Феодосьев В.И. Сопротивление материалов (1075903), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Тогда относительно главных осей равнодействующая сила Р дает моменты и М„= РхО. — ~'УО Таким образом, внецентренное растяжение — сжатие оказывается родственным косому изгибу. В отличие от последнего, однако, при внецентренном растяжении в поперечном сечении стержня возникают ие только изгибающие моменты, но и нормальная сила Ж = Р. В произвольной точке В с координатами ю, у нормальное напряжение ~т определяется следующим выражением: (4.30) ~" УО У ~'*О~ Е,/г .7у Рис.
4.56 11ространственная эпюра напряжений образует плоскость. Уравнение нейтральной линии получаем, приравнивая и ну- УО У ~0~ + + — 0. (4.31) 211 Наибольшие напряжения, как и при косом изгибе, имеют ме- сто в точке с координатами х~, у~, наиболее удаленной от ней- тральной линии: 1 уоу1 ХОХ1 Супах — Р + + 1 У При внецентренном растяжении — сжатии в отличие от косого изгиба нейтральная линия не проходит через центр тяжести сечения. При положительных хо и уо по крайней мере одна из координат х, у, входящих в уравнение (4.31), должна быть отрицательной. Следовательно, если точка приложения силы Р находится в первом квадранте, то нейтральная линия проходит с противоположной стороны центра тяжести через квадранты Я, Ю и ~ Рис. 4.57 (рис. 4.57).
ау+ Ьж+ с = О, как известно из курса аналитической геометрии, равно с ОС= ~/~г+ Ьг В данном случае (см. рис. 4.57) 1/Р (4.32) ОС = Следовательно, по мере того как точка приложения силы приближается к центру тяжести сечения, нейтральная линия уда- ляется от него. 212 Расстояние от начала координат до некоторой прямой, уравнение которой В пределе при жо = уо = О, когда сила Р приложена в центре тяжести, нейтральная линия находится в бесконечности. Напряжения в этом случае распределены по сечению равномерно. По мере того как точка приложения силы удаляется от центра тяжести, отрезок ОС уменьшается и нейтральная линия, следовательно, приближается к центру тяжести. Из сказанного следует, что при внецентренном растяжении и сжатии нейтральная линия может как пересекать сечение, так и находиться за его пределами.
В первом случае в сечении возникают и растягивающие, и сжимающие напряжения. Во втором случае напряжения во всех точках сечения будут одного знака. Затронутый вопрос имеет значение, например, для расчета сжатых кирпичных колонн. Кирпичная кладка плохо сопротивляется растяжению. Поэтому желательно, чтобы напряжения при внецентренном сжатии были для всего сечения сжимающими и чтобы нейтральная линия проходила за пределами сечения. Для этого нужно внешнюю силу прикладывать достаточно близко к центру тяжести.
В окрестности центра тяжести существует область, называемая ндром сечения. Если след силы Р находится внутри ядра сечения, напряжения во всех точках сечения будут одного знака. Если сила приложена за пределами ядра сечения, нейтральная линия пересекает сечение, и напряжения в сечении будут как сжимающими, так и растягивающими. Когда точка приложения силы находится на границе ядра, нейтральная линия касается контура сечения. Чтобы определить ядро сечения, надо представить себе, что нейтральная линия обкатывается вокруг сечения. Точка приложения силы вычертит при этом контуры ядра. Рассмотрим примеры.
П р и м е р 4.14. Установить, который из стержней, показанных па рис. 4.58, способен выдержать ббльшую нагрузку без признаков пластических деформаций. В случае а сила Р для ослабленного сечения является иецентральной. Ее плечо относительно оси у равно а/4. Следовательно, наибольшее растягиваюшее напряжение Р 6Ра/4 4 Р аЗа/2 а(За/2)з 3 аз Рис. 4.59 Рис. 4.58 В случае о сила Р является центральной и е„„„= Р/а . Таким образом, в стержне, имеющем вырезы с двух сторон, напряжение будет меньше. П р и м е р 4.15.
Определить размеры ядра сечения для стержня, имеющего круглое сечение радиусом А (рис. 4.59). По условиям симметрии ядро сечения также должно иметь форму круга. Пусть точка приложения силы находится иа оси у, а нейтральная линия касается контура сечения (см. рис. 4.59). Тогда ОС = Я, у0 = г, г0 — — О.
Учитывал, что Г = ~гЯ~, а 1~ — тй~/4, получим из формулы (4.31) радиус ядра уо = г = Я/4. П р и м е р 4.1б. Определить ядро сечения для стержня, имеющего сечение в виде прямоугольника со сторонами 6 и Л (рис. 4.бО). Сначала по формуле (4.32) определяем ординату у0 точки А пересечения контура ядра сечения с осью у. Когда след нормальной силы находится в точке А, нейтральная линия совпадает с нижним основанием прямоугольника, при этом ОС = Л/2, а0 = О, Г = 6Л, 1к — — ЬЛз/12. Формула (4.32) дает у0 — — Л/б.
Когда равнодействующая сил переместится в точку В, расположенную на расстоянии 6/б от центра тяжести, нейтральная линия совпадет с 214 правой стороной прямоугольника. Си гаются точки А' н В' (см. рис. 4.60). Теперь остается решить вопрос, по какой кривой от точки А к точке В будет перемещаться точка приложения силы Р, если нейтральная линия поворачивается вокруг правого нижнего угла сечения (см. рис 4.60). Формула (4.30) выражает условие, при котором нормальное напряжение в некоторой точке сечения равно нулю.
Потребуем, чтобы в нижнем правом углу сечения, т.е. в точке с координатами у = — Л/2 и я = Ь/2, напряжение равнялось нулю. Тогда, согласно уравнению (4.31), имеем мметрично точкам А и В распола- 1 уо Л/2 яо Ь/2 ЬЛ ЬЛз/12 + ЛЬз/12 или Рис. 4.60 6уо 61о 1 — — = =О. Л 6 Если координаты точки приложения силы то, уо удовлетворяют этому уравнению, то сила Р перемещается по прямой. В данном конкретном случае зта прямая проходит через точки А н В. Соединяя точки А, В, А' и В' прямыми, получаем ядро сечения в виде ромба.
4.10. Изгиб бруса большой кривизны До сих пор мы рассматривали задачи, связанные с изгибом прямого бруса. Обратимся теперь к изгибу кривого бруса, полагая, что внешние силы приложены в плоскости его кривизны. Принято различать брус малой и большой кривизны. Основным признаком для такого деления является отношение высоты сечения 6 в плоскости кривизны к радиусу кривизны оси бруса р0.
Если это отношение существенно меньше единицы (6/р0 ( 0,2), считается, что брус имеет малую кривизну. Для бруса большой кривизны отношение 6/р0 соизмеримо с единицей. Таким образом, указанное деление является условным и не имеет четкой границы. 215 Х Рис. 4Я2 Введем необходимые обозначения. Через ро (см. рнс. 4.62, а) обозначим радиус кривизны оси бруса (линии центров тяжести сечений), а через т~ — радиус кривизны нейтрального слоя. Радиус то пока неизвестен. В дальнейшем мы увидим, что то всегда меньше рр и нейтральная линия для бруса большой кривизны смещена относительно центра тяжести в сторону центра кривизны. Ординату у будем отсчитывать от нейтральной линии.
Удлинение слоя АВ (см. рис. 4.62, б) равно ВВ' уЬ((6р) АВ (то + у) ~у Здесь предполагается, что в процессе изгиба бруса у не меняется. Однако, строго говоря, это не так. Если рассмотреть условия равновесия элементарной полоски АВ (см. рис. 4.62,в), станет очевидным, что между соседними волокнами должно существовать взаимодействие в виде сил, направленных по радиусу, в результате чего форма поперечного сечения бруса меняется и размер у не остается прежним. Для сплошных сечений это изменение несущественно. Для тонкостенного же бруса радиальные перемещения волокон довольно велики и могут коренным образом изменить картину распределения напряжений в сечении.
Отношение Ь(Жр)/И~р пропорционально изменению кривизны бруса. Из рис. 4.62 видно, что с одной стороны СР = = (Ыу+ Ь(0~р)) т, где т — радиус кривизны нейтрального слоя 217 после деформации; с другой стороны, Сй = то с6р. Приравнивая эти выражения, получаем ~~(Ир) ( 1 1 ) Таким образом, можно написать, что и, далее, (4,34) В полученных выражениях наглядно проявляется основная особенность бруса большой кривизны: размеры поперечного сечения соизмеримы с радиусом тО, поэтому величина у, стоящая в знаменателе, имеет существенное значение и напряжения по высоте сечения распределяются нелинейно.
Для бруса малой кривизны размер у по сравнению с та мал и о= Еу При 1/го = О это выражение принимает вид уравнения (4.3) для прямого бруса. Рис. 4.63 Будем полагать для простоты, что сечение бруса симметрично относительно плоскости кривизны. Тогда ось у в сечении является осью симметрии (рис. 4,б3) и момент элементарных сил с НГ относительно этой оси равен нулю. Напишем г1В теперь выражения для нормальной силы Ф и изгибающего мо- мента М: После подстановки а из (4.33) получаем Ф = Ето — — — ' М = Ето Так как нормальная сила равна нулю, то у~~ о+у г (4.35) Выражение для М преобразуем, разбивая входящий в него интеграл на два слагаемых: М = Ето у ~Š— то то+ у Первое слагаемое представляет собой статический момент се- чения относительно нейтральной линии и равно произведению Ге, где е — расстояние от нейтральной линии до центра тяже- сти, (4.36) е=ро — то Второе слагаемое, согласно выражению (4.35), равно нулю.
Таким образом, 1 1 М = Ето — — — Ге. т то (4.37) Исключив при помощи полученного соотношения разность 1(т — 1(то из выражения (4.34), получим следующую расчетную формулу для определения нормальных напряжений: м ст =— ае то+ у Напряжения, как видим, меняются по высоте сечения нелинейно. Эпюра напряжений представляет собой гиперболу, одна из асимптот которой совпадает с осью кривизны (рис. 4.64). В зависимости от формы сечения наибольшие напряжения могут иметь место как в верхней, так и в нижней точке сечения, Рис. 4.64 Рис. 4.65 Для того чтобы пользоваться формулой (4.38), необходимо определить то.
Для этого рассмотрим интеграл (4.35). Введем новую переменную и = то + у (рис. 4.65). Тогда выражение (4.35) примет вид откуда (4.39) | И' Интеграл, стоящий в знаменателе, представляет собой геометрическую характеристику сечения, такую же, как, например, статический момент или момент инерции. В частности, для прямоугольника (рис. 4.66, а) имеем Ро+й/г | ~У' / с~и Ро + 6/2 и / и ро — Й/2' ро-Ь/2 и, согласно формуле (4.39), 6 Ро + Ь/2 1п Ро — Ь/2 Рис. 4.66 Смещение нейтральной линии относительно центра тяже- стн Ь РО + Й/2 РΠ— Ь/2 Аналогичным образом для бруса круглого поперечного сечения (рис. 4.66, б) после выполнения операции интегрирования получим (4.40) 1 е= (РО р20 д2 ) 2 (4.41) 2РО 3 2РО 5 2рО 221 Вычисление е как разности между РО и тО содержит в себе значительные неудобства, особенно в случае сравнительно небольшой кривизны бруса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
