Феодосьев В.И. Сопротивление материалов (1075903), страница 54
Текст из файла (страница 54)
моменты, приходящиеся на единицу длины сечения, обозначим соответственно через М, и М~. Величины М„и М~ в дальнейшем будем для сокращения называть просто моментами, а Я вЂ” поперечной силой. 410 Зная напряжения с, и а~, определяем равнодействующие моменты на гранях: +Л/2 +Л/2 Мтт(Ьр = т сЬр стлал; М~ Йт = Й' стлНя.
-Л!2 -Л!2 Испольэуя выражения (10.12), получим Л/2 М,= г — +Р— я И» -Л/2 +л/г М~= г — +И вЂ” Л/2 Но +Л(г ~з 2 ~ 12 -Луг следовательно, Ыд д д Ыд М, = Б — +р —; Мт — — П вЂ” +р —, (10,13) Йт т т Й' где Е]~3 12(1 — рР) (10.14) Я + ~Ц) (т + йт) Йр — Ят ~Бр — рт йр йт = О, откуда И рт = — Ят).
Йт (10.15) 411 Эта величина наэывается цилиндрической жесткостью пластины (или оболочки). В число сил, приложенных к элементу (см. рис.10.20), включена также и внешняя сила рт И~р Ыт. Проектируя все силы, действующие на элемент, на ось симметрии, получим Возьмем сумму моментов всех сил относительно оси у, касательной к дуге круга радиусом т в срединной плоскости: й (М, + НМ,) (т + й ) ~бр — М, т йр — рт Й' сбр —— — Мт Йт сЬр+ Я + Й~) (т + йт) сйр сйт = О. Пренебрегая величинами высшего порядка и переходя к преде- лу, имеем М~ — — (М,т) = Ят. Н (10.16) Ит Остальные уравнения равновесия удовлетворяются тождественно вследствие условий симметрии.
Подставляя М, и М~ иэ выражений (10.13) в уравнение (10.16) и полагая жесткость 0 постоянной, получим И2д И д дт — + — — — — —— Ыт2 йт т й ' откуда 1 — — (д ) т Йт (10.17) Последнее преобразование легко проверить простым дифференцированием. После двукратного интегрирования выражения (10.17) на- ходим './( ~) пт Йт, д = С|т+ С2 т (10.18) где С1 и С2 — произвольные постоянные интегрирования, которые определяют иэ граничных условий в каждом конкретном случае.
Поперечная сила Я может быть найдена иэ уравнения равновесия (10.15). Впрочем, поперечную силу гораздо удобнее определять, рассматривая условия равновесия центральной части пластины, выделяемой цилиндрическим сечением, радиус которого т. Этот способ нахождения поперечной силы будет показан ниже на конкретных примерах. После того как функция д найдена, с помощью выражений (10.13) определяют изгибающие моменты М, и М~, а по формуле (10.8) — прогиб ш. Зная изгибающие моменты, легко найти и напряжения.
Сравнивая выражения (10.12) и (10.13), видим, что Ех Мг Ея Мг 1 — ~Р Ю' 1 — р2 Ю Подставляя выражение для й (10.14), находим 12Мг 12М1 'уг 3 л, а1 — 3 й 6 Наибольшие напряжения имеют место при я = 16/2. Поэтому 6 Мг гпах 6% ггшах ~ ' гг~'" = ~ у' 1 у' (10.19) 10.4. Определение напряжений и перемещений в круглых пластинах Проследим на примерах последовательность применения выведенных формул. П р и м е р 10.5. Определить прогибы н напряжения в пластине, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой р, в двух случаях закрепления пластины: а) при защемлении контура, б) при свободном опирании пластины на контуре (рис. 10.21).
Радиус пластины В, толщина Ь, Рис. 10.21 Решение задачи начинаем с определения поперечной силы Я. Лля центральной части пластины радиусом г (см. рнс. 10.21), независимо от способа закрепления на внешнем контуре, уравнение равновесия дает 2 Я 2иг = рог кли рг а= —. 2 413 Из выражения (10.18) после двукратного интегрирования находим с д = С1г+ — — —.
г 16Р Как в первом, так и во втором случае угол поворота д в центре пластины (при г = 0) должен быть равен нулю. Но зто возможно только прн Сз — — О. Таким образом, Рг з д = С1г — —. 16Р (1О.гО) С1 — — — , 'д = — (й г — г ). Р~.Рзз 16Р ' 16Р Согласно выражениям (10.13), получаем М,- = — (Я (1 + р) — г (3 + р)~; 16 К = — ф (1+ р) — г (1+ЗА)). 16 (10.21) Далее, из выражения (10.8) находим Р 1 2 2 ы= — Сз — — Вг +— 16Р ~ 2 4 где Сз — постоянная, определяемая из условия ш = О.
Тогда Сз = — Я; 1 4 ы= — ( — г). Р з з з 64Р (10.22) Пластина, как видим, изгибается по поверхности четвертого порядка. Во втором случае закрепления пластины радиальные напряжения ю, (или момент М,) на контуре обращаются в нуль. Следовательно, согласно первому выражению (10.13), при г = Я Ю нд — = — = О. Ыг г Из этого условия определяем постоянную С1.
Уравнение (10.20) дает откуда РВ 3+И Р 3+Фи з з С1 — — —, .д= — — Я г — г 16Р 1+ р' 16Р 1+ р 414 Теперь рассмотрим случаи закрепления раздельно. В первом случае при г = Я угол д = О, откуда Согласно выражениям (10.13), определяем изгибающие моменты: М, = ~ (3+~и)(В~ — г'); 16 (10.23) Р 1+ з~и М~ — — (3+ ) Ю вЂ” — ).
16 3+и ) р ~с 3+пЯг г 1 16Р ~ 1+и 2 4/ Постоянную Сз снова подбираем из условия, чтобы на контуре перемеще- ние ю обращалось в нуль: следовательно, р 15+у ~ 13+и зз 1 Ш— — — Я вЂ” — — Яг + — г 16Р 4 1+и 2 1+р 4 (10.24) Согласно выражениям (10.21) (10.23), строим зпюры изгибающих момен- тов (рмс. 10.22). Рис. 10.22 В случае защемленного контура наибольшие растягивающие напряжения возникают у верхней поверхности вблизи контура. Согласно формулам (10.19), а зквивалентное напряжение В случае свободно опертого контура намбольшме растягмвающме напря- 416 Выражение для перемещения имеет вид Я' 5+и Сз = — —, 4 1+и' 2рй~ 6 Ю1=Ю 16 /эз ' ~~~ Я((у) жения возникают в центре у нижней поверхности пластины.
Здесь 3+и раб е~ =сгз — — — —, аз =0; 1Б Ьз 3 рЯ' 'г„, = юз — Ьгз = — (3+и) 8 Наибольшие прогибы, согласно выражениям (10.22) и (10.24), в первом н втором случаях будут равны соответственно рм' Б4Р ' 8+и рЯ' ййй Ю 1+ и 64Р П р и м е р 10.Б. Определить напряжения и прогибы в дисковой пружине, показанной на рис.
10.23, а. Рис. 10.23 Я 2хг = Р; Я = Р г. Из уравнения (10.18) находим Сз Р 1 д = С~г+ — — — г 1пг —— г 4хЮ 2 (10.25) Задача, очевидно, сводится к расчетной схеме пластины, нагруженной по контурам распределенными силами интенсивности Р (рис. 10.23, 6). Осадка пружины определяется прогибом одной пластины, увеличенным в и раз, где п — число пластин в пружине.
Определяем сначала поперечную силу Я. Из условия равновесия центральной части пластины (рис. 10.23, в) имеем Заменив постоянную С~ на С„перепишем это выражение в следующем виде: Сз Р г д = С~ г + — — — г 1п —. (10.2б) г 4иР а Постоянные С~ и Ся подбираем из условий, чтобы иэгибающий радиальный момент Мг — — Р— + д— обращался в нуль при т = а и г = Ь Это дает два уравнения: С~(1+ и) — — (1 — п) = —; ! Ся Р аг 4хР С, (1+ д) — — (1 — и) = — (1+ р) 1п С Р 6 62 4хР а откуда Р Ь Ь С~(1 + р) = — (1 + р)1п — + 1 4згР Ьэ — аэ а Р а~6~ Ь Ся(1 И) = (1 + И)1п 4кР ЬЯ вЂ” аэ а Теперь подставив д, С,' н Сэ в выражения (10.13), получим с Ь а Ь Ьэ — а~ (1+ д) 1 — — 1п — — (1+ ц) 1п— г~ а а Р Мг — —— 4я а Ь Ь~ — аэ (1+ >и) 1+ — 1п — — (1+ и) 1п — + 1 — а т а а Р М~ =— 4к 3 6М~'* Юэка = ЮФ— у Р 2Ь 6 МГ = — (1 + и) 1п — + 1 — и 4к Ьэ — аэ а Рис.
10.24 14 В, И. Феодосьев 417 Эпюры моментов представлены на рнс.10.24. Наибольшее напряжение имеет место у внутреннего контура. Здесь Интегрируя уравнение (10.2б), находим, согласно выражению (10.8), у т г Ргг ( т 11 гв = Сг — С,' — — Сг 1п — + — 1п — —— 2 а 8хР ~ а 2( Постоянную Сз определяем мз условия, чтобы прм г = 6 перемещение ы обращалось в нуль. Тогда г1 г г Ь Р г т г Ь Ь вЂ” т г г и = С~ — (Ьг — г ) + Сг1П вЂ” + — т !и — — 6 1П вЂ” + 2 т 8тгР а а 2 Полагая т = а и подставляя С,' и Сг, находим прогиб одной пластины: 1 3+в г г 1+д 2а~6 г Ь вЂ” — (6 — а )+ — 1п 21+~ 1 — в 6г — аг а и [ Лля рассматриваемой пружины эту величину нужно увеличмть в и раз. Сг Р т д = С,т+ — — — т1п —.
т 4хР В В центре (прм т = 0) угол д = О. Следовательно, пот скольку 1пп т1п — = О, постот-О В янная Сг = О. Постоянную С,' подбираем так, чтобы функция д обращалась в нуль прн т = Я. Это дает С,' = О. Таким образом, Рис. 10.25 Р Я д = т1п —. 4яР т Изгибающие моменты, согласно выражениям (10.13), будут равны М~ = — [ (1+ и)1п — — в т (1+ )1 т Эпюры, построенные по зтим формулам, представлены на рис. 10.25. Как видим, в центре изгибающие моменты обращаются в бесконечность, что является следствием того, что здесь обращается в бесконечность поперечная сила Я. В центре, таким образом, имеет место, как говорят, неустранимая особенность.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
