Феодосьев В.И. Сопротивление материалов (1075903), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Площадь составной фигуры равна Е = — 60.30+30 60+ = 3330мм . 1 ~г 20 2 2 Искомые координаты центра тяжести в системе осей х1, у1 имеют следующие значения: хс — — 5у, /Р = 33200/3330 = 9, 97 мм; Ус — — Бх, /Г = 88100/3330 = 26, 5 мм. 3.2. Моменты инерции сечения В дополнение к статическим моментам рассмотрим еще три следующих интеграла: 146 ~2 У2 ~ »2 2 г хгЫГ) 1*ия— х2У2~~ Подставляя сюда хг — — х1 — а и уг = у1 — 6, находим .7,~ = (у1 — 6) НГ; .7У вЂ” — (х1 — а) ЫГ; г г (х1 — а)(у1 — 6) НГ. *2»2 Раскрывая скобки, имеем, согласно обозначениям (3,1) и (3.5), г~, = Я~, — 26Я„+ бган; (3.6) 3~~», —— 3~,», — аЯ~, — 6Я», + а6Е Если оси х1 и у1 — центральные, то 5~, = 5», — — О, и полученные выражения упрощаются: .1, =,7~, +Ь Г; .1У вЂ”вЂ” ,7У, +а Р; .1~ У, — .7~,», +або.
(3.7) 147 где по-прежнему через х и у обозначены текущие координаты элементарной площадки ЫГ в произвольно взятой системе координат хОу (см. рис. 3.1). Первые два интеграла называются осевыми моментпами инерции сечения относительно осей х и у соответственно. Третий интеграл называется центлробежным моментом инерции сечения относительно осей х, у.
Измеряют моменты инерции в см или мм . Осевые моменты инерции всегда положительны, поскольку положительной считается площадь ИГ. Центробежный момент инерции может быть как положительным, так и отрицательным, в зависимости от расположения сечения относительно осей х, у.
Выведем формулы преобразования моментов инерции при параллельном переносе осей. Зля этого снова обратимся к рис. 3.2. Будем считать, что нам заданы моменты инерции и статические моменты относительно осей х1, у1. Требуется определить моменты инерции относительно осей хг, уг,. Следовательно, при параллельном переносе осей (если одна из осей — центральная) осевые моменты инерции изменяются на величину, равную произведению площади сечения на квадрат расстояния между осями. Иэ первых двух формул (3.7) следует, что в семействе параллельных осей минимальный момент инерции получается относительно центральной оси (а = О или 6 = 0). Поэтому легко запомнить, что при переходе от центральных осей к не- центральным осевые моменты инерции увеличиваются, и величины а Г и Ь Г следует к моментам инерции прибавлять, а при переходе от нецентральных осей к центральным — вычитать.
Рис. 3.5 При определении центробежного момента инерции по последней иэ формул (3.7) следует учитывать знак величин а и Ь. Можно, однако, и сразу установить, как изменяется значение У,„ при параллельном переносе осей. Для этого следует иметь в виду, что сечения, находящиеся в 1 и 111 квадрантах системы координат х1Су1 (рис. 3.5), имеют положительные, а сечения, находящиеся в 11 и 1Ч квадрантах, — отрицательные значения центробежного момента. Поэтому при переносе осей проще всего устанавливать знак слагаемого аЬГ в соответствии с тем, какие из четырех площадей увеличиваются, а какие — уменьшаются. Например, если от центральных осей х1, у1 (см. рис. 3.5) следует перейти к осям х2, уг, то видно, что в результате такого переноса резко возрастает площадь 1Ч квадранта, следовательно, момент инерции уменьшается, и произведение а6Г из момента 1х,~, следует вычесть.
148 Приведем примеры определения моментов инерции простейших сечений относительно характерных осей. П р и м е р 3.3. Нанти момент инерции прямоугольника с основанием Ь н высотой Л относительно основания и относительно центральной осн, параллельной основанию (рис, З.б), Рис. З.В Момент инерции относительно оси я1 равен л 1~, — — у1 ЫГ = у1Ыу1, нлн ЬЛЗ А~ 3 г о Воспользовавшись формулой переноса (3.7), найдем момент инерции относительно центральной оси: Л ЬЛз 1 = 1 — — Г или 4= —.
й й1 2 ! 12 л Ь 2 ЬЛ Юя, —— — (Л вЂ” у1) у1Ыу1, откуда,7я, = —. Л о 149 П р н м е р 3.4. Найти момент инерции рассмотренного ранее треугольника (см. рис. 3.3) относительно основания и относительно центральной оси, параллельной основанию. Чтобы ие повторять выкладок, вернемся к выражению (3.4) для статического момента треугольника н заменим величину у1, стоящую под знаком интеграла, на у1. Тогда Используя формулу переноса (3.7), запишем момент инерции относительно центральной оси х (см.
рис. 3.3): Л ЬЛз 1х=Зх, — — Г, или Ь= —. 3 36 П р и м е р 3.5. Определить центробежный момент инерции прямоугольного треугольника относительно осей, совпадающих с его катетами (рис. 3.7). Рис. 3.7 Выделим элемент площади Ых14у1 и, полагая величину у1 неизменной, наидем центробежный момент полоски АВ: Но Ь с = — (Л вЂ” у1), Л поэтому Ь З., „, (АВ) = —, (Л вЂ” у, )'у, ау,. Проинтегрируем это выражение по у1 от нуля до Л: 160 Ьз — (Л вЂ” «1) у~~у Ь Л~ нлн Ь я 24 Переидем к центральной системе координат кСу (см. рис. 3.7), При переходе к зтим осам увелнчиваютск плошади во 11 н 1У квадрантах, дающие отрицательные значении центробежного момента. Следовательно, согласно формуле переноса (3.7), момент 1е,у, уменьшнтьса на произведение аЬГ: Л Ь 6~Л~ .7еу — — Уе у — — — Р, или,1~у 3 3 72 Центробежный момент ннерции относительно осей и, у оказалск, как видим, отрицательным, З.З.
Главные оси и главные моменты инерции Посмотрим, как изменяются моменты инерции при повороте осей координат. Положим, даны моменты инерции некоторого сечения относительно осек т, у (не обязательно центральных). Требуется определить 1„, .1е к 1„е — моменты инерции относительно осей и, о, повернутых относительно первой системы на угол а (ркс. 3.8). Рис. 3.8 Так как проекция ломанок линии ОАВС равна проекции замыкающей, находим: и = у81па+ хсоба; о = у сова — х 81п а. Исключим и и и в выражениях моментов инерции: 2у. 151 Тогда 1„= (усова — хв1па) ИГ; г ,У„= (уыпа+ юсова) ЙГ; Зиад = (д сов а — х 61п а)(у ып а + х сов а)ЙР, откуда .1„= 1~ сов~ а — 1 „ып 2а + /„в1п а; 1~ = .1~ ы'и а+.7~~ ып2а+.1, сов а; ° г г 1~ — 1д 7ц„— — 3~~ сов 2а+ " ып2а. 2 (3.8) Рассмотрим два первых уравнения (3.8).
Складывая их почленно, получим + ~ + ~ („г + г),~ Таким образом, сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей не зависит от угла а и при повороте осей остается постоянной. Заметим при этом, что где р — расстояние от начала координат до элементарной пло- щадки (см. рис. 3.8). Таким образом, (3.9) где 1~ — уже знакомый нам полярный момент инерции: х, у. 152 г значение которого, естественно, не зависит от поворота осей При помощи выражения (3.9), в частности, легко определить осевой момент инерции круга относительно диаметра.
Так как в силу симметрии .~~ = .7у, получаем .7~ = .7у — — Лр(2, но, как известно, 1„ = яР4/32, следовательно, для круга р4 1 =Уу —— б4 С изменением угла поворота осей а значения моментов У„ и 1„меняются, но их сумма остается неизменной. Следовательно, существует такое а, при котором один из моментов инерции достигает своего максимального значения, в то время как другой момент инерции принимает минимальное значение. Дифференцируя второе выражение (3.8) по а и приравнивая производную нулю, находим 2.1~у 1~2а = у — т При этом угле а один из осевых моментов будет наибольшим, а другой — наименьшим.
Одновременно центробежный момент инерции /„„обращается в нуль, что можно легко установить из третьей формулы (3.8). Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, а осевые моменты принимают экстремальные значения, называются главными осями. Если они к тому же являются центральными, то тогда они называются главными центральными осями. Осевые моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции. Определим их.
Для этого первые две формулы (3.8) перепишем в виде .Г, + 1у 1у — 1, 2 2 соя 2а — 1~у нп 2а; ~к+ ~у ~у ~х 2 + соя 2а + У~у е1п 2а. 2 Учитывая, что соз2а = 1д2а и ип2а = исключаем при помощи выражения (3.10) угол а. Тогда (3.11) Верхний знак соответствует максимальному моменту инерции, а нижний — минимальному.
После того как сечение вычерчено в масштабе и на чертеже показано положение главных осей, нетрудно глазомерной оценкой установить, которой из двух осей соответствует максимальный, а которой — минимальный момент инерции. Если сечение имеет ось симметрии, то эта ось, очевидно, всегда будет главной (рис. 3.9). Центробежный момент инерции сечений, расположенных по одну сторону от оси, равен моменту сечений, расположенных по другую сторону оси, но противоположен ему по знаку.
Следовательно,.7ху = О и оси л и у являются главными. Рис. 3.9 Рис. 3.10 Рассмотрим примеры определения главных осей и главных моментов инерции. П р и и е р 3.6. Определить положение главных центральных осей к главных моментов для прямоугольного треугольника, показанного на рис. 3.10. Для центральных осей> параллельных катетам, имеем 1х = ЬЛ /36, 1я — ЛЬ /36, .7хк — — Ь Л /72. Согласно формуле (3.10)> находим й62а = ЬЛ Если Л = Ь, то а = 45', и главная ось совпадает с осью Л2 Ь2' 154 симметрии равнобедренного треугольника. Из формулы (3.11) следует, .Таи = — ~Ь + Л 1 Ь вЂ” Ь Ля+ Л~ ЬЛ/з з, г 72 ~ П р и м е р 3.7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
