Феодосьев В.И. Сопротивление материалов (1075903), страница 45

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 45)

Эквивалентиное напряжение — это такое напряжение, которое следует создать в растянутом образце, чтобы его состояние было равноопасно с заданным напряженным состоянием. Широко используемое в практике понятие эквивалентного напряжения содержит в своей основе замаскированное предположение,что для количественной оценки перехода материала из одного состояния в другое достаточно задать только одно число. В действительности это не всегда так. Сравнивая два З4В Рис.

8.1 равноопасных напряженных состояния А и В, мы не учитываем свойств материала, проявляющихся в разных напряженных состояниях по-разному. Может случиться, что в напряженном состоянии А (см. рис. 8.1) при пропорциональном увеличении всех составляющих напряжений произойдет хрупкое разрушение, а в состоянии В при увеличении к,„, начнется процесс образования пластических деформаций. Тогда напряженные состояния оказываются несопоставимыми.

Таким образом, понятие п,„в следует рассматривать как не всегда безупречное, но в то же время весьма удобное средство для ведения практических расчетов. Вводя понятие эквивалентного напряжения, мы сводим расчет на прочность в сложном напряженном состоянии к расчету на обычное растяжение.

Действительно, коэффициент запаса при растяжении (состояние В на рис. 8.1) определяется, как обычно, следующим образом: я= ~гзкв Такую же величину коэффициент запаса имеет и для случая сложного напряженного состояния А. Весь вопрос заключается только в том, как выразить а,~, через ю1, а~ и аз. Для этого рассмотрим некоторые уже сложившиеся и зарекомендовавшие себя гипотезы пластичности, или критерии появления пластических деформаций. 349 8.2.

Гипотезы (критерии) появления пластических деформаций Итак, основной вопрос при формулировке критерия пластичности заключается в том, какая из компонент напряженного состояния (или какая их комбинация) в общем случае определяет переход материала к пластическому состоянию. Из множества предлагавшихся в свое время гипотез пластичности лишь две сохранили к настоящему времени свое значение.

Первая гипотеза связана с именами Треска и Сен-Венана. Она основана на достаточно очевидной предпосылке: пластическая деформация в металлах возникает в результате необратимых сдвигов в кристаллической решетке. Понятно, что переход к пластическому состоянию не происходит внезапно. Сначала пластическая деформация возникает в отдельных, неблагоприятно ориентированных зернах. Возрастание нагрузки вовлекает в пластическую деформацию новые микрообласти, и, когда пластической деформацией охватывается подавляющее множество зерен, мы можем говорить о том, что произошел переход к пластическому состоянию.

Естественно предположить, что мерой этого перехода является наибольшее касательное напряжение в объеме, охватывающем достаточно большое число произвольно ориентированных зерен, т.е. то самое касательное напряжение, которое мы определяли на основе предпосылки сплошной изотропной среды. Максимальное касательное напряжение возникает на площадках, равнонаклоненных к площадкам наибольшего и наименьшего главных напряжений, и равно нолуразности этих напряжений (см. выражение (7.14)): 1 'г~п~„= — (~1 — О2). 2 Таким образом, если т,п „достигло некоторого предельного значения, свойственного данному материалу, то независимо от вида напрхженного состояния происходит переход к пластическому состоянию материала, ЗбО откуда (8.1) ~экв = ~1 — ~3. Это и есть то расчетное напряжение, которое по критерию максимальных касательных напряжений должно быть сопоставлено с пределом текучести при растяжении.

361 Экспериментальная проверка этой гипотезы показала, что для пластичных материалов она приводит, в общем, к удовлетворительным результатам. Переход от упругого состояния к пластическому действительно с достаточной точностью определяется разностью между наибольшим и наименьшим из главных напряжений и слабо зависит от промежуточного главного напряжения юг. Наложение всестороннего давления на любое напряженное состояние не меняет т~~ и, следовательно, не оказывает влияния на возникновение пластических деформации. В частности, при всестороннем гидростатическом давлении т~ „обращается в нуль. Это означает, что в таких условиях в материале пластические деформации не возникают вовсе.

Все опыты, проводившиеся при доступных для техники давлениях, подтверждают это, Сказанное нисколько не противоречит описанному ранее поведению чугуна в условиях высокого давления. Наложение всестороннего давления влияет не на условия иластичностпи, а на условия разрушенин. Граница разрушения отодвигается, и материал приобретает способность пластически деформироваться без разрушения. И это характерно вообще для всех конструкционных материалов.

Если представить себе существование цивилизации на самых больших глубинах океана, то для этих воображаемых разумных существ понятия хрупкости и пластичности материалов были бы отличны от наших. Придерживаясь сформулированного критерия пластичности, мы можем принять, что два напряженных состояния равноопасны в том случае, если имеет место равенство наибольших касательных напряжений.

Лля напряженных состояний А и В (см. рис. 8.1) имеем 1 1 2 2 ((7~ — ~Уз) = (Узив, (8.2) ~экв = 2 Но энергия формоизменения, как мы уже знаем, пропорциональна квадрату октаэдрического касательного напряжения (см. ~ 7.7). Поэтому то же самое выражение (8.2) для п,к~ можно получить, если в качестве критерия пластичности принять не энергию формоизменения, а касательное напряжение в октаэдрических площадках. Действительно, 7окт — [(О1 — О2) + (О1 — ЮЗ) + (02 — ц3) 1' 2 2 2 352 Казалось бы, что простота расчетных зависимостей, физическая наглядность критерия и, наконец, соответствие с экспериментом должны были бы обеспечить гипотезе максимальных касательных напряжений полную монополию если не в теоретическом аспекте, то по крайней мере при решении практических задач.

Этого, однако, не произошло, и в своеобразном естественном отборе, который происходил среди многих гипотез, предлагавшихся в конце прошлого и начале настоящего века, выжила и заняла место наравне с теорией Треска — СенВенана также и гипотеза Хубера — Мизеса. Она была сформулирована Хубером в 1904 г. в виде исправленного варианта критерия Бельтрами, согласно которому переход к пластическому состоянию связан с уровнем накопленной в единице объема потенциальной энергии деформации.

Но принять в качестве критерия пластичности всю энергию деформации нельзя. Это противоречило бы экспериментально установленному факту, что при всестороннем давлении пластические деформации не возникают, в то время как потенциальная энергия неограниченно возрастает. В связи с этим Хубером было предложено исключить из рассмотрения энергию объема, а в качестве критерия перехода из упругого состояния в пластическое принять энергию формоизменения (7.28). Лля простого растяжения это выражение приобретает вид 1+0 2 ~оф = 2~,„.. Из условия равноопасности определяем ст „ . Для этого приравниваем два последних выражения и получаем Для простого растяжения 2 2 'гокт = ~экв 9 Приравнивая выражения г „, приходим к уравнению (8.2).

Почему же гипотеза Хубера — Мизеса, приводящая к более сложному для оэ„~ выражению (8.2), чем теория максимальных касательных напряжений, оказалась конкурентоспособной? Оказывается, дело не только в том, что, по мнению многих авторитетов, она для основных конструкционных металлов более точно отражает условия перехода в пластическое состояние. В процентном отношении разница между выражениями (8.1) и (8.2) не столь уж и заметна.

Она достигает максимума при чистом сдвиге, когда сз = — ~т~, а ~тг = О, и составляет примерно 13 70. Более важным является другое обстоятельство. Когда конструкцию рассчитывают на прочность, мы, обращаясь к теории максимальных касательных напряжении, т.е.

к выражению (8.1), должны обязательно продумать, которым из трех главных напряжений присвоить индексы 1, 2 и 3. Иногда это бывает не очень удобно, особенно если конструкция находится под воздействием системы сил, меняющихся по различным законам в зависимости от условий работы. Тогда сложность перебора различных случаев в соотношении нагрузок сводит на нет те преимущества, которые дает нам простота выражения (8.1).

Если же обратиться к теории Хубера — Мизеса, то обнаруживается, что перестановка местами индексов 1, 2 и 3 в выражении (8.2) не сказывается на ст,„~, и это освобождает нас от необходимости думать о том, какое иэ главных напряжений является наибольшим, а какое — наименьшим. Любопытно, что именно это обстоятельство заставило Мизеса, не знакомого с работой Хубера, в 1913 г. в целях упрощения предпринять поиск аналитического выражения, близкого к тому, что дает теория максимальных касательных напряжений, но не зависящего от перестановки индексов, что в дальнейшем позволило с большим успехом испольэовать это выражение при построении основ теории пластичности (см.

гл. 11). 12 В. И. Феодосьсв Итак, мы рассмотрели два основных критерия пластичности, базирующихся на правдоподобных гипотезах и согласующихся с опытом. Но к рассматриваемому вопросу можно подойти и с несколько иных позиций — с позиций упрощенной систематизации экспериментальных данных. Этот подход впервые был сформулирован Мором и в настоящее время носит название теории Мора. 8.3.

Характеристики

Список файлов книги