Феодосьев В.И. Сопротивление материалов (1075903), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Вообще, диагональные матрицы (таблицы) хоэффкциентов при раскрытии статической неопределнмостн получаются для систем, кмеющнх однотипные, повторяющиеся элементы. Тахимн элементами в данном случае являются пролеты многоопорного стержня. В более сложных задачах системы уравнений могут нолучиться не только трех-, но и ~ятн-, семи- нли девятндиагональными. Этн системы обладают относительной простотой и особенно удобны (прн большом числе неизвестных) для машинного счета. Именно поэтому в последние годы получили развитие приемы расчета, основанные на предварительном разбиении сложных конструкций (типа оболочек с ребрамн) на множество одноткпных элементов, наделенных определенными свойствамн.
Условия совместной деформацкк элементов записывают с таким расчетом, чтобы матркца обладала диагональными свойствами. Это позволяет получить на машине решение даже прк числе некзвестных, измеряемом тысячами. В рассматриваемом примере скстема уравнений приобрела дкагональную структуру в результате рационального выбора основной системы. Понятно, что рассматриваемый пример особенно прост.
Коэффициенты вдоль диагоналей остаются неизменными, поскольку расстояние между опорами неизменно н жесткость пролетов одна и та же. Но основная простота — именно в диагональной, или ленточной, структуре уравнений. Это приятное следствие такого выбора расчетной схемы было подмечено давно.
Для многопролетного стержня уравнения можно обобщить на случай различных длин пролетов и произвольной нагрузки. Такого рода уравнения называются уравнениями трех моментов н еще в недавнем прошлом возводились даже в ранг "теоремы о трех моментах". Лишь относительно недавно, в связи с развитием машинной техники, была осознана общность подхода, далеко выходящая за рамки методов раскрытия статической неопределимостн систем.
Но вернемся я уравнениям. Положим, что Х; = Аа', где А и а— неопределенные величины, не зависящие от индекса з. Легко заметить, что прн таком предположении будут удовлетворены все уравнения, кроме первого и последнего, если только 1 + 4а + а = О.
Определим корни этого уравнения: ад — — — 2 + ~/3, аз = -2 — ~ГЗ. Теперь построим более общее выражение: Х; = Аад+ В~. Опять удовлетворены все промежуточные уравнения. Но теперь мы располагаем двумя константами А и В, которые можно подобрать тая, чтобы были удовлетворены первое н последнее уравнения. 287 Подставляя в первое уравнение Х1 и Хг, получим А+В=М. Пусть крайняя правая опора имеет индекс п. Перепишем последнее урав- нение нашей системы в виде Ха-г + 4Х„1 + Хв — Хо = О, откуда Аа1~ + Ваг = О.
Решая совместно оба уравнения, получим А =М ай г 1 В= — М ~г ~1 а л Таким образом, а г в ° Х М аг а1 — а1 аг В п а г а1 Но так как а1аг = 1, то в-з Хз — - М а в г Ю 4И45 Рис. 6.38 Решение получено для любого числа опор. В данном случае мы имеем 10 опор н п = 9. Подставляя значения а1 н аг, легко обнарулснть, что изгибающие моменты на опорах с увеличением индекса ~, т.е. прн счете слева направо, имеют чередующиеся знаки н быстро убывают по абсолютной величине. Момент Х1 примерно в четыре раза меньше момента М.
На предпоследней опоре он оказывается равным М/40545. Эпюра изгибающих моментов показана на рнс. б.Зб. 6.5. Плоскопространственные и пространственные системы Рассмотрим основные особенности плоскопространственных систем. Как уже указывалось выше, плоскопространственными называются системы, плоские в геометрическом отношении, но нагруженные силовыми факторами, перпендикулярными плоскости рамы. Примеры плоскопространственных систем представлены на рис. 6.37. Рис. 6.37 Особенностью этих систем является то, что во всех поперечных сечениях внутренние силовые факторы, лежащие в плоскости рамы, равны нулю. Доказывается это так же, как и при рассмотрении свойств с учетом прямой и косой симметрии.
Рис. 6.3В Положим, имеется некоторая плоскопространственная рама (рис. 6.38). Разрезаем эту раму в произвольном сечении, превращал ее в статически определимую. Обозначим через Х1, Х~, Хз силовые факторы, плоскость действия которых перпендикулярна плоскости рамы. Это — изгибающий и крутящий моменты и вертикальны поперечная сила. Остальные три силовых фактора в сечении обозначим через Х4, Х3, Х6. На 269 1О В. И.
Фоодосвев рис. 6.38 эти силовые факторы, возникающие в плоскости рамы, вынесены для ясности в сторону. Система канонических уравнений 611Х1 + 612Х2 + 61зХз + 614Х4 + 61ьХь + 61в Хв = -61р, б21Х1 + бггХг + бгзХз + бг4Ха + бгьХь + бгвХв = — бгр, бз1Х1+ бзгХг+ бззХз+ бз4Х4+ бзьХь+ бзвХв = -бзр1 б41Х1 + 642 Х2 + 643 ХЗ + б44Х4 + б4ьХь + 64вХв — — -б4р, бь1Х1+ бьгХ2 + бьзХз + бь4Х4+ бььХь + бьвХв — — — бьр', бв1Х1 + бвгХг + бвзХз + бв4Х4 + бвьХь + бввХв = -бвр распадается здесь на две независимых системы, поскольку при перемножении эпюр от первых трех факторов на эпюры от трех последних получим всегда нуль: б14 = б1ь = б1в = 624 = ... = О При этом, естественно, предполагаем, что одна из главных осей сечения расположена в плоскости рамы.
Таким образом, получаем бц Х1 + бы Хг + 61з Хз = — 61р' б21Х1 + 622Х2 + бгзХз —— — бгр, бз1Х1 + бзгХг + бззХз = — бзр~ 644Х4 + б4ьХь + б4вХв = — б4р, бь4Х4 + бьь Хь + бьвХв = — бьр', бв4Х4 + бвьХь + бввХв = -бвр. Если внешние силы действуют в плоскости рамы, т.е. если рама является плоской в обычном понимании, то обращаются в нуль б1р, бгр и бзр, и внутренние силовые факторы Х1, Хг, Хз равны нулю.
Это значит, что для плоской рамы возникают только внутренние факторы, действующие в ее плоскости. Если же внешняя нагрузка перпендикулярна плоскости рамы, то равны нулю 64р, бьр и бвр ° Тогда равны нулю и Х4, Хь, Хв. В заданной для расчета раме, как видим, сохраняются внутренние силовые факторы, плоскости действия которых перпендикулярны к плоскости рамы. 290 При смешанной нагрузке (рис. 6.39), действующей на плоскую раму, всегда имеется воэможность разложить силы по плоскостям и рассмотреть отдельно плоскую и плоскопространственную системы. Внутренние силовые факторы определяют в дальнейшем как результат наложения полученных решений. Рис. 6.39 Перейдем к пространственным статически неопределимым системам.
Исследование таких систем не содержит в себе принципиальных трудностей. Понятно, что для пространственных систем задача раскрытия статической неопределимости выглядит, как правило, более громоздкой, чем для плоских систем. Однако канонические уравнения метода сил остаются теми же, и их коэффициенты определяют при помощи тех же приемов. Особого внимания при раскрытии статической неопределимости пространственных рам требует проверка основной системы на кинематическую неизменяемость.
Случается, что пространственная система представляет собой механизм, но обнаруживается это только при внимательном рассмотрении. Например, системы с пространственными шарнирами, показанные на рис. 6.40, являются кинематически изменяемыми. Рис, 6.40 291 Для каждой из них наложенные связи не препятствуют вращению системы относительно осей, отмеченных на рис.6.40 штриховыми линиями. Проверку пространственной системы на кинематическую неизменяемость проводят обычно при помощи проб, т.е. путем последовательных попыток мысленно сместить раму или некоторые ее элементы относительно неподвижных осей.
В связи со сказанным следует в заключение отметить, что требование кинематической неизменяемости, которое подчеркивалось выше, вообще говоря, не всегда является обязательным. В некоторых случаях кинематическая изменяемость основной системы может быть допущена, но этот вопрос решают обязательно в связи с особенностями приложенных к системе сил. Так, в примере 6.5 кольцевая рама была рассечена двумя сечениями (см. рис. 6.30).
Части рамы получили при этом возможность свободно перемещаться одна относительно другой. Однако полученная кинематическая изменяемость не оказалась существенной, поскольку и система заданных, и система единичных сил были уравновешены независимо одна от другой. П р и м е р 6.8. Раскрыть статическую иеопределимость рамы, показаниой на рис. 6.41, а. Жесткость составляющих стержней на изгиб равна Е3, а на кручение С1,. 292 Рис. 6.41 Рама является плоскопространственной.
Поэтому в любом ее поперечном сечении силовые факторы, лежащие в плоскости рамы, равны нулю. Кроме того, рама симметрична. Следовательно, в поперечном сечении в плоскости симметрии обращаются в нуль кососнмметричные факторы — крутящий ыомент и вертикальная поперечная сила.
Отличиыы от нуля остается только изгибазощнй момент в вертикальной плоскости. Разрезаем раму по плоскости симметрии н прикладываем момент Х1 (рис. 6.41, б). Строим эпюру моментов от заданных сил и единичного момента (рис. 6.41, е и е) и находим коэффициенты канонического уравнения бых1 + б1р =О. Получаем 21 ~~з ~~з Е1 С1,' ЗЕ1 С1,' Тогда ~Р 1+ ЗЕ1((а1.) 6 1 + Е1/(С1, ) Если рама состоит нз стержней, имеющих круглое поперечное сечение, то Е1 С1„ = 1+ и = 1, 3; Х, = О, 366~1 . Суммарная эпюра изгибающих моментов дана на рис. 6.42. ~У4Хф аы~уг Рис. 6.42 П р и и с р 6.9. Раскрыть статическую иеопредеяиыость пространственной рамы, показанной на рнс. 6.43, о. Жесткости на изгиб Е1 и на кручение С1, для всех элементов рамы одинаковы.
Рама симметрична относительно вертикальных плоскостей АВ и Сй. Разрезая раму по первой плоскости симыетрии, получаем в сечениях только симметричные силовые факторы 1рнс, 6.43, 6), Из условий равновесия сразу видно, что нормальная сила в этих сечениях равна Р(2, а один из моментов равен РЦ2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
