Феодосьев В.И. Сопротивление материалов (1075903), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Согласно формуле (2.11), соответственно этим участкам получаем ЯИ~2! (Щ, — ЯИ) С (ЯȄ— ЯИ) С (ЯИ,~ — 5ЯИ) 2! С1р С1р С1р 01р 120 где 0.1р — жесткость на участке с диаметром Ю, а СЗ,' — жесткость иа участке с диаметром 2Й. Очевидно, 01' = 1б01~. Учитывая это соотношение, находим 9 Ж~ — — — ЯИ.
17 ЯИм я~ 991Ьь Саар 170 Ур Эта зависимость изображается прямой, показанной на эпюре у (рис. 2.22, д). При г~/21 имеем 18ЮП 17С7~ На втором участке к этому углу прибавляем (и — ж) где яэ отсчитываем от левого края второго участка. Так по участкам строим эпюру, показанную на рис. 2.22, д. П р и м е р 2,3. Имеется система, показанная на рис. 2.23.
Рычаги АВ и С — абсолютно жесткие. Между ними образован зазор Ь. Найти вертикальное перемещение точки приложения силы Р, если жесткости валов 1 и 11 на кручение одинаковы и равны СУр. При малой силе Р зазор Ь не перекрывается, и работает только вал 11. Искомое перемещение равно, очевидно, 6 = ~ра, илн, согласно формуле (2.11), Ра 1 0.7р (2.21) После того как зазор закроется, система становится статически неопределимой. Пусть М~ и Мп — крутящие моменты, возникающие в валах 121 Теперь легко построить эпюру крутящих моментов (рис. 2.22, а), а по формуле (2.14) определить гп,~, во всех сечениях вала (рис.
2.22, г). Прн рассмотрении построенной эпюры напряжений следует учитывать, что в зонах приложения внешних моментов имеет место отклонение действительного закона распределения напряжений в сечении от полученного линейного. Однако, согласно принципу Сен-Венана, эти отклонения носят местный характер н практически не распространяются по оси за пределы расстояний порядка диаметра сечения. Находим углы поворота сечений. На первом участке угол поворота сечения, расположенного на расстоянии я~ от заделки, Рис. 2.24 Рис. 2.23 1 и 11. Из условий равновесия М~ + Мп — — Ра.
Уравнение перемещений будет следующим: а<рп — а<р~ — — Ь, или, согласно формуле (2.11), 6 м — м = — аз~. 1а Исключая М~, находим Ра 6 м„= — = — а.~,. 2 21а Искомое перемещение Мп! Р!а~ 6 6 = — а = — + —. С1р 2С.1~ 2 (2.22) Выражение (2.21) применимо до значений 6, не превышающих Ь, т.е. при Р < —.
абаз, 21 122 Если сила превышает эту величину, перемещение следует определять по формуле (2.22). На рис. 2.24 показана зависимость перемещения 5 от силы Р. 2.3. Кручение стержня с некруглым поперечным сечением Определение напряжении в стержн ру не с нек глым попереч- т собой довольно сложную задачу, ным сечением представляет с т быть решена методами сопротивления макоторая не может ыт р о ля некруглого П ичина заключается в том, что для нек„ териалов. рич лоских сечений, о ающая гипотеза неизменности п сечения упрощаю ". С ния заметно введенная ранее, оказывает р ся неп иемлемои.
ече в езультате чего существенно меняется картиискривляются, в р яжений. па рис.. в яж . Н р . 2.25 качестве нар с а пределения по ним напряж . и р ф ня п ямо гольнопримера показана ф форма закрученного стержня р у ельно была чения. Ка поверхность предварительно го поперечного сечения. а п я ефо мирова- п ямоугольная сетка, которая дечорм р нанесена мелкая прям и металла.
Поперечлась вместе с поверхностными частицами металла. скривлены, следовательно, уду ск, б т ные линии сетки заметно иск искривлены и поперечные сечения. Рис. 2.25 Таким образом, при определении у и глов сдвига необходимо о о от сечений, но также и читывать не только взаимныи пов р учит " с их искривлением. Задача, кроместный перекос, связанныи с их ме того, резк ко усложняется тем, что д ля некруглого сечения и же не одного не- напряжения будут определяться в функции уже не д зависимого переменного (р), а двух (х и у . Выскажем общие соо, а бражения относительно законов расп еделения напряжений в й в поперечных сечениях некруглои фор- е о м лы, полученные методами мы, а затем приведем готовые форму которых, наиболее часто встречиотеории упругостИ ДЛЯ НЕ шихся форм поперечных сечений.
Прежде всего можно довольно пр у становить, ито касательные напряжения в попер ечных сечениях для точек, рас- а нап авлены по касательнои к дуположенных вблизи контура, на р точке ~ ис. то А (р . 2.26) а. Лействительно, положим, что в то ге контура. ейст т а нап авлено под не- касательное т а нап ное напряжение т вблизи контура напр Разложим это напряжение на д ве которым углом к контуру. аэ составляющ тавляющие — по касательной к контуру т1 и по нормали т„.
Рис. 2.26 Рис. 2.27 По условию п парности на свободной поверхности стерж- ть касательное напряжение т„= т„. о ня должно возникнут внешняя поверхность свобод на от наг зки и к неи ника ру к оме аэве что, сил атмосферно- внешних сил не приложено, кро, р т =Он б аэом т' = О. Следовательно, т„=, и го давления. Таким о разо касательное напр напряжение т вблизи контура направлено по касательной к контуру. С аналогично можно покаэат, тъ что в случае, овершенно поперечное сечение имеет внеш у ние глы, то в них каесли попер ч ся в н ль.
Раскладывая насательные напряжения обращаются в нуль. ас ( с. 2.27) на две составляющие по и яжение т вблизи угла ~рис. пр пол чаем напряжения т1 и т2. Так нормалям к сторонам угла, получае б как парные им напряжения т1 и т2 рави у ы н лю то в нуль о ра- т . Значит, вблизи внешнего угла щаются и напряжения т1 и ту,. н касательные напряжен жения в поперечном сечении отсутствуют.
124 Рис. 2.28 Мк гл = 'ги~ы~с— ааЬ ~2.23) В точках В (2.24) тв — — Цтп~~„, где а — большая, а 6 — малая сторона прямоугольника. Коэффициенты а и и зависят от отношения сторон а/6 (табл. 2.1). Коэффициент Д также является функцией отношения а/6 (см. табл. 2.1). Таблица 2.1. Значения коэффициентов а, Д и в 12б На рис, 2.28 показана полученная методами теории упругости эпюра касательных напряжений для бруса прямоугольного сечения. В углах, как видим, напряжения равны нулю, а наибольшие напряжения возникают по серединам больших сторон в точках А: Угловое перемещение ЯИ! адьза (2.25) Для эллиптического сечения (рис.2.29) наибольшие напряжения возникают в точках А по концам малой оси: 2М„ тА — — Трах — 2 ' яаЬ2' в точках В 2М тЬа2 где а и Ь вЂ” полуоси эллипса.
Рис. 2.29 Угловое перемещение для стержня эллиптического сечения имеет следующее выражение: 'гп1ах = 20Мк/а з Угловое перемещение в этом случае 9Я! 3 а4 80 12В 9Я! зз зга Ь а2+Ь2 Для сечения, имеющего форму равностороннего треугольника со сторонами а, наибольшие напряжения возникают по серединам сторон и равны Обобщая все эти формулы, можно отметить, что при кру- чении М, трах = 9И! ~= а~.' (2.26) (2.27) а также М„И» 20.7я О (2.29) Здесь И1„и .7я — геометрические параметры, зависящие от формы сечения. (табл. 2.2). Зля круглого сечения И~„н .7„совпадают соответственно с И~~ и 1~, т.е. с полярным моментом сопротивления и полярным моментом инерции.
Таблица 2.2. Выражения для вычисления геометрических параметров И', и 1, 127 м, = ау„в. (2.28) Потенциальная энергия, накопленная закрученным брусом, согласно формуле (2.20), равна Сечение каз Ьз каЬ 2 а2+ Ь2 з 20 1 з — б в 3 2 -б в 3 3х о х 1 з — б в 3 2 — б в 3 2Г был Й 8 х о Н Окомчакие табл.
й.й ~Гз, 80 2.4. Краткие сведения о пленочной (мембранной) аналогии В результате того, что аналитическое решение задачи о кручении стержня с некруглым поперечным сечением является достаточно сложным, возникла необходимость создания косвенных методов исследования этого вопроса. Среди таких методов первое место занимает метиод аналогий. В задачах механики часто встречаются случаи, когда решения совершенно различных по физической сущности задач сводятся к одним и тем же дифференциальным уравнениям.
Тогда между задачами может быть установлена аналогия. Можно, не решая уравнения, сказать, например, что между переменными х1, и у1 из одной задачи существует та же зависимость, что и между переменными хг и уг из другой задачи. Тогда говорят, что переменная х2 является аналогом переменной х1, а р2 — аналогом переменной р1. Часто бывает так, что в первой задаче, не решая уравнений, трудно представить себе связь между переменными х1 и у1, а физическое содержание второй задачи допускает простое и наглядное толкование зависимости х2 от у2. В таком случае установленная аналогия дает возможность наглядно представить себе закономерности, существующие в первой задаче. Так, в частности, обстоит дело с задачей о кручении.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
