Феодосьев В.И. Сопротивление материалов (1075903), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Третью группу образуют неорганические и неметаллические вещества, для обобщения часто называемые керамикой. С последней их роднит минеральное происхождение и высокая температура обработки. В последнем столбце таблицы приведена относительная жесткость, т.е. отношение модуля упругости к плотности вещества. Лля наглядности удельная жесткость каждого вещества отнесена к удельной жесткости железа. Относительная жесткость металлов, как видим, изменяется в достаточно узком интервале. Исключение составляет ниобий. Он имеет очень низкую удельную жесткость.
В обратную сторону резко выделяется бериллии, и к нему в последнее время приковано серьезное внимание в авиационной и ракетнокосмической технике. Есть надежда, что прочность нитей бериллия можно будет поднять переводом в аморфное состояние. И все было бы хорошо, но беда заключается в токсичности бериллия, и это заставляет принимать специальные меры безопасности в цехах но его обработки. Пока неизвестно, что возьмет верх — преимущества или недостатки.
Полимеры делят на две подгруппы: аморфные — эпоксидные смолы и оргстекло, и не столь широко известные кристаллические полимеры. Первые используются в качестве связующего. Кристаллические же полимеры имеют высокую удельную жесткость и прочность, что позволяет создавать на их основе специальное органоволокно. И, наконец, третью группу образуют неорганические и неметаллические вещества.
Высокая удельная жесткость, жаростойкость, неокисляемость оксидов (им больше некуда окисляться), твердость и дешевизна дают право надеяться на широкое применение этих материалов. Громкие названия "сапфир", "гранат" не должны тревожить наше воображение. Это — очень распространенные па Земле минералы, недефицитные и дешевые. Что же касается бороволокна и углеволокна, то они уже давно внедрены в практику. Теперь естественным будет вопрос, какие же пары (или тройки) перечисленных веществ следует объединять в композиты.
Вопрос резонный, а главное, естественно вытекающий из исторически сложившихся представлений о производственном процессе. Но ответить на него непросто. Компоэит — это не совсем материал. Это — часть конструкции, выполняющая функции материала и отвечающая на вопрос: "Из чего сделано?" Компоэит заставляет пересмотреть наше отношение не только к веществам, но и к производственному процессу в целом. Из названных в табл.
8.1 веществ не представляет особого труда изготовить множество самых разнообразных образцов компоэитов — прутков, плоских монослоев или трубок. Можно, например, сделать образец молибдена с сапфировыми нитями, хотя молибден и более тугоплавок, чем сапфир.
Такие образцы можно испытывать, определять их модули упругости и предел прочности. Существует специальная литература по вопросам испытания композитных образцов, по приближенным и уточненным способам расчетного определения прочности и жесткости компоэитов по характеристикам составляющих. Но в том-то и дело, что создать образцы композита и изготовить иэ компоэита деталь машины — далеко не одно и то же. Композит нельзя изготовить заранее. Его готовят вместе с деталью и, создавая его, образуют деталь. Поэтому на вопрос, какие же комбинации из упомянутых веществ следует предпочесть, ответ может быть только один: такие, которые позволяют изготовить эту деталь и к тому же могут обеспечить ее высокое качество.
Вопрос слишком общий, чтобы можно было дать на него определенный ответ. Все зависит от способа изготовления (если он существует), особенностей детали, условий производства. Композиты открывают перед инженером окно в новый мир, где нельзя быть только материаловедом или только механиком. Для композитов нужен широкий кругозор механика, материаловеда, физика и технолога, Глава 9 ТОЛСТОСТЕННЫЕ ТРУБЫ 9.1. Основные уравнения для толстостенной трубы В технике для удержания высокого давления приходится иметь дело с толстостенными сосудами. Обычно это — цилиндр, внешний диаметр которого в несколько раз превышает внутренний. Задача определения напряжений в таком цилиндре заметно сложнее, чем в тонкостенных сосудах, и одними только уравнениями равновесия обойтись не удается. Приходится также рассматривать возникающие в цилиндре перемещения.
Эту задачу называют задачей Ламе но имени французского ученого, работавшего в 20-х годах прошлого столетия в Петербургской Академии наук. Рассмотрим однородное тело цилиндрической формы (рис. 9.1), нагруженное так, что внешняя нагрузка является осесимметричной и вдоль оси цилиндра не меняется. Размеры цилиндра могут быть произвольными, и на соотношение между внутренним и наружным радиусами цилиндра ограничений накладывать не будем.
Блину цилиндра пока также будем считать произвольной. В дальнейшем по этому поводу будут сделаны некоторые оговорки. Каждая точка цилиндра при его деформации получит какие-то перемещения. По условиям симметрии эти перемещения, очевидно, будут происходить в радиальных плоскостях. Точка может перемещаться по направлению радиуса и вдоль соответРис. 9.1 ствующей образующей. Радиальное перемещение произвольно взятой точки обозначим через и, Величина и является функцией текущего радиуса т и не изменяется по длине цилиндра. За положительное направление для т примем направление от оси цилиндра (см.
рис. 9.1), Что касается перемещений вдоль оси, то будем считать, что они возникают только как следствие общего удлинения или укорочения цилиндра. Если осевые перемещения существуют, то они распределены так, что поперечные сечения цилиндра остаются плоскими. Обозначим через е, и с~ относительные удлинения в цилиндре в радиальном и окружном направлениях и выразим их через перемещение и.
После нагружсния ф Ри .О.г Для этого рассмотрим элементарный отрезок АВ = Ет, выделенный в радиальном направлении (рис. 9.2), до и после нагружения цилиндра. Точка А получает перемещение и, а точка  — перемещение и+ Ни. Легко установить, что новая зво длина элемента будет равна Йт+ Йи, а его относительное удли- нение (9.1) Йт Рассмотрим, далее, длину окружности, проведенной внутри цилиндра до и после его нагружения (рис.
9.3). Длина окружности до нагружения цилиндра равна 2хт. После нагружения радиус увеличится на и и длина окружности будет равна 2т(т + и). Относительное удлинение ее составит 2т (т+ и) — 2~гт Е1— 2тт или (9.2) я~ = и(т. Исключая и из равенств (9.1) и (9.2), получаем Ы вЂ” (а~т) — к, = О. Ит (9.3) Обратимся теперь к уравнениям равновесия. До на Рис. 9.4 Рис. 9.3 Выделим из цилиндра элемент в форме криволинейного шестигранника (рис. 9.4). Блины сторон этого элемента равны Ыт, Ы.а и т Йр. В осевых сечениях цилиндра (плоскость АВСЮ элемента) по условиям осевой симметрии касательные напряжения отсутствуют и сохраняются только нормальные напряжения с~, называемые окружными.
В поперечных сечениях цилиндра (~т, + сЬ,) (т+ Ит) Арах — о,т йр йа — ю~ йт йя йр = О, откуда йт, от+ — т — пс =О, Ат или — (с,т) — о~ = О. Йт Остальные уравнения равновесия для элемента удовлетворяются тождественно. Согласно обобщенному закону Гука, напряжения с„с~ и и, связаны с удлинениями к, и я~ следующими соотношениями: 1 1 ет = — ~стт — Р(~тт+ оъ В ею = Е ~сто й(сто+ юД. (9.5) Будем считать, что напряжение с нам известно из условий загружения цилиндра осевыми силами по торцам.
Подставим с, и с~ в выражение (9.3). Тогда в дополнение к уравнению равновесия получим — (стфт) — ют = О. Йт (9.6) (9.4) (поверхность СРЕГ элемента) касательные напряжения также предполагают равными нулю. Основанием этому служит условие независимости перемещений и от координаты а. В поперечных сечениях могут существовать нормальные (осевые) напряжения о,, которые возникают как следствие нагружения цилиндра силами вдоль оси.
Эти напряжения предполагают неизменными как по оси, так и по радиусу цилиндра. Поскольку площадки АВСР и СРЕГ являются главными, главной будет также и площадка АРЕС. Напряжение на этой площадке обозначим через а,. Оно называется радиальным напряжением. При переходе от радиуса т к радиусу т+ й. напряжение о, получит приращение Ио,. В рассматриваемой постановке, как видим, задачу определения напряжений и перемещений в теле вращения можно решить в функции только одного независимого переменного— радиуса т.
Проецируя силы, действующие на элемент, на направление радиуса, получаем следующее условие равновесия: звг Рис. 9.8 осевая растягивающая сила, равная р~~га — рькЬ . 2 2 Осевое напряжение о будет следующим: Раа — рцЬ 2 2 ~Я 2 2 Ь вЂ” а (9.9) В В 4- — 2 = -Р. 4- — 2 = -РЬ) откуда а2 рф2 а2Ь2 А = Ь2 аг , В = Ь2 — а2 (Ра РЬ). 384 Длину цилиндра при этом предполагают достаточно большой для того, чтобы можно было считать, что напряжение ~т, распределено по поперечному сечению равномерно и что удерживающее влияние днищ на радиальные перемещения цилиндра ничтожно мало.
Кроме указанного, рассмотрим случай, когда о = О, как, например, для цилиндра, показанного на рис. 9.6, о. Возвращаясь к формулам (9.7), определяем постоянные А и В из следующих граничных условий: ~т = — р~ при т = а; с, = — р~ при г = Ь, т.е. (9.10) ав. (9.11) Наличие осевого напряжения ~г, сказывается только на радиальном перемешении и. В случае, если цилиндр нагружен силами давления в осевом направлении, то, согласно выражениям (9.9) и (9.11), получаем 1 — 2р р,а — рьЬ 1+ и а Ь р, — р~ 2 г гг и— Е Ь2 а2 т+ Е т Ьг аг' (9.12) Если осевая сила отсутствует, то 1 — р рда — ЯЬ 1+р а Ь Ра РЬ Ь2 а2 Е т Ь2 а2 (9.13) Теперь рассмотрим два частных случая.
Цилиндр нагружен внутренним д а в л е н и е м, В этом случае р„=р, р~ = О. Формула (9.10) принимает вид Ь2 2 ~ тг (9.14) На рис. 9.7 показаны эпюры изменения радиального и окружного напряжений по толщине цилиндра при нагружении внутренним давлением.
Окружное напряжение, как и следовало Рис. 9.7 386 !3 В. И. Феодосьев В итоге вместо (9.7) р„аг — Р~Ь Ьг — аг Й Раа Е Ь2— и (9.8) получаем агЬг р„— рь .2 Ь2 аг' р~Ь2 1+ р а2Ь2 ра — рь а2 т+ Е т Ь2 а2 ожидать, является растягивающим, а радиальное — сжимающим. У внутренней поверхности о~ достигает наибольшего значения: Ь +аг Р62 Радиальное напряжение при этом равно -р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
