Феодосьев В.И. Сопротивление материалов (1075903), страница 33

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 33)

2 2 Теперь приложкм сначала силу Ру, а затем Р1. Тогда, очевидно, выражение работы будет следующим: 1 1 — Рубвг + — Р1бл1 + Ргбв1 2 2 Приравнивая работы, находим Рблг = Ргбв1 (5.14) б,~г = бв1. (5.15) Перемещение точки А под дейстпвием силы, приложенной в тпочке В, равно перемещению точки В под действием тпакой же силы, приложенной в тпочке А. Сказанное может быть проиллюстрировано на примере балки, нагруженной силой Р поочередно в точках А и В Полученный результат может быть сформулирован следующим образом: работпа первой силы на перемещении точки ее приложения под действием втпорой силы равна работе втпорой силы на перемещении точки ее приложения под действием первой силы, В этом и заключается тпеорема вэаимности работ.

Эта теорема приобретает большую общность, если учесть, что здесь, как и при выводе теоремы Кастилкано, под Р1 и Р2 можно понкмать не просто силы, а обобщенные силы, а под блг и бв1 — обобщенные перемещения. Иногда в теорему взаимности работ вкладывают более узкое содержание, трактуя ее как теорему вэаимности перемещений. Если Р1 — — Р~, выражение (5.14) принимает вид Рис. 5.29 (рис. 5.29). Согласно теореме взаимности перемещений, отмеченные на рисунке отрезки бди и бн1 равны. Теоремы взаимности работ и перемещений оказываются весьма полезными, так как позволяют в ряде случаев сильно упростить решение многих задач сопротивления материалов.

Это мы увидим, в частности, в следующей главе, где будут рассмотрены общие вопросы раскрытия статической неопределимости систем. В некоторых случаях теорема взаимности работ дает возможность весьма просто решать в общем виде такие задачи, которые другими методами могут быть решены только с большим трудом. П р и м е р 5.11. Определить изменение объема упругого тела произвольной формы, нагруженного двумя равнымн, противоположно направленнымн силами Р (рнс. 5.30).

Расстояния между точками приложения сил равно Н. Упругие константы материала заданы. Понятно, что найти решение задачи в столь общей постановхе представляется весьма затруднительным. Однако на помощь приходит теорема взаимности работ. Одновременно с заданной нагрузхой будем рассматривать случай нагружения тела равномерно распределенным давлением р, действующим по поверхности. Тогда имеем две обобщенные силы: систему двух сил Р, с одной стороны, и давление р, с другой. Согласно теореме взаимности работ, можно сказать, что (5.16) где ЬНр — взаимное смещение точек приложения сил под действием давления р, а ЬУ~ — исхомое изменение объема тела под действием сил Р.

При нагружении тела равномерно распределенным давлением в любой площадке тела вознихает напряжение е, равное давлению р. Для элементарного объема, показанного ыа рыс. 5.31, отыосытельыое сжатые в лю- Рис. 5.30 Рис. 5,31 бом направлении, согласно закону Гука, будет следующим: Ф Ф Ю Я е = — — д — — д — = — (1 — 2~и). Е Е Е Е Точки приложения сил Р (см. рис.

5.30) сблизятся под действием давления р на ЬН, = — "(1 — ги) Н. Р Тогда, подставляя ЪН~ в выражение (5.16), находим рн ЙУЛИ вЂ” — — (1 — 2д). Е П р н м е р 5.12. Замкнутал нерастяжнмая рама, имеющая форму круга, нагружена в своей плоскости произвольной системой сил (рис. 5.32). Показать, что площадь, ограниченная рамой, при ее изгибе не меняется. $~ М Рис. 5.32 Рис. 5.33 дЬГ~ — — ) 'Р;6;9, (5.17) 9 В. И. Феодосьев Изменение площади рассматриваем как обобщенное перемещение.

Соответствующая этому перемещению обобщенная сила представляет собой распределенную нагрузку с постоянной интенсивностью д. Поэтому наряду с заданным случаем нагружения рассмотрим нагружение той же рамы равномерно распределенной нагрузкой д (рнс. 5.33). Тогда, согласно теореме взаимности работ, ИМеем где ЬЕ~ — искомое изменение площади под действием произвольной системы сил; ~; Р;бц — сумма работ этих сил на перемещениях, вызванных распределенными силами д. Под действием снл е перемещения в кольце возникать не будут, поскольку кольцо нерастяжимое, н поэтому б;~ — — О. Следовательно, правая часть уравнения (5.17) обращается в нуль, и ЬГ;, = О, что и требовалось доказать.

Понятно, что полученный результат является правильным только для малых перемещений, паха к системе может быть применен принцип независимости действия сил. Глава 8 РАСКРЫТИЕ СТАТИЧЕСКОЙ НЕОПРЕДЕЛИМОСТИ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ СИЛ 6.1. Связи, накладываемые на систему. Степень статической неопределимости сжатие, то стержневая система называется фермой (рис. 6.1).

Ферма состоит из прямых стержней, образующих треугольники. Лля фермы характерно приложение внешних сил в узлах. Рис. 6.1 Выше (в гл. 1 и 2) были частично затронуты вопросы, связанные с понятием статической неопределимости. Для решения большинства встречающихся на практике задач описанные приемы оказываются, однако, далеко не достаточными. Поэтому необходимо остановиться на более общих методах раскрытия статической неопределимости стержневых систем. Под стпержнееой систпемой в широком смысле слова понимается всякая конструкция, состоящая из элементов, имеющих форму стержня.

Если элементы конструкции работают в основном на растяжение или Если элементы стержневой системы работают в основном на изгиб или кручение, то система называется рамоб (рис. 6.2). Рис. 6.2 Особую, наиболее простую для исследования группу стержневых систем составляют плоские системы. У плоской рамы или фермы оси всех составляющих элементов расположены в одной плоскости, которая одновременно является главной плоскостью сечений. В этой же плоскости действуют все внешние силы, включая и реакции опор (см. рис. 6.2, а). Наряду с плоскими имеются так называемые плоскопростпранстпвекные систпемы. Лля такого рода систем оси составляющих элементов в недеформированном состоянии располагаются, как и для плоских систем, в одной плоскости.

Внешние же силовые факторы действуют в плоскостях, перпендикулярных этой плоскости (см. рис.6.2,6). Стержневые системы, не относящиеся к двум указанным классам, называются простиранстпвенными (см. рис. 6.2, 6). Рамы и фермы принято разделять на статически определимые и статически неопределимые. Под стпатпически определи,мой понимается такая система, для которой все реакции опор могут быть определены при помощи уравнений равновесия, а затем при найденных опорных реакциях методом сечений могут быть найдены также и внутренние силовые факторы в любом поперечном сечении.

Под стпатпически неопределимой системой имеется в виду такая, для которой определение гво внешних реакций и всех внутренних силовых факторов не может быть произведено при помощи метода сечений и уравнений равновесия. Разность между числом неизвестных (реакций опор и внутренних силовых факторов) и числом независимых уравнений статики, которые могут быть составлены для рассматриваемой системы, носит название степени, или числа статической неопределимости. В зависимости от этого числа системы разделяют на один, два, три, ..., п раз статически неопределимые.

Иногда говорят, что степень статической неопределимости равна числу дополнительных связей, наложенных на систему. Остановимся на этом вопросе подробнее. Положение жесткого тела в пространстве определяется шестью независимыми координатами, иначе говоря, жесткий стержень обладает шестью степенями свободы. На него могут быть наложены связи, т.е. ограничения, обусловливающие его определенное положение в пространстве. Наиболее простыми связями являются такие, при которых полностью исключается то или иное обобщенное перемещение для некоторых сечений.

Наложение одной связи снимает одну степень свободы. Следовательно, если на свободный жесткий стержень наложено шесть связей, то положение его в пространстве будет, за некоторыми исключениями, определено полностью, и система из механизма, обладающего шестью степенями свободы, превращается в кинематически неизменяемую систему. То число связей, при котором достигается кинематическая неизменяемость, носит название необходимого числа связей. Всякую связь, наложенную сверх необходимых, называют дополнительной.

Число дополнительных связей равно степени статической неопределимости системы. Связи в рамах и стержневых системах делят обычно на связи внешние и связи внутренние, или взаимные. Под внешними связями понимаются условия, накладываемые на абсолютные перемещения некоторых точек системы.

Если, например, на левый конец бруса (рис. б.З, а) наложено условие, запрещающее вертикальное перемещение, говорят, что в этой точке имеется одна внешняя связь. Условно ее изображают в виде двух шарниров или катка. Если запрещено как вертикальное, так и горизонтальное смещение, говорят, что наложены две внешние связи (рис.

6.3, 6). Заделка в плоской системе дает Рис. В.З три внешние связи. Пространственная заделка соответствует шести внешним связям (рис. 6.3, в). Внешние связи часто, как уже упоминалось, делят на необходимые и дополнительные. Например, на рис. 6.4 показана плоская рама, имеющая в случае а три, а в случае б — пять внешних связей. Пля того чтобы определить положение рамы в плоскости как жесткого пелого, необходимо наложение трех связей. Следовательно, в случае а рама имеет необходимые внешние связи, а случае б, кроме того, две дополнительные внешние связи.

Характеристики

Список файлов книги