Феодосьев В.И. Сопротивление материалов (1075903), страница 16
Текст из файла (страница 16)
2.11. Правое торцевое сечение кольца поворачивается при кручении относительно левого на угол Иу. Образующая цилиндра АВ поворачивается при этом на угол 7 и занимает положение АВ'. Отрезок ВВ' равен, с одной стороны, рйр, а с другой— 7~Ь. Следовательно, йр 7 = Р,~ — =д, йр И~ (2.4) и называют относитпелькым углом закручивания. Это — угол взаимного поворота двух сечений, отнесенный к расстоянию между ними. Величина д аналогична относительному удлине- нию при растяжении Ы/1.
Вводя обозначение д, получаем По закону Гука для сдвига (2.5) т = Сдр, где т — касательные напряжения, возникающие в поперечном сечении бруса. Парные им напряжения образуются в продольных плоскостях — в осевых сечениях (см. рис. 2.11). 111 Угол 7 представляет собой не что иное, как угол сдвига цилин- дрической поверхности. Величину ЙР/Нл обозначают обычно через д: Рис. 2.12 (2.6) Таким образом, получаем М„= С.)рд, или Мк И = —. дар Произведение С/р называют жесткостью стпержни при кручении. Если стержень имеет переменное сечение, то 3р зависит от г.
Через относительный угол закручивания д легко определить и взаимный угол поворота сечений у. Согласно выражениям (2.4) и (2.7), ьр дл Ж~ (2.8) 112 Элементарные силы гНГ (рис.2.12) можно привести к крутящему моменту М„= трИГ. Выполним интегрирова- Р ние для всей площади поперечного сечения Г. Подставив в подынтегральную функцию напряжение т иэ выражения (2.5), получим М„= 06 р ЫГ.
Интеграл р НГ представляет сог г бой чисто геометрическую характеристику, измеряется в см и носит название полярного моментпа инерЧии сечению Уравнение (2.8) и первое уравнение системы (В11) при ~и;Е О дают систему двух уравнений равновесия прямолинейного стержня переменного сечения при кручении (р, = М„): ~!Мк Нх "+р,=о; — — — = О. Н~ СГр (2.9) М„Нг о Р (2.10) где 1 — расстояние между сечениями, для которых определяют взаимный угол поворота у.
Если крутящий момент по длине стержня не изменяется, М„= 9И, а жесткость остается постоянной, то 9И! 'Р= а~, (2.11) Вернемся теперь к выражению (2.5). Исключив из него д, получим т = —. М„р (2.12) Зр Таким образом, касательные напряжения в поперечном сечении распределены вдоль радиуса по линейному закону и имеют наибольшее значение в точках, наиболее удаленных от оси (рнс. 2.13), При этом МкРтах 'Гтах— .1Р Величина р Ртах (2.13) 113 Система уравнений (2.9) позволяет определить внутренний крутящий момент М„и угол поворота сечения ~р для любых ,и~ и 9Л, в зависимости от координаты г, например для случая г показанного на рис.
2.10. Из уравнения. (2.8) получаем Рис. 2.14 Рис. 2.13 называется полярным моментом сопротивления и измеряется в см . Окончательно имеем .М 'гп~~х = у Р (2.14) Формулы (2.11) и (2.14) являются основными расчетными формулами для кручения стержня с круговым поперечным сечением. Они справедливы как для сплошного, так и для полого кругового сечения. Определим теперь геометрические характеристики сечения,)Р и И' . Лля этого подставим в выражение (2.6) вместо ИР площадь пояска 2~рдр (см. рис. 2.12). Если стержень имеет сплошное круговое сечение, то Р(2 .1Р— — 2й Р~НР, где  — диаметр сечения, или (2.15) 114 р4 1 32 Если же в стержне имеется внутренняя центральная полость диаметром Ы (рис.
2.14), то (2.16) 32 Р~ Соответственно этим выражениям определяем полярный момент сопротивления И~~ (см. формулу (2.13)). Для сплошного сечения Рз И1 = ~02Р 16 для кольцевого сечения (полый вал) (2.18) Таким образом, из выражений (2.11) и (2.15) видно, что при заданном крутящем моменте угловые перемещения вала обратно пропорциональны четвертой степени диаметра. Что же касается наибольшего напряжения, то оно, согласно выражениям (2.14) и ~2.17), обратно пропорционально кубу диаметра Р.
Касательные напряжения в поперечных сечениях стержня направлены в каждой точке перпендикулярно текущему радиусу р. Иэ условия парности следует, что точно такие же напряжения возникают и в продольных сечениях (рис.2.15). Наличие этих напряжений проявляется, например, при испытании на кручение деревянных образцов. Рис.
2.15 Дерево, как известно, обладает ярко выраженной анизотропией упругих и прочностных свойств. Древесина имеет сравнительно низкую прочность на скалывание вдоль волокон. 115 Поэтому разрушение деревянного образца при кручении начинается с образования продольных трещин (рис. 2.16). Если двумя парами осевых и поперечных сечений выделить из закрученного стержня элемент АВСР, показанный на рис. 2.17, то на его гранях будут обнаружены только касательные напряжения. Следовательно, во всех точках стержня при кручении возникает состояние чистого сдвига, как и при кручении трубки. Здесь, однако, чистый сдвиг не будет однородным, поскольку значение т изменяется по радиусу поперечного сечения.
Из предыдущего параграфа мы уже знаем, что если изменить ориентацию сечений, повернув их в плоскости сдвига на 45', то в новых площадках обнаруживаются только нормальные напряжения, имеющие одинаковое с т значение. При этом одно из них является растягивающим, а второе — сжимающим. Рис. 2Л7 Согласно сказанному, на гранях элемента А1В1С1 Р1, выделенного из стержня при помощи винтовых сечений, проведенных под углом 45О к образующим, возникают нормальные напряжения, показанные на рис 2.17.
Наглядной иллюстрацией этого может служить характер разрушения хрупких образцов при кручении. Хрупкие материалы разрушаются обычно по поверхности наибольших растягивающих напряжений. Если подвергнуть испытанию на кручение образец из хрупкого материала, например чугуна, то разрушение произойдет по сложной винтовой поверхности, соответствующей максимальным растягивающим напряжениям (рис.
2.18). ис. 2.18 Наличие растягивающих и сжимающих напряжений в наклонных площадках при кручении можно наглядно проиллюстрировать и другим способом. На поверхности цилиндра, изготовленного из пластичного материала ~рис. 2.19), краской было предварительно нанесено множество мелких кружочков. При закручивании бруса кружки превратились в эллипсы с главными осями, направленными под углом 45О к образующим. По направлению больших осей эллипса произошло удлинение, а вдоль малых осей — сжатие. Рис. 3,19 117 Потенциальную энергию деформации, накопленной стержнем при кручении, можно определить аналогично тому, как это делали в случае растяжения.
Рассмотрим участок закрученного стержня длиной Ия (рис. 2.20). Энергия, накопленная в этом элементе, равна работе моментов М~, приложенных по торцам: ЫУ = — М~~6р, 1 2 М„Ыя 2С.7 (2.19) Потенциальную энергию во всем стержне определяем интегрированием выражения (2.19) по длине: г у Мк~Ь о (2.20) Если момент М„по длине не меняется и жесткость постоянна, то М„=9Л и „,1 г~ У = —. 20.1~ Рассмотрим некоторые примеры. 118 где Ы~р — взаимный угол поворота сечений.
Двойка, стоящая в знаменателе, опять же является следствием того, что момент М„меняется пропорционально ~Бр. В полученное выражение подставляем йр согласно формуле (2.8). Тогда П р н м е р 2.1. Вал передает момент ЯИ = 10000 Н м. Требуется подобрать размеры поперечного сечения вала для двух случаев: а) для сплошного кругового сечения; б) для кругового сечения с отверстием (Ы = 7Р/8). Сравнить оба сечения по расходу металла. Допускаемое напряжение (г] = 60 МПа. Согласно формуле (2.14), для обоих сечений И~р — — М,/[г] = 167 см, Для сплошного сечения, согласно выражению (2.17), Р = 16Т/0,2 = 835 см; Р = 9,41 см.
Для полого сечения из выражения (2.18) получаем Р = = 2014 см; Р = 126см. 16Т з. о,г(1 — 7 /8 ) Расход металла пропорционален площади поперечного сечения. В первом случае Г = хР /4 = 69,6 см, во втором— хР~ Г= 1 — — = 29,2см . 4 Рз Таким образом, полое сечение является более экономичным и в рассматриваемом случае (прн Н/Р = 7/8) дает более чем двукратное снижение расхода металла. Рис. 2.21 То, что полый вал является более выгодным, чем вал сплошного сечения, ясно из рассмотрения эпюры напряжений в сечении вала (рис.
2.21). В центральной части сплошного сечения материал напряжен сравнительно мало н его использование далеко не полно. Для сечения с отверстием напряжения распределены более равномерно (см. рис. 2.21) и степень использования материала повышается. 119 П р и м е р 2.2. Построить эпюры крутяших моментов, напряжений и углов поворота для вала, показанного на рис. 2.22, а.
Хдя Ф ,~, Ф дп Фзи [~ф и~д~ и ~~~ и олз ~йдай д Рис. 2.22 Система является один раз статически неопределимой. Поэтому сначала раскрываем статическую неопределимость. Лля этого отбрасываем левую заделку и ее действие на вал заменяем моментом 9И,» (рис, 2.22, 6). Этот момент определяется из условия, что поворот левого торцевого сечения относительно правого равен нулю. Угол поворота сечения А может быть выражен как алгебраическая сумма взаимных углов поворота торцевых сечений на участках АВ, ВС, С.О и 0Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
