Феодосьев В.И. Сопротивление материалов (1075903), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Рессоры нуждаются поэтому в смазке листов и их следует оберегать от загрязнения. Заканчивая параграф о поперечном изгибе, приведем пример, иллюстрирующий последовательность расчета стержня на прочность при изгибе. П р и м е р 4.б. Подобрать размер а Т-образного поперечного сечения, показанного на рис.
4.32, для двухопорного стержня, нагруженного равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью д. Коэффициент запаса по пределу текучести должен быть не менее чем двукратный. Лано: 1 = 1 м, д = 100 Н/см, а~.р ~т.с — 350 МПа. Рис. 4.32 Определяем реакции опор и строим эпюру изгибающих моментов (см. рис. 4.32). Расчетныи изгибаюший момент равен 186 Вд! г Согласно условию прочности, ( ', откуда момент сопротивления ' 9И/я и И~я > 50,7 см . Рассматривая заданное сечение, определяем расстояние от оси х1 до 29 центра тяжести. Оно равно — а.
Момент инерции относнтелъно оси х1 16 707 равен 1е = 43а~. Переходя к централъной оси х, получаем Ь = а . 1 36 29 707 3 Момент сопротивления Юя = 1е 5а — — а = а, откуда находим 18 122 а > 50,7 — см нли а > 2,0б см.
3 122 3 707 4.4. Касательные напряжения при поперечном изгибе тонкостенных стержней При поперечном изгибе тонкостенного стержня в его сечениях преобладающими остаются нормальные напряжения, которые в основном и определяют прочность стержня. Однако здесь, в отличие от стержня сплошного сечения, существенное значение приобретают касательные напряжения и законы их распределения. Рис. 4.33 Касательные напряжения в поперечных сечениях тонкостенного стержня определяются по тому же принципу, что и для сплошного стержня. Разность нормальных сил для элементарного участка, расположенного по одну сторону от продольного разреза (рис.
4.33), уравновешивается касательными напряжениями т. В отличие от стержня сплошного сечения продольный разрез тонкостенного стержня следует производить не параллельной неитральному слою плоскостью, а плоскостью 187 А — А, нормальнои к средней линии контура (см. рис. 4.33). Такое сечение имеет наименьшую ширину, равную б, и в нем касательные напряжения, уравновешивающие разность нормальных сил, будут больше, чем в других продольных сечениях. Возвращаясь к выводу формулы Журавского, проделанному в ~ 4.3, легко обнаружить, что для тонкостенного стержня в этом выводе ничего не меняется, кроме того, что обозначение 6 заменяется на б.
В итоге имеем Я5' 1~6 В этой формуле, как и прежде, Я вЂ” поперечная сила в сечении, направленная перпендикулярно оси х, 5' — статический момент заштрихованной части сечения относительно оси х (см, рис. 4.33); У вЂ” момент инерции всего сечения относительно оси х. Касательные напряжения т предполагаются равномерно распределенными по ширине сечения б.
В поперечном сечении стержня возникают напряжения, парные т. Они направлены по касательной к линии контура (рис. 4.34). Если направление (4.13) Рис. 4.34 Я„Р; ©Я т= — +— ° 7,Б .7уБ ' где Я, и Яц — составляющие поперечной силы по главным осям х и у.
(4.14) 18В поперечной силы Я не совпадает с главной осью сечения, то, очевидно, П р и м е р 4.7. Определить закон распределения касательных напряжений в корытном профиле при поперечном изгибе в вертикальной плоскости (рис. 4.35). ЫгМ+ЮЬ) Уу+4Ь Рис. 4.35 Л 6 При размерах, показанных на рисунке, 1я = — (Л+6Ь). Для участ- 12 Л ка полки длиной я (см. рис. 4.35) имеем 5' = — бв. Таким образом, для 2 полки, согласно формуле (4.13), 6Яг Ле (Л+ бЬ) ' (4.15) и касательное напряжение оказывается пропорциональным в.
То же самое имеет место и для нижней полки. Если разрез сечения произвести на участке вертикальной стенки, статический момент части сечения, расположенной выше уровня д, будет равен я.' = — ьл+ — — ~', и тогда 6О. ЬЛ+ — — у' 7 Лзб (Л + бЬ) Здесь касательное напряжение представляет собой квадратичную функцию у. На рис.
4.35 показана эпюра распределения касательных напряжений по контуру. Знак г вдоль контура, как видим, ие меняется. Следовательно, найденное касательное напряжение сохраняет для всех точек сечения 189 Рис. 4.36 постоянное направление, т.е. либо от края 1 к краю М, либо же от края й к краю 1, в зависимости от знака поперечной силы (рис. 4.36). П р и и е р 4.8. Найти закон распределения касательных напряжений в круговом незамкнутом профиле при изгибе в плоскости, перпендикулярной осн симметрии (рис.
4.37). Рис. 4.37 з Момент инерции сечения относительно оси я равен 1к = ~гЯ б. Статический момент заштрихованной части сечения опрепеляется интегралом 5' = б В~ в1п 44ф = Я~б (1 + сову). Соответственно этому Ф г = (1 + саву), после чего может быть построена эпюра г (см. Я куб рис. 4.37). 4.5. Центр изгиба Система сил, лежащих в плоскости сечения, как известно из теоретической механики, может быть приведена к любой точке плоскости в виде равнодействующей силы и момента.
Равнодействующая сила не зависит от точки приведения и во всех случаях равна поперечной силе Я. В этом можно убедиться хотя бы на примере рассмотренного кругового незамкнутого профиля (см. рис.4.37). Здесь равнодействующая касательных сил по оси у определяется следующим интегралом: тсозуйР = — (1+ созе) соз~рйр, Я который, как легко установить, равен Я. То же самое имеет место и для рассмотренного выше примера корытного и вообще для лкзбого профиля. а д Ф Рис. 4.38 Что касается равнодействующего момента в сечении, то он зависит от положения точки приведения сил. Так, например, в том же случае кругового незамкнутого профиля момент касательных сил относительно центра круга (рис.
4.38) будет Мо — — тЯ йР = (1+ соз у) Йр = 2ЯВ, ЯВ При переходе от одной точки к другой момент изменится, очевидно, на величину Яа, где а — расстояние между этими точками. Так, если привести силы к точке А (см, рис, 4.38, в), то Существует такая точка, относительно которой момент касательных сил в сечении при поперечном изгибе равен нулю. Эта точка называется центпром изгиба.
В рассмотренном примере центр изгиба находится на расстоянии 2В от центра круга (см. рис. 4.38, г). 191 Для корытного профиля (рис. 4.39) в точке А имеем ь Ь М„= 2 — гб Ыв. 2 Согласно выражению (4.15), после интегрирования получим Зб~ Ь+ 66 Отсюда следует, что центр изгиба находится на расстоянии ЗЬ2 от средней линии стенки (см. рис. 4.39, в). Ь+ 6Ь Рис.
4.39 Для сечений, имеющих две оси симметрии, центр изгиба совпадает, очевидно, с центром тяжести. В некоторых простейших случаях положение центра изгиба может быть указано без проведения каких бы то ни было вычислений. Например, у таврового и углового профилей (рис. 4.40) центр изгиба находится в точке пересечения средних фюрер аугиУа Рис. 4.40 19г .
Момент каса к ательных сил относительно линий стенки и полки. М к а этой точки всегда рав авен нулю. сил в сечении относи- Итак, если и момент касательных сил в сече у, омент внешних сил а авен нулю, то и мом тельно центра изгиба р ен нулю, инат а изгиба должен быть равен относительно центра и ии свойственные не т возникать деформации, свой че в стержне будут нию. В дальнейшем цетолько попере у ечном изгибу, но и кручению. внутренних силовых лесообразно, очев д, р ви но п и определении вн в сечении не к центру ов и иводить касательные силы в сече и факторов привод крутящим моментом поник ент у изгиба и под крутящи о вн т еннии момент отн мать соответственно в у р т жень, показанный Так ассматривая, например, стержень, к изгиба.
Так, расс ьку линия действия сина рис. 4.41, можно ска сказать, что поскольк ба) то крутящий ит че еэ ось л' (ось центров изги а), то к лы проходит через о ю и сте жень закручиваться не момент в сечении равен нулю и стержень будет. Рис. 4.41 Рис. 4.42 Но, например, тот же самыи ст ержень защемленный од- 5 собственного веса ом и находящийся под действием со я К тя ий момент в заделке (рис. 4.42), будет закручиваться.
рутящ равен Мк=Я'2~=ф 2Я, 193 7 В. И Феодосьев Рис. 4.43 Дополнительные касательные напряжения кручения распределяются в сечении по законам для открытого профиля. При этом зм„з~Ф ттах = 2 2 8 з ~гб (см. формулу (2.28) ~ 2.5). Аналогичная картина имеет место и при изгибе тонкостенного стержня любого профиля, если только равнодействующая внешних сил не проходит в сечении через центр изгиба (рис. 4.43). 4.6. Дифференциальные уравнения равновесия стержня. Перемещения при изгибе Форму изогнутой оси стержня или, как говорят, форму упругой линии можно определить при помощи выражения (4.5).
В неподвижной системе координат уОл (рис. 4.44) (4.16) откуда м ЕЯ, (4.17) 194 И Р (1 + /2)3/2 Ограничимся рассмотрением случая малых перемещений. Тогда тангенс угла д между касательной к упругой линии и осью л (см. рис. 4.44) весьма мал. Поэтому квадратом величины у по сравнению с единицей можно пренебречь и принять 1 и ~ у ) Р Рис. 4.44 Сопоставляя выражение (4.17) с формулами (4.1), получаем очевидную цепочку дифференциальных соотношений: д = у', М = Е3ку"; Я = (Е3яу")'; ду — — (Е3 у")". (4.18) Для стержня с постоянным сечением имеем д = у; М = Е3ку"; Я = Е3ку'"; д~ —— Е3ку™.
(4.19) Соотношения (4.18) можно представить как систему из четырех линейных уравнений первого порядка й~ — — д1,(л) = О; сЬ НМ вЂ” — Я=О; Ыл сИ М Ня ЕЛЕЯ вЂ” — д=О, йс~ сЬ где и~ — отклонение точек осевой линии стержня от ее положения в недеформированном состоянии. При изгибе прямолинейных стержней и„= у, но при изгибе криволинейных стержней и~ ф у. Угол поворота сечения д = Иия/Ыл. Первые два уравнения являются частным случаем уравнений (В9) и (В11).1 (4.20) 196 Первые два уравнения (4.18) отличаются от (В9) и (В11) знаками перед ек и Я, Как правило, в сопротивлении материалов направление силы С~~, показанное на рнс.
4.9, считается положительным, тогда как в механике, использующей при выводе уравнений равновесия методы механики сплошной среды, такое направление считается отрицательным. Систему уравнений (4.20) можно представить в более компактной форме записи: о,2 — + А(к) 2 = Ь, Ыг (4.21) где 2 = Я, М, д, и,)т — вектор, характеризующий напряженно-деформированное состояние стержня; Ь = (д„,О, 0,0)т. Матрица А(я) равна 0 0 0 0 0 0 1 ЕЛк 0 -1 А(я) = Решение системы уравнений (4.20) или уравнения (4.21) 1 Эти сложные задачи статики стержнеи рассмотрены в монографии В.А. Светлицкого "Механика стержней" (- М.: Высш.
щк., 1987. Т1.). 199 содержит четыре произвольные постоянные, определяемые из граничных условий. Например, для стержня, показанного на рис.4.44 имеем: 1) ю = О, и~ — — д = О, 2) ю = 1, М = О, ~ = — р. Для стержня с переменным сечением и переменной по ~ распределенной нагрузкой д(~) определить напряженно- деформированное состояние (т.е. найти перерезывающую силу Я(к), изгибающий момент' М(к), угол д(к) и перемещение и (в)) проще всего численными методами решения систем дифференциальных уравнений ~9].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
