Феодосьев В.И. Сопротивление материалов (1075903), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Определить положение главных центральных осей и главных моментов для составного сечения (рис. 3.11). Рис. 3.11 Положение центра тяжести С для этого сечения уже было найдено выше (см. пример 3.2). Для каждой из составляющих фигур находим моменты инерции относительно произвольно взятых осей я~, у~.
Для треугольника находим А, = = 135000 мм = 13,5 см; 60 30 4 4 12 30 60 Ф Ф. .7к — — — 540000 мм = 54 см; 12 ЗОг 60 А к = — = -135000 мм = -13.5 см . 12 Для прямоугольника получаем А, = = 2160000 мм = 216 см; 60 ЗОз 4 4 12 1к, — — — — 540000 мм = 54см . 60 ЗО 4 Ф 12 Пентробежный момент инерции прямоугольника определим путем переноса осей: .7~,к, — .7~,у, + аЬГ, или .7~,к, — 0+30. 15 ЗО 60 = = 810000 мм = 81 см . 166 Для полукруга воспользуемся снова методом переноса осей.
Сначала определяем моменты инерции относительно центральных осей хг, уз. Л, = — — = = 62800 мм = 6,28 см; 1 «Р « ° 40 4 4, 2 64 128 г «40 /4 20~ « ° 20 з = ' — к=в 128 ~ 3«,~ 2 = 17560 мм = 1, 76 см; Я ,„, = О. Переходя к осям х1, у1, получаем 20г .7е, = 62800+40 = 1068000 мм = 107 см; « ° 20 .7з> — — 17560 + (30 + с) = 948000 мм = 94, 8 см; 2 « ° 20 Ае>к> — — О+ (30+ с) 40 = 967000 мм = 96, 7 см'. 2 .7~> = 336 см; .7д> — — 203 см > ,3х>у> — — 164 см .
Переходим к осям х, у, используя найденные ранее координаты центра тяжести С: / А = 336 — 2,65 ° 33,3 = 103 см; .7я — 203 — 0,997 - 33> 3 = 170 см; Лк = 164 — 0,997 2,65. 33,3 =76,3см . Согласно формуле (3.10), с82а= ' =2 28; а=33 10. 2 76,3 170 — 103 На рис.
3.11 отмечено положение главных центральных осей. Согласно формуле (3.11), находим 1П>~„= 220 см; 1ш>п = 53, 0 см . Ось и, показанная на рис. 3.11, соответствует минимальному, а ось и— максимальному значениям момента инерции. 156 Суммируя полученные значения моментов инерции для составляющих фигур, находим моменты инерции относительно осей х1, уг для всего сечения: Глава 4 ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ 4.1.
Внутренние силовые факторы, возникающие в поперечных сечениях стержня при изгибе Под изгибом понимается такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникают изгибающие моменты (см. ~ ВЗ). Если изгибающий момент в сечении является единственным силовым фактором, а поперечные и нормальная силы отсутствуют, изгиб называется чистым. Большей частью, однако, в поперечных сечениях наряду с изгибающими моментами возникают также поперечные силы. В этом случае изгиб называют поперечным.
Виды изгиба классифицируют и по другим признакам; некоторые из них будут рассмотрены в дальнейшем. Для того чтобы правильно ориентироваться в вопросах, связанных с расчетом стержня на изгиб, необходимо, прежде всего, научиться определять законы изменения внутренних силовых факторов, т.е. строить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил.
Рассмотрим некоторые характерные примеры и установим необходимые правила. 157 На рис. 4.1, а показан простейший двухопорный стержень, нагруженный силой Р. Напомним еще раз, что показанная система, как и все, которые мы рассматривали до сих пор и будем рассматривать в дальнейшем, получена как результат операций, связанных с выбором расчетной схемы (см.
~ В2). К анализу схемы двухопорного стержня сводится расчет очень многих машиностроительных конструкций, например балки мостового крана, показанной на рис. 4.2. Ра а~У Рис. 4.1 Рис. 4.2 Анализ внутренних сил начинают обычно с определения полной системы внешних сил. В данном случае необходимо определить реакции опор. Из условий равновесия находим реакции (см. рис. 4.1): Р6 3 а+Ь Ра а+6 158 На расстоянии я от левой опоры проведем сечение С (рис. 4.1, 6) и разделим стержень мысленно на две части. Лля того чтобы каждая из частей находилась в равновесии, в сечении С необходимо приложить силу Я и момент М.
Эти силовые факторы можно определить из условий равновесия одной из частей стержня. В ~ ВЗ было показано, что значение силы Я не зависит от того, рассматриваем мы условия равновесия правой или левой части стержня (рис. 4.1, е). В данном случае удобнее рассматривать левую часть. Если взять сумму моментов всех сил, действующих на левую часть стержня относительно центральной поперечной оси в сечении С, и приравнять эту сумму нулю, то получим М = Р„~. Если бы слева от сечения С действовали не одна, а несколько сил, изгибающий момент М в сечении определялся бы суммой моментов этих сил.
Таким образом, изгибающий момент в сечении можно рассматривать как сумму моментов относительно поперечной оси сечения всех сил, расположенных по одну сторону от этого сечения. В дальнейшем, для того чтобы избежать громоздких рисунков, иллюстрирующих равновесие отсеченных частей стержня, изгибающий момент будем определять именно так. Рис.
4.3 Знак изгибающего момента устанавливают по знаку кривизны изогнутого стержня (рис. 4.3) в зависимости от выбранного направления осей внешней неподвижной системы координат зОу. Если ось у (см. рис. 4.3) направить в обратную сторону, то знак кривизны, а следовательно и момента, изменится на обратный. Этим правилом знаков пользуются при определении перемещений стержня и формы изогнутой оси.
169 11ри построении эпюр изгибающих моментов используют другое правило знаков (правило относительных знаков), при котором знак момента не зависит от направления внешних осей. Эпюру моментов строят на оси стержня и ординату момента откладывают в сторону вогнутости упругой линии, т.е. эпюру моментов строят, как говорят, на сжатом волокне. Этому правилу можно дать и другое толкование. Если сумма моментов сил, действующих на левую часть стержня, дает равнодействующий момент, направленный по часовой стрелке, то ординату изгибающего момента в сечении откладывают вверх.
Если же равнодействующий внешний момент слева от сечения направлен против часовой стрелки, то ординату изгибающего момента откладывают вниз. Лля сил, лежащих справа от сечения, имеет место обратная зависимость: в случае равнодействующего момента, направленного по часовой стрелке, ординату изгибающего момента откладывают вниз, а в случае равнодействующего момента, направленного против часовой стрелки, — вверх. Сказанное иллюстрирует схема, представленная на рис. 4.4.
0~йиапа-ТНрх г ю с ) 5у3инат-5наг Рис. 4.4 Возвращаясь к рассматриваемому примеру двухопорного стержня замечаем, что момент силы Р~, расположенной слева от сечения С, направлен по часовой стрелке. Следовательно, в сечении С ординату изгибающего момента нужно откладывать вверх. В пределах изменения л от О до а изгибающий момент РЬ а+Ь Рассмотрим теперь правый участок, где я изменяется от а до а+ Ь (см. рис. 4.1). Изгибающий момент в сечении С' удобнее рассматривать как сумму моментов внешних сил, лежащих справа от сечения. Очевидно, Ра М = Рв(а+ Ь вЂ” л) = (а+ Ь вЂ” я).
а+Ь Ординату момента следует откладывать вверх, так как момент внешней силы, лежащей справа от сечения С, направлен против часовой стрелки. В соответствии с полученными выражениями для изгибающих моментов может быть построена эпюра, показанная на рис. 4.5. Эпюра является кусочно-линейной и на всей длине стержня расположена сверху. Это значит, что ось изогнутой балки, называемая упругой линией, всюду направлена вогнутой стороной вверх, что в данном случае достаточно очевидно. Рис. 4.5 Определим поперечные силы Я. Из условия равновесия левой или правой части разрезанного в точке С (О ( л ( а) стержня (рис.4.1) следует, что Во всех случаях поперечная сила для прямого стержня равна сумме проекций на плоскость сечения всех внешних сил, лежащих по одну сторону от сечения.
Отсюда можно установить правило знаков для поперечной силы. Если сумма внешних сил, лежащих по левую сторону от сечения, дает равнодействующую, направленную вверх, то поперечная сила в сечении считается положительной, а если вниз — отрицательной. Лля сил, расположенных справа от сечения, наоборот, если равнодействующая внешних сил направлена вверх, то поперечная 6 В. И. Феодосьев сила в сечении считается отрицательной, а если вниз — положительной. Это правило иллюстрирует схема, показанная на рис.
4.6. Рис. 4.в В рассматриваемом случае двухопорной балки сила РА, лежащая слева от сечения С, направлена вверх. Следовательно, РЬ Я РА а+Ь Лля правого участка балки (а ( л ( а + Ь) сила РВ, расположенная справа от сечения С, направлена вверх. Следова- / тельно, на этом участке поперечная сила отрицательна: Ра Я = — РВ = а+Ь Эпюра поперечных сил в рассматриваемом двухопорном стержне изобразится двумя прямоугольниками (см. рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
