Феодосьев В.И. Сопротивление материалов (1075903), страница 32
Текст из файла (страница 32)
5.22, 6, строим отдельно эпюры от нагрузки, расположенной справа, к отдельно от нагрузки, расположенной слева от точки А (рмс. 5.22, г). Теперь на левом участке взамен параболической трапеции имеем простые прямоугольник, треугольник и параболический треугольник. Зля всех этих фигур площади и положение центров тяжести известны. Произведение эпюр для правого участка равно нулю. На левом участке соответственно для прямоугольника, треугольника и параболического треугольника получаем следующие слагаемые: !з ! !з! !з3! 16 4' 153' 48 8' откуда 17 д! б,~ — — — —.
384 Е,7 П р и м е р 5.10. Рассмотрим пример пространственной системы. Определим перемещение точки А в направлении й для пространственного стержня (ркс. 5.23, а). Жесткость для элементов при изгибе в одной и другой плоскости равна Е1. Жесткость ка кручение равна С.!„. Р~ Р Рис. 5.23 Основными перемещениями в системе являются перемещения, связанные с изгибом к кручением стержней. Строим зпюры изгибающих к крутящих моментов от заданных сил и от единичной силы (рмс. 5.23, б к в). Перемножаем эпюры изгибающих моментов, причем только зпюры, лежащие в одной плоскости. Это следует мз выражения (5.8), где под интегралами перемножают только моменты МярМя1 и МурМу1, но не МзрМу1 н МурМз1 ° 246 Приведем результат перемножения эпюр иэгибазощих моментов, соответствующих участкам АЗ, ЗС, СП и ПЕ: РР 2 РР 1 РР О; — — (; 23'23'2 Так как жесткость на изгиб в обеих плоскостях для всех участков одна и та же, все эти величины следует сложить и разделить на Е1.
Тогда получим 2 Р~з 3 Е3' Эпюры крутящих моментов перемножаются только на участке С0. Моменты имеют общий знак. Поэтому получаем Р~г СУ, !. Искомое перемещение 6,~ — — Р1 ~ — +— 3 ~ЗЕ7 01, Лля стержня круглого сечения СУ„= 21 ~ О 77ЕУ 2(1+ р) Р~з б„~ 2 —. Е1 5.5. Определение перемещений и напряжений в витых пружинах Витые пружины принадлежат к числу наиболее распро страненных упругих элементов машиностроения. Их применяют в самых различных конструкциях в качестве аккумуляторов упругой энергии амортизирующих, возвратно-подающих и многих других механических устройств.
Вопросы расчета и проектирования витых пружин относятся к курсам деталей машин и приборов. Однако в силу установившихся традиций основные расчетные формулы выводят обычно в курсе сопротивления материалов, поскольку примеры расчета пружин дают наглядную иллюстрацию методов определения перемещений. 249 Витую пружину можно рассматривать как пространственно-изогнутый стержень, осевая линия которого в простейшем случае представляет собой винтовую линию. Геометрическая форма осевой линии определяется диаметром витка Р, числом витков п и углом подъема а (см. развертку на рис. 5.24).
Подъем витка можно характеризовать также шагом пружины ж з = хРф~а. Лля всех встречающихся на практике пружин шаг з много меньше тР, и угол а, следовательно, можно считать малым. Обычно а < 5О. Свойства пружин зависят также от формы поперечного сечения витка. Как правило, пружины навивают из круглой проволоки. Обозначим диаметр сечения проволоки через И (рис. 5.24). Рис. 5.25 Рис.
5.24 250 В зависимости от вида воспринимаемых рабочих нагрузок витые пружины подразделяют на пружины растпяжения ~рис. 5.25, а), пружины сжатпия (рис. 5.25, б) и пружины кручения (рис, 5,25, в). В первых двух случаях пружина нагружается силами, равнодействующая которых направлена вдоль ее оси. Пружина кручения нагружена двумя моментами в плоскости, перпендикулярной оси пружины.
Констру ктивнои особенностью пружин перечисленных типов является отделка концов. Концевые витки пружины растяжения и кручения отгибают с таким расчетом, чтобы могло быть осуществлено ее крепление к смежным деталям. У пружины сжатия крайние витки поджимают и сошлифовывают с торцов, чем обеспечивается создание опорных плоскостей. При определении перемещений и напряжений, однако, укаэанные особенности пружин обычно не учитываются к концевые витки иэ рассмотрения исключаются. Рис.
5.26 Определим зависимость изменения высоты пружины растяжения — сжатия от осевой склы Р. В любом поперечном сеченик вктка пружины растяженкя возникает результирующая внутренняя скла Р (рис.5.26, а) и момент М = РВ(2. Полная сила в сечении параллельна оси пружины, а плоскость момента М совпадает с плоскостью пары сил Р. Нормальное поперечное сечение витка повернуто по отношению к эток плоскости на угол а. Раскладывая момент и силу на составляющие относительно осей, связанных с сечением (ркс. 5.26, б), находим .0 М„= Р— соз 2 Я = Рсоза; Ю . а; М =Р— з1па; 2 Ж = Рз1па. (5.11) 251 Для того чтобы определить осевое перемещение А, прикладываем к концам пружины единичные силы к находим возникающие при этом внутреннке силовые факторы.
Последнке, очевидно, определяются выражениями (5.11), уменьшенными в Рраз: Р, Р М~~ = со8 а; М1 = 81п а' Я] = со8 а~ Ж~ = 81п а. 2 ' ~ 2 Лля определения перемещений в цилиндрической пружине необходимо, следовательно, написать четыре интеграла Мора кз шести (см. формулу (5.8)). Однако перемещения, обусловленные нормальной и поперечнок силами, как и для всякого стержня, малы, а вследствие малости угла а малым будет и осевое перемещение, связанное с изгибом внтков.
Поэтому ( М„М,д ~Ь 01~ где 04„— жесткость витка на кручение. Полагая сон а а 1, поРРг лучим Л = 1, где! — полная длина рабочек части витков, 401„ равная! и ~гРн. Таким образом, (5.12) М„РР У„2У, р рЗ„ 4СУ„ При определении и для пружины растяжения отогнутая часть витков на ее концах во внимание не принимается. Для пружины сжатия из полного числа вктков следует исключить пркмерно по 3/4 витка с каждого торца, поскольку этк витки поджаты при навивке к соседним и свободно деформироваться не могут.
Таким образом, предполагается, что 1,5 витка в работе не участвуют. Если пружина навита кз круглой проволоки, то .7„= .7 = М4/32, и тогда формула (5.12) принкмает вид Я~эР3~ Л— (5.13) Поскольку витки пружины растяжения — сжатия работают в основном на кручение, имеем В случае кругового поперечного сечения Мя 8РВ т Переходя к пружинам кручения, заметим, что при их расчете наибольший интерес представляет определение углового перемещения одного конца относительно другого. Рис. 5.27 В поперечных сечениях витка пружины кручения возникает полный момент М = Ж (рис.
5.27). Раскладывая его по осям, находим М' = 9Л сов а; М„= 9И Б1п а. После приложения к концам пружины единичных моментов получим М = сова; М„1 = нпа. Вследствие малости угла а пренебрегаем перемещением, связанным с кручением витков, а сова полагаем равным единице.
Тогда ММ' Ь ЮЦ Е1, ЕУ,' или 9Якйя Е5, Наибольшее напряжение изгиба Задачи, возникающие при расчете витых пружин, далеко не исчерпываются изложенным. В случае, когда диаметр проволоки И сокзмерим с диаметром витка Ю, возникает необходимость введения поправок на большую кривизну. В некоторых случаях бывает необходимо определить так называемые вторичные перемещения, например кзменения дкаметра или числа витков пружины растяжения.
В ряде случаев представляет интерес соэданке пружин с нелинеиной зависимостью осадки А от силы Р. Это достигается тем, что часть витков в результате осадки пружины последовательно выключается из работы. Встречаются задачи, связанные с расчетом нецилиндрических пружин, и многие другие.
Все они, однако, выходят за рамки курса сопротивления материалов и здесь не рассматриваются. 5.6. Теорема взаимности работ Теорема взаимности работ, подобно теореме Кастилиано, относится к числу общих теорем сопротквления материалов. Она прямо вытекает кз принципа независимости действия сил и применима ко всем системам, для которых соблюдается этот принцип. Рис.
6.2В Рассмотрим упругое тело, к которому приложены сила Р1 в точке А и сила Р2 в точке В (рис. 5.28). Полагая, что к системе может быть применен принцип независимости действия сил, определим работу, которую совершат силы Р1 и Р2 при прямом и обратном порядке приложения. Прикладываем сначала в точке А силу Р~. Эта сила со- 1 вершит работу — Р1б~1, где б,~, — перемещение точки А по на- 2 правлению силы Р1, вызванное этой силой. Палее, в точке В 264 прикладываем силу Ру. Эта сила совершит работу, которая 1 будет иметь аналогичное выражение — Рг бвг.
Одновременно 2 совершит работу и сила Р1, поскольку при приложении склы Рг прокзойдет и пермещение точкк А. Работа силы Р1 будет Р16Аг, где блг — перемещение точки А по направлению склы Р1 под действием силы Р2 пркложенной в точке В. В итоге получим сумму работ при прямом порядке приложения сил: 1 — Р16л1 + — Р26вг + Р1блг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
