Феодосьев В.И. Сопротивление материалов (1075903), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Дело в том, что разность больших радиусов РО и тО очень мала, но должна быть вычислена точно, поскольку от этого непосредственно зависит результат расчета напряжения о по формуле (4.38). Поэтому значение тО приходится подсчитывать с большим числом знаков. Для подобных случаев выработан прием разложения вычитаемых величин в ряды с последующим исключением первых взаимно уничтожающихся членов. Например, в рассмотренном случае прямоугольного сечения это выглядит следующим образом: РО + Ч2 1+ 6/(2рю) РΠ— 6/2 1 — ЧРРО) откуда ро + Ч2 3 ~2ро/ Й/2 Возвращаясь к выражению (4.40), видим, что радиусы ро взаимно уничтожаются, а смещение е можно определить без потери точности при помощи следующего ряда: При Ь/ро ( 1/2 можно довольствоваться с достаточной точностью одним членом ряда: 3 2 Аналогично для выражения (4.41) имеем Все сказанное легко может быть распространено и на случай сечения произвольной формы.
Выражение (4.35) перепишем в виде уды у — е+ е у1+ е ЫГ=О, то + у го + е + у — е ро + у1 где у1 = у — е — расстояние от площадки ЙГ до центральной оси. Отсюда для е получаем следующее выражение: 222 У1 Ро+ У1 е ИГ Ро + у1 -1 у1 у1 (у1 1 Воспользуемся разложением 1+ — = 1 — — + Ро Ро ~Ро) и ограничимся двумя первыми членами ряда. Тогда получим Так как у1 отсчитывается от центральной оси, то у1 ЫГ = О.
Т г огда, очевидно, ~х е- —, РоР (4.42) где,7~, как и при изгибе прямого бруса, — момент инерции сечения относительно центральной оси. Площадь сечения Р = Л =17,5см . 2 Разделив статический момент на площадь сечения, находим расстояние уо от основания трапеции до центра тяжести: Ь,+гь, Л уо = — — = 2,8см. Ь1+Ьз 3 233 П р и м е р 4.17. Найти напряжение в точке А крюка трапецендального сечения (рнс. 4.67) со следующими размерами: Ь1 = 4 см, Ьз — — 1 см, и1 —— Зсм, из =10см, Л=7см. Сила Р=20кН. Сначала определяем положение центра тяжести сечения. Статический момент сечения относительно большего основания 5= — + Ь Л Ь вЂ” Ь Л.
2 6 Рис. 4Я7 Радиус ро = ио + и1 — — 5, 8 см. Момент инерции сечения относительно основания 1= — + Ь Л (Ь вЂ” Ьг)Л = 200,1см . 2 12 Переходя к центральной оси х, получаем А = 62,9 см . довольствуясь при- 4 ближенным определением е, по формуле (4.42) находим е = О, 620 см. Напряжение изгиба в точке А определяем по формуле (4.38), которая принимает для данного случая вид Рро ио — е Ге и1 20000 5, 8 2, 18 17,5.
0,620 3 К этому напряжению следует прибавить напряжение растяжения ~тр „— — Р/Р = 11, 4 МП а. Таким образом, ~т,~ — — 89, 1 МПа. Вычисляя значение е более точно, находим Г е = ро Ь1 — Ьг иг Ьг + иг 1и — — (Ь| — Ьг) иг — и1 и1 ~т.~ — 92 МПа. О, 598 см, Глава 5 ПЕРЕМЕЩЕНИЯ В СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЕ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНОЙ НАГРУЗКЕ 5.1. Потенциальная энергия стержня в общем случае нагружения Выше определялись перемещения прямого стержня при растяжении, кручении и изгибе.
Рассмотрим теперь общий случай нагружения, когда в поперечных сечениях могут возникать нормальные и поперечные силы, изгибающие и крутящие моменты одновременно. Кроме того, расширим круг рассматриваемых вопросов, полагая, что стержень может быть не только прямым, но и криволинейным или состоять из ряда участков, образующих плоскую или пространственную систему. Решение поставленной задачи необходимо не только для нахождения самих перемещений и оценки жесткости конструкции.
На основе определения перемещений созданы общие методы определения внутренних силовых факторов в статически неопределимых системах, о чем будет сказано в следующей главе. 22б 8 В. И. Феоаосьсв Наиболее просто перемещения можно найти при помощи энергетических соотношений на основе общего выражения потенциальной энергии нагруженного стержня. Определению потенциальной энергии предшествует анализ внутренних силовых факторов, возникающих в стержне. Этот анализ проводят, как известно, при помощи метода сечении с построением эпюр изгибающих и крутящих моментов, а в тех случаях, когда это необходимо, — также эпюр нормальных и поперечных сил. Во всех случаях эпюры внутренних силовых факторов строят на осевой линии стержня. Силовой фактор откладывают по нормали к оси, как это показано, например, на рис.
5.1. Для пространственного стержня осевую линию вычерчивают обычно в перспективе, а эпюры изгибающих моментов изображают в соответствующих плоскостях изгиба (рис. 5.2). Эпюру крутящих моментов не связывают с какой-либо определенной плоскостью и в отличие от эпюры изгибающих моментов штрихуют винтовой линией. Рис. 6.1 Рис. 5.2 гге Лля определения потенциальной энергии выделим из стержня элементарный участок длиной Ыя (рис.5.3).
Стержень может быть не только прямым, но и иметь малую начальную кривизну. В каждом из поперечных сечений в общем случае нагружения возникает шесть силовых факторов: три момента и три силы. По отношению к выделенному элементарному участку рассмотрим эти силовые факторы как внешние и определим работу, которая совершается ими при деформировании элемента. Эта работа переходит в потенциальную энергию, накопленную в элементарном участке стержня. Рис. 5.3 Левое сечение элемента (см. рис.
5.3) условно будем рассматривать как неподвижное, с тем чтобы работа всех силовых факторов, приложенных к левому торцу, была равна нулю. Точка приведения сил в правом сечении вследствие деформации элемента получает некоторые малые перемещения, на которых совершается искомая работа. Очень важно, что каждому из шести силовых факторов соответствуют такие перемещения, на которых ни один из остальных пяти работы не совершает.
Так, под действием момента М„возникает угол поворота сечения относительно оси я. На этом угловом перемещении работа совершается только этим моментом М„. Линейное перемещение вдоль оси у возникает вследствие действия силы Я», и только эта сила совершает работу на этом перемещении. Следовательно, потенциальную энергию элемента можно рассматривать как сумму независимых работ каждого из шести силовых факторов, т.е., иначе говоря, как сумму в энергий кручения, изгиба, растяжения и сдвига: Н~ = ИЦМ„) + аи(М,) + аЩМ„)+ +ю(ю) + иг(о,) + ии®у).
(5.1) Естественно, такое разделение работ возможно лишь при определенном выборе осей. В частности, точка приведения сил должна совпадать с центром тяжести сечения. Иначе нормальная сила Л~ вызовет поворот сечения, и изгибающие моменты совершат работу на угловом перемещении, вызванном этой силой. Оси м и у должны быть главными. В противном случае момент М~ вызовет поворот сечения относительно оси у, и будет произведена взаимная работа на угловых перемещениях, вызванных двумя изгибающими моментами.
Выражения для первых четырех слагаемых нам уже известны: Мг~ М2 Нл НУ(М„) = М"; ИУ(М,) = Мг~ уг ~ (Му) = °. ,(Ю) = у 2ЕГ Остается найти энергию сдвига НУ(Я ) и НО'(Яу). Рис. 6.4 Для определения НУЯу) рассмотрим элементарную призму с площадью основания НГ и длиной Нл (рис. 5.4). Энергия, заключенная в этом объеме, равна ГОН'Нл, где Ц вЂ” удельная потенциальная энергия при сдвиге. Согласно выражению 228 т4 (2 3) ~Ю = т„/(20).
Таким образом, Уо ЙР Йя = " МУйх. Ин- тегрируя по площади Г, находим ИУ(Я ) = ' т„ИР. Но, 2С Я~Я; согласно формуле Журавского (см. ~ 4.3), т~ — — *. СледоАЬ вательно, ~2 ~ р у2 ИУ(Яу) — 2 ~ или ЫУ(Яу)— Ю~, 62 Обозначим У2 / 62 У' г (5.2) Тогда я2 д~ НУДА) = йр Аналогично получим ггэ ~г~ ЩЯ.) =й. *"'. Коэффициенты Й~ и Йя представляют собой безразмерные ве- У личины, зависящие от геометрической формы сечения. Например, для прямоугольного сечения Ъ, с размерами 6 и 6 (рис. 5.5) статический момент Я' заштрихованной площади относительно оси ж г равен Я' = — 6 — — у .
Лах 2 4 Б лее, йГ = ЬНу, Г = ЬЬ,,У~ Рис. 5.5 = ЬЙЗ/12. Производя преобразования, по формуле (5.2) получаем й = Й = й„= 6/5. Для сплошного круглого сечения й = 10/9. Лля тонкостенного кругового профиля Й = 2 и т.д. Выражение (5.1) теперь принимает вид Мг а~ Мг М~ М2 ~Ь Рз Д~ дг Д~ ©~,Ь 2С.7~ 2Е,7~ 2Е7я 2ЕГ * 2СГ я 2СГ Чтобы получить потенциальную энергию всего стержня, это выражение следует проинтегрировать по длине: 2СА< 2Е,7~ 2Е.7„ М Ю 1 + 2ЕГ+ 2аг + 2аГ Если конструкция сложная и состоит из нескольких элементов, имеющих форму стержня, то после интегрирования в пределах каждого стержня должно быть произведено суммирование энергии по числу составляющих элементов.
В выражении (5.3) не всегда все слагаемые являются равноценными. Для подавляющего большинства встречающихся на практике систем, где составляющие элементы работают на изгиб или кручение, три последних слагаемых в выражении (5.3) оказываются существенно меньшими трех первых. Иначе говоря, энергия растяжения и сдвига, как правило, существенно меньше энергии изгиба и кручения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
