Феодосьев В.И. Сопротивление материалов (1075903), страница 22
Текст из файла (страница 22)
4.5). Рассмотрим еще несколько примеров построения эпюр изгибающих моментов и поперечных сил. Лвухопорный стержень длиной ! нагружен равномерно распределенными силами собственного веса стержня. Определим реакции опор. Очевидно, д! РА РВ 2 На рис. 4.7 эти силы показаны условно на основном рисунке. Строго говоря, их следовало бы изобразить на отдельном рисунке стержня с отброшенными внешними связями, поскольку эти силы заменяют действие связей. В предыдущем примере (см. рис.
4.1) именно так и было сделано. Однако обычно 1В2 Рис. 4.Т для упрощения прибегают к условному изображению реакций, как это и показано в рассматриваемом примере. Сумма моментов внешних сил, лежащих по одну сторону от сечения, например по левую, равна г м = РАЗ вЂ” ЧЗ вЂ”, 2' где Р~~ — момент силы Рд — направлен по часовой стрелке (знак "+"); Чл — сила собственного веса на длине л.
Ее рав- нодействующая проходит через середину отрезка л. Следова- тельно, плечо силы равно л/2, а момент этой силы, располо- женной слева от сечения С, направлен против часовой стрелки (знак "— "). Таким образом, ЧЮ ЧЯ2 М = — л — —. 2 2 Эпюра изгибающего момента изображается параболой, показанной на рис. 4.7. Наибольшее значение изгибающий момент имеет в среднем сечении пролета при л = 1/2: =р Мпах— 8 Поперечная сила в сечении С равна сумме сил, лежащих по одну сторону от сечения: Ч1 Я = Є— Чл = — — Ч~. 2 Эпюра поперечной силы изображается прямой. На рис.
4.8 показано построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил на примере стержня, защемленного одним концом. Такого рода стержни называются консолями. В данном случае с правой стороны на стержень не наложены связи, и изгибающие моменты и поперечные силы в любом сечении могут быть найдены без предварительного определения реакций. Рис. 4.8 В среднем сечении консоли через крестовину передается момент пары сил. В результате на эпюре изгибающих моментов возникает скачок.
При переходе через сечение С сумма моментов сил, расположенных по правую или левую сторону от сечения, изменяется на величину 9Л. Рассматривая все построенные выше эпюры, нетрудно установить определенную закономерную связь между зпюрами изгибающих моментов и эпюрами поперечных сил. Судя по виду эпюр, поперечная сила Я представляет собой производную от изгибающего момента М по координате л, направленной по длине стержня. Локажем, что эта закономерность действительно имеет место. Пусть стержень закреплен произвольным образом и нагружен распределенной нагрузкой О = Да). Принятое направление для О будем считать положительным (рис. 4.9).
Выделим иэ стержня элемент длиной Ыл и в проведенных сечениях приложим моменты М и М + ЫМ, а также поперечные силы Я и Я + НЯ. Направления для этих силовых фак- торов приняты положительными в соответствии с обусловленным выше правилом знаков. В пределах малого отрезка Н» нагрузку д можно считать равномерно распределенной. Приравниваем нулю сумму проекций всех сил на вертикальную ось и сумму моментов относительно поперечной оси С (см. рис. 4.9): Я+цЫ» — Я вЂ” ЫЯ = О; И» М + ч ~Ь + д ~Ь вЂ” — М вЂ” ЫМ = О. 2 После упрощения и отбрасывания величины высшего порядка малости, получим (4.
1) Уравнения равновесия (4.1) можно получить из уравнений (В8) и (311), если принять: Я~ = ©~ = О, Я~ — — Я, д~ — — — д, М~ = М~ — — О, р~ = ~и~ — — р~ = О, М~ = М. Кроме того, так как рассматриваемый стержень прямолинейный, то Ы8 = Ы».
Из соотношений (4.1) можно сделать некоторые общие выводы о характере зпюр изгибающих моментов и поперечных сил для прямого стержня. Если стержень нагружен только равномерно распределенной нагрузкой О = сопя(, очевидно, функция Я будет линеиной, а М вЂ” квадратичной. Это можно было наблюдать на примере эпюр, показанных на рис.
4.7. 165 Если стержень нагружен только сосредоточенными силами или моментами, то в промежутках между точками их приложения д = О. Следовательно, Я = сопят, а М является линейной функцией л. В точках приложения сосредоточенных сил эпюра Я претерпевает скачок на величину внешней силы, а в эпюре М возникает соответствующий излом (разрыв производной). 4.2. Напряжения при чистом изгибе Рассмотрим наиболее простой случай изгиба, а именно, чистый изгиб. Под чистым изгибом, как уже указывалось, понимается такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникают только изгибающие моменты, а Я = О. Для тех участков стержня, где соблюдается это условие, изгибающий момент, согласно второму выражению (4.1), остается постоянным (М = сопй).
Условия чистого изгиба могут возникать при различных внешних нагрузках. Некоторые характерные примеры показаны на рис. 4.10. Увсеыа нгцб Рис. 4.10 166 Отвлекаясь от особенностей приложения внешних сил и условий закрепления стержня в целом, рассмотрим только тот его участок, где М = сопят и Я = О. На границах этого участка действуют только моменты 0Л (см. рис. 4.10, а).
Под действием моментов М стержень изогнется. Так как в любом сечении возникает один и тот же изгибающий момент, то в случае однородного стержня изменение кривизны для всех участков будет одним и тем же. Следовательно, при чистом изгибе ось однородного стержня принимает форму дуги окружности. Легко обнаружить, что совокупность точек, расположенных до изгиба в плоскости поперечного сечения стержня, после изгиба также образует плоскость, но переместившуюся в пространстве. Действительно, рассмотрим среднее поперечное сечение А — А (рис.
4.11, а). Точки этого сечения по условиям симметрии не могут получить преимущественных смещений ни вправо,ни влево, поскольку и та,и другая стороны полностью равноправны. Следовательно, это сечение остается плоским. Рис. 4,11 Разрезая стержень на две равные части сечением А — А, получаем участки вдвое меньшие, находящиеся точно в тех же условиях, что и целый участок (рис. 4.11, б). Для каждой из полученных половин приведенные рассуждения могут быть повторены (рис. 4.11, в).
Следовательно, средние сечения этих половин также остаются плоскими. 167 Этот процесс деления можно продолжать дальше. Тем самым будет доказано, что в неограниченной близости от любого наперед заданного сечения есть сколь угодно много таких сечений, для которых соблюдается высказанное условие плоских сечений. Фактически это есть доказательство того, что все сечения однородного стержня при чистом изгибе не искривляются, а лишь поворачиваются.
Это утверждение, будучи точным для чистого изгиба, в общем случае является приближенным и именуется гипотезой плоских сечений. Рис. 4.12 Образование деформаций при чистом изгибе можно рассматривать как результат поворота плоских поперечных сечений одно относительно другого (рис, 4,12). Рассмотрим два смежных сечения, расположенных между собой на расстоянии Ыя (рис. 4.13).
Примем левое сечение условно за неподвижное. Тогда в результате поворота правого сечения на угол НО верхние слои уцлинятся, а нижние — укоротятся. Очевидно, существует слой, в котором удлинения отсутствуют. Назовем его нейтральным слоем и отметим СЮ. В результате поворота сечений изменение кривизны нейтрального слоя будет следующим: 1 сИ р ая Произвольно взятый отрезок АВ = Ы» (см. рис. 4,13) получит приращение длины А'В' — АВ. Так как сечения остаются плоскими, А'В' — АВ = (р+ у) Ид — р Ю = у Нд, где у — расстояние от рассматриваемого отрезка АВ до нейтральной Сй.
Положение этого отрезка пока неизвестно. Относительное удлинение АВ равно (4.2) Согласно закону Гука, от=Ее=Š—. У Р (4.3) 169 Таким образом, при чистом изгибе напряжения в поперечном сечении изменяются по линейному закону. Геометрическое место точек в сечении, удовлетворяющее условию о = О, называется нейтральной линией сечения. Нейтральная линия, очевидно, перпендикулярна к плоскости кривизны изогнутого стержня. Свяжем теперь напряжение о с внутренними силовыми факторами, возникающими в поперечном сечении стержня при чистом изгибе.
СуММа ЭЛЕМЕНтарНЫХ СИЛ ЫИГ (ркс. 4.14) д нор ную силу Ф в сечении. Но при чистом изгибе У = О. Поэтому Рис 4.14 43 уУ Е аско выражению ( ) р ( Ю = одГ = О, или, согла Р = О, откуда дЫР = О. бой знакомый нам из пре- Э т интеграл пред ставляет со ой но то еский момент сечен ия относитель й главы статический омент равен нулю, дыдущеи и. ак как . Т статическии мом сечения. нейтральная ная линия проходит через ц ипата у в выражениях ~4.2) и (4.3) полу- Таким о Т образом, координата у в : она отсчитывается от центральной оси, чает оп пределенность: она о к ивизны. .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
