Феодосьев В.И. Сопротивление материалов (1075903), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Остается только один неизвестный моыент Х1, возникающий в горизонтальной плоскости. Рис. 6.43 Рис. 6.44 Для половины рамы строим эпюры моментов т д в от за анных снл н от ( . 6.43 в н г). Перемножая эпюры, находим единичного момента (рис, в 41 21 Р12 Тогда Р1 1 4 2+ Е3((С3,) ' ЕЯ~(С3 ) и 1 Э Х1 т 0,076Р1. Суммарная эпюра Для круглого сечения /~ а ' > т 1 моментов дана на рнс.
6.44. 294 6.6. Определение перемещений в статически неопределимых системах Мы уже знаем, что в любой системе перемещение определяется как результат перемножения эпюры моментов от внешних сил на эпюру моментов от единичной силы, приложенной в точке, перемещение которой надо найти. В статически неопределимых системах, очевидно, для построения эпюры моментов от внешних сил нужно раскрыть статическую неопределимость и построить суммарную эпюру так, как это уже многократно делалось в рассмотренных выше примерах. Когда к такой системе приложена единичная сила, снова возникает вопрос о раскрытии статической неопределимости. Таким образом, получается, что для определения перемещения в статически неопределимых системах нужно дважды раскрывать статическую неопределимость.
Возникающие трудности, однако, легко устраняются. Положим, дана некоторая статически неопределимая система и требуется определить перемещение, например, точки А (рис. б.45, а). Рис. 6А5 Рассмотрим некоторую основную систему и приложим к ней заданные силы и неизвестные силовые факторы Х1, Х~, Хз (рис. б.45,6). После того как статическая неопределимость раскрыта и неизвестные найдены, рама, показанная на рис. 6.45, б, ничем не отличается от заданной. В частности, и перемещения всех ее точек будут точно такими же, как и у заданной. Поэтому можно рассматривать силы Х1, Х~, Хз как заданные. Эпюра моментов от сил Р, Х1, Х2 и Хз представляет собой эпюру моментов в статически неопределимой 295 раме, Следовательно, сначала необходимо раскрыть статическую неопределимость и построить суммарную эпюру моментов.
Вид этой эпюры, понятно, не зависит от выбора основнои системы. Далее, освобождаем систему от внешних сил, в том числе и от сил Х1, Х2 и Хз, и прикладываем единичную силу к статически определимой раме (рис. 6.45, в). Полученную единичную эпюру перемножаем с суммарной эпюрой внешних заданных сил. На практике удобнее умножить единичную эпюру отдельно на эпюры от заданных сил и от силовых факторов Х1, Х2, ХЗ, а затем полученные результаты алгебраически сложить. Таким образом определяется искомое перемещение. Вторично раскрывать статическую неопределимость, как видим, не нужно, П р и м е р 6.10.
Определить горизонтальное перемещение точки А в раме, показанной на рис. 6.46, а. Эцюра изгибающих моментов для этой рамы уже была построена ранее (см. пример 6.4). Поэтому, считая, что первы часть задачи решена, разрезаем раму в любой точке и к полученной основной системе прикладываем в точке А единичную силу (рнс. 6.46, о). 17 Р1з Перемножая эпюры, находим 6,, = — —. 672 Е1 ,Г 14 Р Р 4 4 14 й — Я вЂ” Л Рис.
В.4В П р н м е р 6.11. Определить, насколько уменьшится диаметр АВ кольцевой рамы (рис. 6.47, о) прн нагруженни ее силами Р. Статическая неопределимость этой рамы также уже была раскрыта ранее (см. пример 6.5). Изгибающий момент для четверти рамы АС оказался в следующей зависимости от угла у: 1 1 М = РК вЂ” — -сову х 2 229В г а Рис. 6.47 Разрезаем раму в произвольном сечении, а в точках А и В прикладываем противоположно направленные единичные силы (рис.
6.47, б). В сечении с текущим координатным углом у имеем М1 = Вв1п у, Тогда ~г/2 ММ1ЯИу Р~Я 2 1 о 6.7. О методе перемещений Метод перемещений отличается от метода сил тем, что при раскрытии статической неопределимости в качестве неизвестных принимают не силы, а перемещения. Метод перемещений заслуживает столь же уважительного к себе отношения, что и рассмотренный выше метод сил. Нельзя сказать, который из них лучше. Они в основном равноценны.
Преимущества одного перед другим определяются особенностями статически неопределимой системы и в какойто мере привычками и традициями. Особенно просто методом перемещений можно раскрыть статическую неопределимость систем 5 с малым числом углов. Рассмотрим пример, очень простой для метода перемещений и вместе с У тем сложный для метода сил. лГ На рис.
6.48 показана систе- Р А ма, состоящая из я стержней, Рис, 6.48 297 связанных в единый шарнирный узел в точке А. Система а-2 раза статически неопределима, и определение усилий в стержнях методом сил не сулит ничего радостного, особенно, если стержней много и к тому же они имеют различные длины и различные жесткости при растяжении.
Метод перемещений позволяет решать такие задачи неожиданно просто. Обозначим горизонтальное и вертикальное перемещения узла А через и и э соответственно (см. рис. 6.48). Удлинение ~-го стержня определяется суммой проекций и и ю на ось стержня, т.е.
Ы; = и в1п ~р; + ю сов ~р,. Выражение для растягивающей силы имеет вид ЕР; Ю; = ' (ив1п~р;+ юсова;). Ф (6.4) Напишем два уравнения равновесия для отсеченного узла А: и — 1 и — 1 ), К; сов у; = Р; ~ М; и!и у; = О. в=О в=О Исключая силы Ю; и переходя к перемещениям, получаем два уравнения для вычисления и и о: и — 1 ' в1п~р;сов~р;+ и Г ' сов ~р; = Р; а=О ' в1п <р;+ ~ ~ ' в1п~р,сову; = О. 1; ~ 1, в=О и — 1 и~ 298 После того как перемещения найдены, не представляет труда с помощью выражения (6.4) определить усилие в любом стержне.
Методом перемещений столь же просто можно раскрыть статическую неопределимость системы, показанной на рис. 6 49, при любом числе поддерживающих стержней. Решение очевидно, Надо ввести вертикальное и угловое перемещения жесткого стержня, выразить через них удлинения и силы, а затем написать в перемещениях два уравнения равновесия, В то же время, если вернуться к примеру стержневой системы, рассмотренной ранее (см. пример 6.2), то обнаружится, что решение методом сил оказывается более предпочтительным. При большом числе узлов и конструктивных элементов методы равноценны и, как один, так и другой, могут быть положены в основу создания машинных алгоритмов так называемого метода конечных элементов для анализа сложнейших систем стержневого и оболочечного типов. Глава 7 ОСНОВЫ ТЕОРИИ НАПРЯ'~КЕННОГО И ЛЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЙ 7.1.
Напряженное состояние в точке Уже на примерах растяжения и сдвига мы имели возможность убедиться в том, что напряжения в площадке, проходящей через заданную точку напряженного тела, зависят от ее ориентации. С поворотом площадки меняются в определенной зависимости и напряжения. Совокупность напряжений, возникающих во множестве площадок, проходящих через рассматриваемую точку, называется напряженным состоянием в точке. Напряженное состояние поддается анализу не только в частных случаях растяжения и сдвига, но и в общем случае нагружения тела. В настоящей главе этот вопрос и будет рассмотрен.
Заметим, что исследование законов изменения напряжений в точке не является чисто отвлеченным. Оно необходимо для последующего решения более сложных задач и в первую очередь для расчетов на прочность в общих случаях н агру жения. Положим, имеется некоторое тело (не обязательно упругое), нагруженное произвольной системой сил (рис. 7.1). При зоо переходе от точки к точке напряженное состояние меняется достаточно медленно и всегда имеется возможность выбрать в окрестности произвольно взятой точки А (см. рис. 7.1) такую достаточно малую область, для которой напряженное состояние можно было бы рассматривать как однородное.
Понятно, что такой подход возможен только в пределах принятой ранее гипотезы сплошной среды, допускающей переход к предельно малым объемам. Рис. 7.2 Чтобы охарактеризовать напряженное состояние в точке А, представим себе, что через нее проведены три секущие площадки и установлены возникающие в них напряжения. Затем в окрестности исследуемой точки шестью сечениями выделим элементарный объем в виде прямоугольного параллелепипеда (рис. 7.2).
Если размеры параллелепипеда уменьшать, он будет стягиваться в эту точку. В пределе все грани параллелепипеда пройдут через точку А, и напряжения в соответствующих секуших плоскостях можно рассматривать как напряжения в исследуемой точке. Полное напряжение, возникающее на секущей площадке, может быть разложено на три составляющие: одну по нормали к плошадке и две в плоскости сечения. Нормальное напряжение будем обозначать по-прежнему буквой с с индексом, соответствуюшим осям ж, у и л (см.
рис. 7.2). Касательное напряжение обозначим буквой т с двумя индексами: первый соответствует оси, перпендикулярной к площадке, а второй— оси, вдоль которой направлен вектор г. Ориентация самих осей является произвольной. Нормальные растягивающие напряжения с будем считать положительными, сжимающие — отрицательными. Что касается знака напряжений т, то здесь обусловливать его не будем, поскольку в пределах рассматриваемых ниже задач знак г роли не играет. Напряжения, возникающие на трех гранях элемента (на трех взаимно перпендикулярных плоскостях, проходящих через точку) показаны на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
