Феодосьев В.И. Сопротивление материалов (1075903), страница 40
Текст из файла (страница 40)
2 2 2 Полученное соотношение мало что говорит о законах изменения напряжений в точке, зато оно дает уравнение центральной поверхности второго порядка. А из курса аналитической геометрии известно, что путем поворота системы координат это уравнение может быть преобразовано таким образом, что в нем исчезнут попарные произведения координат,или, иначе говоря, обратятся в нуль коэффициенты при членах попарных произведений.
В данном случае это означает, что в каждой точке напрхженного тела существует таках система Ожуя, в которой касательные напрхжених т~~, т~~ и т~у равны нулю. Такие оси называются главными осхми. Соответствующие им взаимно перпендикулярные площадки называются главными площадками, анормальные напряжения на них — главными напрхженихми. В порядке возрастания эти напряжения обозначают через гз, г2 и ю1. Если в окрестности исследуемой точки элементарный объем выделен главными площадками, то система сил, возникающих на гранях элемента, упрощается (рис. 7.8). Существенно упрощаются также выражения (7,3), они принимают вид или (Ох — 5) 1+ Тухт+ Тгхг1 = О; т у! + (О, — 5) т+ тг и = О; тх,1+ ту, тп + (О, — 5) и, = О.
Их можно рассматривать как систему уравнений относительно неизвестных 1, т и и, определяющих ориентацию главной площадки в исходной системе Охул. Полученная система является однородной. Вместе с тем она должна давать для 1, т и и ненулевое решение, так как направляющие косинусы не могут быть все одновременно равны нулю, поскольку 12+ 2+ 2 (7.6) Для того чтобы система однородных уравнений (7.5) имела ре- шение, отличное от нулевого, необходимо, чтобы определитель этой системы был равен нулю: Ох — 5 Тх, хг Тух Тгх О,— 5 Т, Туг Ог (7.7) (7.8) в котором 11 = Ох+ ~2 = ОуОг Оу+ Ог, 2 2 2 . + ОгОх + ОхОу — Туг — Тгх Тху$ (7.9) Ох Тху т, тух Тгх Оу Тгу Туг О 13 = Лостигается это надлежащим выбором величины 5. Если условие (7.7) выполнено, одно из трех уравнений (7.5) представляет собой линейную комбинацию двух других, которые совместно с условием (7.6) образуют новую систему, достаточную для нахождения 1, т и а, определяющих положение главных площадок.
Эту часть задачи мы оставим, однако, без рассмотрения и перейдем к определению главных напряжений Я из уравнения (7,7). Раскрыв определитель и расположив его члены по степеням 5, получим следующее кубическое уравнение: — ~1+512 — ~3 = Оз Можно показать, что все три корня уравнения (7.8) являются вещественными. Они дают три значения главных напряжений о1, о2 и оЗ. Понятно, что главные напряжения, т.е. корни уравнения (7.8), определяются характером напряженного состояния и не зависят от того, какая система осей была принята в качестве исходной. Следовательно, при повороте системы осей Охух коэффициенты 11, 12 и /з уравнения (7.8) должны оставаться неизменными.
Они называются инвариантпами наиряженного состояния. В некоторых случаях инварианты могут принимать нулевые значения. Например, если,7з = О, то один из корней уравнения (7.8) также равен нулю. В этом случае говорят, что напряженное состояние является двухоскым, или плоским. В частности, уже знакомое нам напряженное состояние чистого сдвига представляет собой двухосное напряженное состояние, для которого О1 = Оз и О2 = О Если одновременно равны нулю второй и третий инварианты, т.е. 12 = 1з = О, то уравнение (7.8) имеет два нулевых корня и только одно из главных напряжений отлично от нуля.
Напряженное состояние в этом случае называется однооскым. С ним мы уже встречались при изучении вопросов растяжения, сжатия и чистого изгиба. Рассмотрим некоторые примеры определения главных напряжений. П р и м е р 7.2. Определить главные напряжения в случае, если все компоненты напряженного состояния равны между собой (рис. 7.10, а). Рис. 7.10 311 Согласно выражениям (7.8) и (7.9), имеем; Л = Зп, 1г = 7з = О; п1 = Зп, пз = ез = О. Следовательно, заданное напряженное состояние представляет собой одноосное растяжение. Полученному результату можно дать простое объяснение, если учесть, что элемент может быть выделен из растянутого стержня любым образом. Очевидно, если трн секущие площадки равнонаклонены к оси растянутого стержня, в гранях элемента как раз и возникают равные составляющие напряженного состояния (рис.
7.11). Поскольку при изменении ориентации секущих площадок напряженное состояние не меняется, полученное решение может быть представлено в виде символического равенства (см. рис. 7.10). Й Рис. 7.11 П р и м е р 7.3. Определить главные напряжения в случае напряженного состояния (рис. 7.12, а) О г г т О т т г О Рис. 7.12 Итак, исследуя напряженное состояние, мы обнаружили существование трех взаимно перпендикулярных площадок, 312 Согласно выражениям (7.9), получаем Л = О, 1з — -Зт~, .7з = 2т~. Тогда 5 — Зг 5 — 2т = О. Подбором определяем один нз корнем. Это 3 2 з будет 5 = -т.
Разделив левую часть уравнения на 5+ т, сводим уравнение к квадратному и определяем остальные два корня. В итоге получаем ю1 = 2т; ~тз = пз — т. Следовательно, напряженное состояние является трехосным (рис. 7.12, о). обладающих тем замечательным свойством, что касательные напряжения в них равны нулю, и назвали эти площадки главными. Но существуют и другие площадки, также обладающие важными н интересными особенностями, знакомство с которыми понадобится нам в дальнейшем. а Рыс. Т.13 Положим, что оси х, у и л — главные и о~ = о1, оя — — о~, с, = ~гз (рис.
7.13). Тогда выражения (7.3) примут вид Х = с~1; У = (т2т; Я = оза. Найдем касательное напряжение т„в этой площадке: т„= р — ю~, (7.10) 313 где р — полное, а ~„— нормальное напряжения в той же площадке. Очевидно, что р2 Х2 + у2 + у2 о~~з + а2тз + с2а2 ст„= Х~ + Ут + Хп = ю1! + сзт + озп . 2 2 2 Подставляя р~ и о„в выражение (7.10) и учитывая, что 12 + +т + п2 = 1, получим 2 т = (ст — о2)2~2,щ2+ 2 +(~г1 ~з)з12П~ ~ (~2 ~з)2~п2а2 (7 11) Как видим, т2 — величина существенно ноложительнаа к на главных площадках, как и положено, обращается в нуль.
действительно, если нормаль и совпадает с одной из глааных осей, то один из направляющих косинусов принимает значение, равное единице, а два других равны нулю, н тогда т„= О. 2 Для дальнейшего нам потребуются выражения для напряжений в так называемых октаэдрических площадках, т.е. в площадках равнонаклоненных к главным. Для таких площадок Р = т = и2 = 1/3, н тогда мы получим 1 7окт— 3 1 Оокт = (О1 + О2 + ОЗ). 3 (7.13) Таким образом, нормальное октаэдрическое напряжение равно среднему арифметическому трех главных напряжений. Особый интерес представляют площадки, в которых возникают наибольшие касательные напряжения. Положение этих площадок можно определить, отыскивал экстремум выражения (7.11) при условии, что 12 + т~+ а2 = 1.
Но этих выкладок мы делать не будем, ибо о результате можно догадаться сразу. Заметим, что О1 — ОЗ = (О1 — О2) + (О2 — ОЗ) и, поскольку квадрат суммы не меньше суммы квадратов, (О1 — О2) ) (О1 — О2) + (О2 — ОЗ) Значит, при равенстве 1~ = т2 = и~ второе слагаемое в выражении (7.11) будет не меньше суммы двух остальных. Если мы хотим, чтобы величина т„достигла наибольшего зна- 2 чения, то, подбирал Р, т2 и тР, мы должны, очевидно, максимально увеличить произведение Рп2 за счет т2.
Но это будет достигнуто при т2 = О, и тогда произведение величин Р и п2 при условии, что их сумма равна единице, будет наибольшим, если Р = п2 = 1/2. Таким образом, 1 1'гтпах! = (О1 ОЗ). 2 Так как т = О, а 1 = и = сГ2/2, то максимальное касательное напряжение возникает в площадках, равнонаклоненных к главным площадкам, на которых действуют максимальное и минимальное из главных напряжений.
314 7.4. Круговая диаграмма напряженного состояния Ыл ~т ~у = с1 Ну Ня соя а + ~тЗ Йу о.я 1и а яп а; соя а Ыл г Ну = с1 Ыу Ы~ з1п а — оз Ыу Ыя 1да сов а, соя а или ~т = ~т1соз а+ ~тзип а; 2 ° 2 г = (~т1 — ~тз) япасова. Эти выражения можно переписать в виде ~т1 + ~тЗ ~т1 ~тЗ г1 — АЗ . (т— 2 + 2 соз2а; г = 2 нп 2а.
(7.15) Таким образом определяют напряжения в семействе площадок, параллельных одной из главных осей. Выражениям Как мы увидим в дальнейшем, определение главных напряжений является необходимым промежуточным этапом при ведении расчетов на прочность в сложном напряженном состоянии. Поэтому вычислять значения главных напряжений приходится довольно часто. Однако это не значит, что всегда необходимо решать кубическое уравнение (7.8). Дело в том, что в абсолютном большинстве встречающихся на практике случаев положение одной из главных площадок в исследуемой точке может быть указано заранее.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
