определяем угол закручивания О, который возникает в проволоке при посадке витков: 8 = О, 00955 мм И Находим, далее, у,„= — 0 = 0,0191. Откладываем у,„на диа- 2 грамме сдвига (см. рис. 11.28, е) н путем разбиения на цлощадкн определяем момент инерции треугольника ОАВ относительно осн т. В результате подсчетов получаем Теперь, согласно выражению (11.22), находим упругую "отдачу" пружины после разгрузки в„, — И = — 20 0,00170 = 1, 07 мм.
Искомый шаг пружины в„, = 1, 07 + 4 = 5, 07 мм. Лля полноты картины определим закон распределения остаточных напряжений в поперечном сечении пружины (рис. 11.29, а). Зля этого построим сначала эпюру напряжений при нагрузке. Согласно выражению (11.18), угол сдвига на расстоянии р от центра круга равен 7 = 0,00955р. Задаваясь несколькими значениями р, по точкам определяем напряжение г и строим эпюру, показанную на рис. 11.29, о. Из нее вычитаем нанряжения, определенные по формуле упругой разгрузки, т = Мр(3~ — — 13, Ор. ШМ0в Рис.
11.29 Разность между напряжениями нагрузки и разгрузки дает значение остаточных напряжении (рис. 11.29, а). 11.5. Основы расчета по предельным нагрузкам При расчетах конструкций на прочность наиболее широко распространенным является метод расчета по напряжениям. Однако, как уже говорилось, этот метод не является единственным. В ряде случаев более предпочтительно ведение расчета по разрушающим или предельным нагрузкам, от которых рабочие нагрузки составляют некоторую часть. Отношение предельной нагрузки к рабочей называется коэффициентом запаса по предельным нагрузкам. Его назначают, как правило, в зависимости от особенностей проектируемой конструкции. На примере рассмотренных в настоящей главе задач мы уже имели возможность познакомиться с понятием предельной нагрузки.
Так, для системы, состояшей из трех стержней (см. рис. 11.11), она оказалась равной Рпред = ~Ут ь' ~~ ~1 + 2 сов сг)1 а для стержня прямоугольного сечения предельный изгибающий момент г Мпред = — Отбй 4 Обобщая полученные результаты, следует отметить, что под предельной понимается нагрузка, по достижении которой исчерпывается способность системы воспринимать дальнейшее ее возрастание, или нагрузка, при которой возникают столь заметные изменения геометрических размеров системы, что последняя перестает удовлетворять своему назначению. Усвоить приемы определения предельных нагрузок проще всего путем решения конкретных задач. Рассмотрим несколько примеров.
П р и м е р 11.7. Определить разрушающую нагрузку для трех- стержневой системы (рис. 11.30) при условии, что диаграмма растяжения для стержней имеет участок упрочнения и разрушение происходит лри напряжении >т„(см. рис. 11.30). Рис. 11.30 Уравнение упругого участка диаграммы имеет вид >т = Ес. Лля участка упрочнения >т — >т, = й (с — с,). За разрушающую примем ту нагрузку> при которой разорвется средний стержень. Это произойдет тогда, когда удлинение сз станет равно с,. Определим, какое удлинение с> будет иметь прн этом каждый из боковых стержней: Ы1 = Ызсова.
Учитывал, что 11 —— 1/сову, получим с> = сз сов а. 2 Таким образом, к моменту разрыва среднего стержня боковые будут иметь удлинения с> — — с, сов а. Напряжения при этом будут: г в среднем стержне а,, а в боковых — либо >т> —— >т + й(с, сов~ а— г — с,), если с, сов а ) с„либо же >т1 = Ес, сов а, если с,сов а ( ( ет ° Предельная нагрузка Р„р,д — — ю, Р+2к1Г сов а. Подставляя т1, иахо- днм Р р, — — >т, Г + 2>т, Г сов а + 27Р (с, сов а — с,) сов а 3 467 прк с,соа о > е, илк г Рдрса = ~уаР+ 2Еев соя о при св соя и ( ст.
2 П р и м е р 11.8. Определить предельную нагрузку для системы, показанной на рис. 11.31, а. Горизонтальный стержень предполагается жестким, а вертикальные имеют одинаковое поперечное сечение и сделаны из одного н того же материала, диаграмма растяжения которого дана на рис. 11.31, 6. Рис. 11.31 Если постепенно увеличивать силу Р, то усилия в стержнях будут увеличиваться. При некотором значении силы Р в стержне 1 или же в стержнях г к 4 напряжение станет равно а~.
Однако эта сила еще не будет предельной. Предельной является та, при которой заметные пластические деформации возникнут и в стержне М. Тогда система превратится в механизм и горизонтальный стержень как жесткое целое повернется относительно точки А нли В (относительно какой — это будет выяснено в дальнейшем). Положим сначала, что предел текучести достигнут в стержнях 1 и У. Тогда, взяв сумму моментов всех сил относительно точки В (рис.
11.32, а), Рис. 11.32 определяем предельную нагрузку. В этом случае 2 а,Г 2а+ <т Га = Р„р„, — а 3 458 откуда Э Рп равд — ~Ут ~, 2 Допустим теперь, что предел текучести достигнут в стержнях 2, 5 н 4. Определяем сумму моментов относительно точки А (рис. 11.32, 6),' 4 (ттР 4а + ~т~Ра = Рврав — а, 3 откуда 3 Рер,л — — — ~т~Р (1+4соаа). 4 Из двух полученных значений Р,р,я выбираем меньшее, При любых углах а меньшим будет второе значение Р,р,л. П р и м е р 11.9. Определить предельную нагрузку для стержня, показанного на рис. 11.33. Поперечное сечение — прямоугольное.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
