Феодосьев В.И. Сопротивление материалов (1075903), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Как увидим далее, в случаях, когда имеется возможность сразу указать значения некоторых неизвестных, число совместно решаемых уравнений снижается. Остается теперь выяснить, что представляют собой коэффициенты б;~ и как следует их определять. Лля этого обратимся к выражению (6.1). Если Х~ = 1, то б;х — — б,у,. Следовательно, коэффициент б;~ есть перемещение по направлению ю-го силового фактора под действием единичного фактора, заменяющего й-й фактор. Например, коэффициент бз1 уравнения (6.2) представляет собой взаимное горизонтальное смещение точек В и С, которое возникло бы в раме, если бы к ней вместо всех сил была приложена только единичная сила в точке А (рис.
6.13). Если, например, вместо сил Хг приложить единичные силы, а все прочие силы снять (рис. 6.14), то 270 7 4 М„»М„; сЬ ЕХу М„» М„; Ил / М» М; сЬ ~хЯх»Ях~ йх ( ЮцЯцв ~ аг +1 аг Л»Л; Н~ ЕГ где М„,, М;,... — внутренние моменты и склы, возникающие под действием г-го едкничного фактора. Таким образом, коэффициенты б,» можно получить как результат перемножения ~-го и й-го внутренних единичных силовых факторов. Индексы 1 и Й непосредственно указывают, какие факторы должны быть перемножены пол знаком интегралов Мора. Если рама состоит кз прямых участков и можно пользоваться правклом угол поворота в сечении Р под действием этих сил будет 6ц, горизонтальное перемещение в точке А будет б12 к т.д. Весьма существенно отметить, что в проделанном выводе совершенно не обусловливается то, каким образом возникают перемещения б;».
Хотя мы к рассматриваем раму, работающую на кзгкб, все сказанное с равным успехом может быть отнесено вообще к любой системе, работающей на кручение, растяжение и изгиб или на то, другое и третье совместно. Обратимся к интегралам Мора (см. ~ 5.3). Для того чтобы определить б;», следует вместо внешних сил рассматривать едкнкчную силу, заменяющую й-й фактор. Поэтому внутренние моменты к силы М„р, М р, М„р, Хр, Я р и Я~р в выражении (5.8) заменим на М„», М,», М„», Л», Я,» и Я„», понкмая под ними внутренние моменты и силы от единичного Й-го фактора. В итоге получим Верещагина, то 6;й представляет собой результат перемножения з-х единичных эпюр на Й-е единичные эпюры. Очевидно, что б;~ = б~;. Это следует, с одной стороны, непосредственно иэ выражений (6.3), а с другой — иэ теоремы взаимности перемещений (см.
~ 5.6), поскольку перемещения 8;~, и 4~, возникают под действием одной к той же силы, равной единице. Величины 6;р, входящие в канонические уравнения, представляют собой перемещения в направлениях 1, 2,..., возникающие под действием заданных внешних сил в основной системе. Они определяются перемножением эпюры заданных сил на соответствующие единичные эпюры. Еще раз напомним, что в подавляющем большинстве случаев перемещения, связанные с изгибом и кручением элементов рамы, значительно превышают перемещения растяжения и сдвига, Поэтому в выражении (6.3) последними тремя интегралами, как правило, можно пренебречь (см. ~ 5.1).
П р н м е р 6.1. Раскрыть статическую неопределнмость н построить эпюру изгибающих моментов для рамы, показанной на рнс. б.15. Рис. 6.15 Рама трн раза статически иеопределима. Выбираем основную систему, отбрасывая левую заделку. Действие заделки заменяем двумя снламн Х1, Хз н моментом Хз (рнс. 6.16). Канонические уравнения (6.2) принимают для рассматриваемой системы такой вид; 611 Х1 + 61з Хг + 61 3 Кз = — 61 р, бз1Х1 + бззХз+ бззХз = -бзр, бз1Х1+ бззХз + бззХз = — бз~ Основные перемещения в рассматриваемой раме определяются изгибом. Поэтому, пренебрегая сдвигом н сжатием стержней, строим эпюры изгибающих моментов от заданной силы Р н от трех единичных силовых факторов (см.
рнс. 6.16). 272 Определяем коэффициенты уравнений, считая, что жесткость на изгиб всех участков рамы постоянна н равна Е1. Величину 611 определяем перемножением первой единичной эпюры самой на себя. Лля каждого участка берем, следовательно, плошадь эпюры н умножаем на ордннату этой же эпюры, проходящую через ее центр тяжести: Р г, Из 61 = — —. — 1+212 ° 1 Е.7 2 3 ЗЕУ Заметим, что перемещения 6;~ при 1 = и всегда положительны, поскольку площади эпюры и ординаты имеют общий знак.
Определяем, далее, и остальные коэффициенты уравнений, перемножая соответствующие эпюры: 512 8~з 61з — — бз1 = —., 622 = —, 2Е.У' ЗЕУ ' бгз = 62з = бзз р~2 бзР = — —. 2ЕУ' 61Р—— 62Р— Подставляем найденные коэффициенты в канонические уравнения. После сокрашений получаем 8 5Р! 21Х1 + — !Х2+2Хз = —; 3 3 Решал эти уравнения, иакодкм Х1 = -Р(4, Х2 = 7Р(16, Хз = Р!~12. 273 Я~3 62~ = — ,' Е1' 2Р бз2 = — ,' Е.1 ' Рз 2Е.7 ' 7 5 Р! — 1Х1 + ИХ2+ — Хз = — ,' Л 2 2 ' 5 Р1 — 1Х + 21Х + ЗХз = —.
2 2 31 Е1' 5Р1з БЕЗ' Раскрытие ствтмческой неопределммостм нв этом заканчивается. Эпюрв изгибающих моментов может быть получена наложением нв эпюру моментов заданных сил трех едмнмчных эпюр, увеличенных соответственно в Х~, Хз н Хз раза. Суммарная эпюрв изгибающих моментов представлена на рис. 6.17. Там же показана форма изогнутой оси рамы. Рис. 6.17 Рис.
6.18 П р и м е р 6.2. Определить усилия в стержнях статмческм неопределимой фермы (рис. 6.18, о). Жесткости ЕГ всех стержней одинаковы. Илимы стержней равны 1 или 1~Г2 в соответствии с рисунком. Ферма два раза статически неопределима: один раз внешнмм и один раз внутренним образом. Выбираем основную систему, заменяя правую шарнирную опору катком и разрезая стержень Б (рис. 6.18, б).
Канонические уравнения имеют вид б» Х~ + бп Хз = -б~~; бз~ К~ + без Хз — — — бзр. Определяем коэффициенты этих уравненмй. Стержни работают на растяжение и сжатие, поэтому перемещения бд будут определяться нормальными силами, возникающммм в стержнях. Так как по длине каждого стержня нормальная сила не меняется, то построение эпюр становится излишним, и мы просто составим табл. 6.1 для усилий, возникающих в стержнях от сил Р и от первой и второй единичных сил. Определение сил проводим из условий равновесия узлов. Лалее, учитывая, что Г Ф'У~ Ыг ИЧМЮ1и ЕГ ЕГ а где 1в — длина стержня с номером и, вычисляем значения для произведений Ф;И~1„и результаты снова сводмм в табл. 6.1.
Затем, суммируя по 274 столбцам таблицы, находим 611 — — — '~ Я1 !и= —, 612 — — 621 = — ') № №!и — — — —,. ЕГ ~ ~ ЕГ' ЕГ ~-г 2ЕГ' ит1 ит1 6 — 1 ~; М2! (2+ 21Г2) ! 22 — ~ 2 и 1 т~ ЗР! 1 ~ 42 Р! 61~ = — '~ ИиИ1!и= —; 61и= — ~ ИгИ2!и= ° ЕГ ~-~ ЕГ' ЕГ ~ 2ЕГ ' иы1 ии1 Канонические уравнения принимают вид ~Гг ЗХ1 — — Х2 = — ЗР; 2 — х, + г (1+ Л) х2 = игр, ~Гг 2 откуда Х 10+ 121/2 р Х З~/2 р и+12~Гг ' 11+ 1гЛ Теперь, чтобы найти усилия У в каждом из стержней, надо к силе Ф~ добавить силы № и №, увеличенные соответственно в Х1 и Х2 раза.
Результаты этой операции приведены в последнем столбце табл. 6.1. П р и м е р б.З. Построить эпюру изгибающих моментов для рамы (рис. б.19, а). Точки А и В рамы связаны между собой податливым стержнем с жесткостью на растяжение ЕоГо. Х! А х~ Рис. 6.19 276 Система один раз статически иеопределима. Разрезал стержень АВ в верхней точке, получаем основную систему (рис. 6.19, о). Строим, далее, эпюры моментов от заданной силы Р н от единичной силы (рис. 6.19,а н е). Кроме того, на участке АВ, где необходимо учесть растяжение, строим эпюру нормальной силы Ф.
Вычисляем коэффициенты канонического уравнения 611К1 + 61р = О, проводя перемножение не только эпюр нзгибаюгпих моментов, но н растягнвающей силы: 6 — 5' ! 6 5Р3 ЗЕ 7 Ео Го БЕЛ Определяем Х1.' 61р Р 1 Х1=- — =— 611 2 ЗЕВ 5Ео Го 0 Как видим, усилие в стержне зависит от отношения жесткости рамы на изгиб к жесткости стержня АВ на растяжение. Если жесткость стержня АВ очень велика, то Х1 —— Р(2, и стержень воспринимает половину силы Р.
Если стержень АВ очень податлив, то Х1 ~ О, и вся сила Р воспринимается рамой. Рис. 6.20 На рнс. 6.20 представлена зпюра изгибающих моментов в раме и форма ее изогнутой осн. 6.4. Использование свойств симметрии при раскрытии статической неопределимости Положим, имеется некоторая симметричная рама (рис.6.21,а). Ее правую часть можно рассматривать как зеркальное отображение левой части относительно плоскости 277 симметрии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
