Феодосьев В.И. Сопротивление материалов (1075903), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Рассмотрим один из методов численного решения линейных дифференциальных уравнений — метод начальных параметров. Изложенный ниже метод справедлив не только для стержня, нагруженного по всей длине распределенной нагрузкой, но и для общего случая нагружения, когда распределенная нагрузка приложена к части стержня и, кроме того, действуют сосредоточенные силы и моменты (см. рис. В.11)1 В курсе высшей математики, в разделе, посвященном системах линейных дифференциальных уравнений с переменными и постоянными коэффициентами, показано, что общее решение неоднородного уравнения (4.21) имеем вид х(~) = к(~)с+ х„(~), где К(г) — фундаментальная матрица решений однородного уравнения (4.18), С вЂ” вектор произвольных постоянных, 2„— частное решение неоднородного уравнения (4.21).
Матрицу К(г) можно получить из однородного уравнения ~угу Ыл решая его четыре раза при +Аго =О, следующих начальных условиях: 1) я~ —— 2) к~— Я(0) М(О) О 1 0 0 0 0 1 0 0 О О 1 О О О О 1 сд с2 сЗ С4 197 Каждое из решений ко(г) (~' = 1,...,4), удовлетворяющее этим начальным условиям, есть столбец матрицы К(г), поэтому матрица К(л) при ю = 0 является единичной.
Частное решение неоднородного уравнения (4.21) получаем, решая это уравнение при нулевых начальных условиях. Компоненты вектора С(с~, с2, сз, с4) находим из краевых условий (условий закрепления концов стержня). Найти все с. из краевых условий при г = 0 нельзя. В этом основная особенность задач статики (и динамики) упругих систем.
В теоретической механике (в разделе динамика) все начальные условия задают в начальный момент времени (задача Коши). Поэтому эти задачи часто называют одноточечными краевыми, а задачи статики и динамики упругих систем — двухточечными краевыми. Например, для случая, показанного на рис. 4.44, имеем при г = 0 (Е„(0) = 0) т.е. сз = с4 = О. Оставшиеся две произвольные постоянные с1 и с2 находим из краевых условий при ~ = ! к1(!) + ЛН2(!) ~кэ (!) Як4(!) lс11(!) !с12(!) Iс1Э(!) lс14(!) ~41(!) ~42(!) !С43(!) ~44(!) Ж) М(!) д(!) и1,(!) с1 с2 0 О Так как при я = ! должны выполняться два условия: Я(!) = — Р, М(!) = О, то получаем систему из двух уравнений для определения с1 и с2. — Р = Й11с1 + Й12с2 + йк1 > О = ~21с1+ ~ггсг+ кг Определив с1, с2, сз и с4, находим решение уравнения (4.21), или системы (4.20).
При использовании для исследования статического напряженно-деформированного состояния прямолинейного стержня системы из четырех уравнений первого порядка отпадает необходимость делить задачи на статически определимые и статически неопределимые, что приходится делать при решении уравнений второго порядка. Понятно, что написанные выше соотношения (4.18) и (4.20) являются точными в той мере, в какой перемещения можно считать малыми. Подавляющее большинство задач, связанных с расчетами прямолинейных стержней на прочность и жесткость при изгибе, решают в укаэанном предположении, причем с весьма высокой степенью точности, поскольку величина у, отброшенная в выражении (4.16), действительно ма- 12 ла. 198 В некоторых случаях возникает необходимость решить задачу при больших упругих перемещениях.
Такого рода задачи встречаются в основном при исследовании специальных пружин приборов. Если система способна при больших перемещениях сохранять упругие свойства, то она называется гибкой, независимо от того, идет ли речь об изгибе, кручении или растяжении.
При изгибе предельные упругие перемещения определяются не только свойствами материала, но в равной мере отношением длины балки к размеру поперечного сечения в плоскости изгиба. Наибольшее относительное удлинение при изгибе, согласно формуле (4.2), равно Угпах атак = ) Р а напряжение— Упорах ~Утах = ~ Р Значительные перемещения стержень сможет получить при условии большого изменения кривизны 1/р. Но при напряжениях, не превышающих предел упругости, это возможно только при достаточно малом у,„„, т.е. при малой высоте сечения. Гибкий стержень имеет поэтому обычно форму тонкой ленты или тонкой проволоки и часто называется тонким гибким стержнем. Дифференциальное уравнение упругой линии гибкого стержня имеет вид М у" Е У (1 + ~2)З(г ' Отличие этого уравнения от уравнения (4.17) заключается не только в том, что здесь сохраняется нелинейный член у в знаменателе.
Для гибкого стержня в выражении для М уг нужно обязательно учитывать перемещения, возникающие в стержне. Указанную особенность гибких стержней наглядно иллюстрирует пример консоли (см. рис. 4.44). Видно, что с ростом прогибов вертикальная сила Р получает горизонтальное смещение. В результате этого изгибающий момент в каждой точке стержня изменяется на некоторую величину, зависящую как от местного горизонтального смещения, так и от горизонтального смещения точки приложения силы Р. Общие методы изучения больших перемещений при изгибе объединяет так называемая теория гибких стержней, которая выходит за рамки сопротивления материалов и в настоящем курсе не рассматривается. Приведем некоторые примеры определения формы упругой линии изогнутого стержня при малых перемещениях. 199 П р и м е р 4.9.
Составить уравнение упругой линии консоли, нагруженной на конце сосредоточенной силой Р (рис. 4.45). Рис. 4.45 Поместим начало координат я, у в заделке. Изгибающий момент в сечении, расположенном на растоянии х от заделки, равен М = Р(! — х). Подставив это выражение в (4.17) и дважды проинтегрировав полученное уравнение, найдем з з у = — ! — — — + С1г+ Сз Е.!е 2 6 где С1, Сз — постоянные интегрирования, определяемые из граничных условий. В данном случае при я = О имеем у = 0 и у = О, откуда С1 = 0 и С2 = О. Тогда Наибольший прогиб имеет место в точке приложения силы Р, т.е.
при г = 1, и равен Р!з упадал = ° 3Е3а П р и м е р 4.10. Двухопорный стержень длиной 1 нагружен силой Р, расположенной на расстоянии а от левой опоры (рис. 4.46). Составить уравнение упругой линии и найти перемещение точки приложения силы. Рис. 4.46 Начало координат располагаем на левой опоре. Запишем изгибающие моменты на первом и втором участках стержня: Ь Ь М1 = Р- г; Мг = Р-г — Р(г — а). ! ' ! 200 После подстановки этих выражений в (4.17) и двукратного интегрирова- ния полученных уравнений находим Р В»3 у1 — — — — + Сг»+ Сг Е7а 1 6 а уг = - — — — +а — +Сз»+С4 Е1 16 6 2 Постоянные интегрирования определяем из условий закрепления стержня н условий непрерывности при переходе с первого участка на второй: прн» = О у1 — — О; при» = а у1 — — уг н у', = уг', при» = 1 уг = О.
Из этих условий находим С1 — — — (За1 — 21 — а ), Сг — — О, Сз = — — (21 + а ), а 2 2 а 2 г 61 61 Я з С4 — — —. После преобразований получим Б Р ~ 3 у1 — — — — [» — »а (21 — а)]; ВЕЛ~ уг = — — [ — » + 3» 1 — » (21 + а ) + а 1). Р а з г г бЕУа 1 Р 6 В точке прнложенмя силы Р имеем у1 = уг — — .
Если сила прнло- зЕ,7»1 жена посередине пролета, то у1 — у 4ВЕЯ»1 Координата у точки приложения силы после изгиба стержня оказывается отрицательной. Стержень прогибается в сторону, противоположную положительному направлению осн у. Из рассмотренных примеров видно, что для стержня, имеющего несколько участков, определение формы упругой линии становится затруднительным.
Уравнение каждого участка после интегрирования содержит две произвольные постоянные. Если стержнь имеет и участков, необходимо совместно решить 2п уравнений для определения 2л постоянных интегрирования. Естественно, еще более громоздкими будут выкладки для стержня переменной жесткости. В свое время на преодоление этих трудностей было затрачено много усилий. Но, как всегда, с годами поиска вырабатывается что-то наиболее простое и целесообразное.
История науки, изучающей сопротивление материалов, в этом смысле достаточно поучительна. Существуют графические и графоаналитические методы построения упругой линии, изучение 201 которых еще до недавнего времени в курсах строительной механики считалось совершенно обязательным. Существует универсальное уравнение упругой линии для стержня постоянного сечения, где при любом числе пролетов можно ограничиться определением всего двух постоянных интегрирования. Могут быть предложены и другие, родственные им приемы построения упругой линии. Однако в настоящее время в связи с развитием ЭИМ эти методы практически не используют. 4.7. Стержень на упругом основании Расчетная схема стержня на упругом основании является достаточно универсальной и позволяет предложить экономные способы решения многих задач.
Представим себе прямой стержень, опирающийся на множество часто расположенных, не связанных между собою пружин или каких-либо других упругих элементов (рис. 4.47). Рис. 4.47 (4.22) Чу = ~У> 202 Если к стержню приложены внешние силы, то со стороны пружин возникают реакции, каждая из которых пропорциональна местному прогибу. Так как расстояние между пружинами невелико, целесообразно представить реакции в виде распределенных сил, интенсивность которых д~ пропорциональна прогибу: где ю — коэффициент пропорциональыости, зависящий от жесткости пружин и частоты их расстановки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
