Феодосьев В.И. Сопротивление материалов (1075903), страница 36
Текст из файла (страница 36)
При расчете таких рам оказывается возможным упростить решение задачи и снизить число искомых силовых факторов. Рассмотрим случаи нагружения рамы симметричной и кососимметричной нагрузками. Под симметричной нагрузкой будем понимать такую, при которой все внешние силы, приложенные к правой части рамы, являются зеркальным отображением сил, приложенных к ее левой части (рис. 6.21, б). Под кососимметричной, или антисимметричной, нагрузкой будем понимать такую, при которой силы, приложенные к правой половине рамы, также являются зеркальным отображением сил, приложенных к ее левой половине, но противоположны им по знаку (рис. 6.21, в). Аналогично классифицируем и внутренние силовые факторы. Рассмотрим для этого некоторое произвольное сечение рамы, в котором возникает шесть силовых факторов.
В правой и левой плоскостях произведенного сечения (рис. 6.22) силы и моменты равны. Посмотрим, какие из шести силовых факторов образуют зеркальное отображение относительно плоскости Рвс. В.22 2тв сечения. Такими оказываются три: два изгибающих момента и нормальная сила. Будем их называть симметричными внутренними факторами. Крутящий момент и обе поперечные силы в принятой терминологии должны быть названы косо- симметричными факторами. Каждый из них противоположен по знаку зеркальному отображению взаимного фактора.
Нетрудно теперь доказать следующие положения. У симметричной рамы в плоскости симметрии при симметричной внешней нагрузке обращаются в нуль кососимметричные силовые факторы, а при кососимметричной внешней нагрузке — симметричные силовые факторы. Рис. 6.23 Обратимся к симметричной раме, например к показанной на рис. 6.21, и выберем основную систему, разрезая раму по плоскости симметрии (рис. 6.23). Обозначим через Х] и Х2 кососимметричные, а через Х3, Х4, Хв, Хв — симметричные силовые факторы и выпишем систему канонических уравнений. В данном случае их будет шесть: бпХ] + 6]2Х2+ 6]3Х3+ 6]4Х4+ б]вХв+ б]еХв = — б]р,' 62] Х] + 622Х2 + 623Х3 + 624Х4 + 62вХв + 62вХв = -62р, 63]Х] + 632Х2+ 633Х3+ 634Х4+ 635Хв+ бзвХв = -бзр., б4] Х] + 642 Х2 + 643Х3 + 644Х4 + 645Хв + 64вХв = -64р ~ бв]Х] + бв2Х2 + бвзХ3 + бв4Х4 + беву + бввХе = -бвр', бв]Х] + бв2Х2 + бвзХ3 + бв4Х4 + бввХв + бвеХе = — бер.
Заметим теперь, что в этих уравнениях многие из коэффициентов обращаются в нуль. Это будут все коэффициенты, у которых один индекс принадлежит симметричному, а другой— ИШИИИИШ кососимметричному фактору. Например, обращается в нуль коэффициент б1з. Индекс 1 принадлежит кососкмметричному фактору (Х1 к Х2 — кососимметричные факторы), а индекс 3 — симметричному фактору (Хз, Х4, Х5 и Х6 — симметричные факторы). Обращаются также в нуль б14, б16, б16, бзз, бг4 и т.д. Происходкт это потому, что в симметричной раме не возникает взаимных кососимметричных перемещений под декствием симметричных нагрузок. Точно так же не возникает симметричных перемещений под действием кососимметричных факторов. Сказанное становится еще более очевидным, если учесть, что в рассматриваемой системе эпюра изгибающих моментов от кососимметричных факторов будет кососимметричной (рис.
6.24, а), а от симметричных факторов — симметричной (рис. 6.24, 6). При перемножении таких эпюр, естественно, получим нуль, в то время как перемножение кососимметричной эпюры на кососимметричную и симметричной на симметричную дает результат, отличный от нуля. Рис. 6.24 б11Х1 + б12Х2 = б21Х1 + б22Х2 = бззХз+ бз4Х4+ бз5Х5+ бз6Х6 = б43ХЗ + б44Х4 + б45Х5 + б46Х6 = б5зХз + б64Х4 + б55Х5 + б66Х6 = б63 Хз + б64Х4 + б65Х5 + б66Х6 = — б1р, — б2р, — бзр, б4Р ~ — ббр, -ббр. Как видим, система уравнений распалась на две независимые.
2ВО Итак, вычеркивая из системы уравнений коэффициенты, обращающиеся в нуль, получаем Теперь положим, что внешняя нагрузка является симметричной. Из высказанных выше соображений следует, что 61р = б2р = О. Первая система уравнений становится однородной. Тогда Х1 = О, Х2 = О. Следовательно, при симметричной нагрузке кососимметричные силовые факторы в плоскости симметрии обращаются в нуль. При кососимметричной нагрузке бзр = б4р = б5р = ббр —— =О. ТогдаХз =О,Х4=0,Х1=0,Ха =О.
Вэтомслучае в плоскости симметрии обращаются в нуль симметричные силовые факторы. Все сказанное, понятно, сохраняет силу не только для плоских, но и для пространственных рам при любой степени статической неопределимости. Если нагрузка, приложенная к симметричной раме, не обладает ни прямой, ни косой симметрией, всегда имеется возможность разложить ее на кососимметричную и симметричную, как это показано, например, на рис. 6.25. Задача, таким образом, распадается на две. Рассматривают отдельно симметричную раму с кососимметричной нагрузкой и раму с симметричной нагрузкой.
Внутренние силовые факторы в раме определяют в дальнейшем наложением полученных решений. Рис. 6.25 В случае, если рама геометрически кососимметрична (рис. 6.26), можно также путем сопоставления эпюр для двух половин рамы получить упрощения в системе канонических уравнений. Нетрудно, например, таким способом установить, Рис. 8.28 что для рамы, показанной на рис. 6.26, при выбраннои основной системе б1з = О, б2з = О, б1р — — О, б2р — — О.
Тогда уравнения принимают вид бпХ1+ б12Х2 = О' б21Х1 + б22Х2 = О; бззХз + бзр = О. Следовательно, в сечении А возникает только изгибающий момент, а нормальная и поперечная силы обращаются в нуль. П р н м е р 6.4. Раскрыть статическую неопределнмость н построить эпюру изгибающих моментов для рамы, показанной на рис. 6.27, а. с г И Рис. 6.27 Рама симметричная и нагружена кососимметрично расположеннымн снламн. Разрезаем ее но оси симметрии н в произведенном сечении прикладываем силы Х1 (рис. 6.27, 6). Строим эпюры моментов (рис. 6.27, е, г).
Симметричные силовые факторы, как мы уже знаем, равны здесь нулю. Взамен трех уравнений получаем одно: 611Х~ + Б~р —— О, где 7[3 Р[3 3 Бп 12Е3 ' 4Е„1 ' , 61р = — —, откуда Х1 — — — Р. Эпюра изгибающих мо- 7 ментов н форма нзогнутои оси рамы представлены на рис. 6.28.
П р н м е р 6.5. Определить наибольший изгибающий момент в кольцевой раме, нагруженной двумя силами Р (рнс. 6.29). 262 Ж ~ Р1 Рис. В.28 Рис. 6.29 Рама три раза статически неопределима, но условия симметрии позволяют сократить число неизвестных до одного. Разревсем раму по вертикальному диаметру АВ (рис.
Б.ЗО, а), т.е. по оси симметрии. В сечениях А и В поперечные силы равны нулю. Рама одновременно симметрична Р относительно линии действия сил. Поэтому Ф,~ — — Фв — — — М,~ —— Мв. 2' Обозначим момент через Х1. В итоге получаем эквивалентную систему, представленную на рис. 6.30, 6. м„ к, Рис. 8.30 В сечении с угловой координатой у момент от заданных снл Р будет РЯ Мр = — (1 — сов у).
Момент единичного силового фактора равен М1 —— 2 — — 1 Определяем коэффициенты канонического уравнения ~г/2 ~г/з 1 МЯ~ ~. б 1 ММЛ~ РЛ ( Е1 2Е2' / Е,7 2Е3 ~,2 Тогда б1~ 1 1 Х1 = — — =РК б11 2 к Изгибающий момент в произвольном сечении равен алгебраической сум- ме момента М~ от заданных сил и момента М1, увеличенного в Х~ раз. В итоге 1 1 М = М~ — Х1 — — РК вЂ” — — сову т 2 Согласно этому выражению, иа рассматриваемой четверти окружности может быть построена эпюра изгибающего момента, которую затем по условиям симметрии можно расцространить и на другие участки окружности (рис.
б.31). Наибольший изгибающий момент возникает в точках приложения сил Р и равен РЯ(к. Рис. В.31 П р и м е р б.б. Раскрыть статическую неопределимость и построить зпюру моментов для рамы, показанной иа рис. 6.32, а. Рнс. В.32 Рама геометрически кососимметрична. Разрезаем ее в центре симметрии н прикладываем в сечении три неизвестных силовых фактора (рис. Б.32, 6). Строим все четыре эпюры моментов (одну — от заданных сил и три — от единичных силовых факторов). Сопоставляя эти эпюры (рис.
б.ЗЗ), убеждаемся, что бг~ — бзик — бл = б1з — — О. Следовательио, система трех канонических уравнений принимает вид бггХг + бгзХз = О; бзгХг + бззХз = О, 611Х1 — — — б1р,. откуда Хг — — Хз — О. Далее, перемножая эцюры, находим Е3' ЪЕ3' 284 1 О» И1!И11И Рис. 8.33 7 И -ф У л Рис. 8.34 Суммарная эпюра нэгибающих моментов показана на рис.
Б.34. Рассмотрим еще один пример, не относящийся к свойствам симметрии, но наглядно иллюстрирующий значение правильно выбранной основной системы при раскрытии статической неопределимости. П р и м е р 6.7. Раскрыть статическую неопределимость стержня постоянного сечения, расположенного на десяти равноотстоящих одна от другой опорах (рис. Б.35, а). В данном случае (и не только в данном, но и вообще для многопролетного стержня) удобно образовать основную систему, врезал на опорах 286 Рис. 6.35 21 б~~ = ЗЕ1' б — б бЕ1' 6Е1 Во втором уравнении также трех: би = — ,' 6Е1' обратятся в нуль все коэффициенты, кроме 21 1 ЗЕ3' 6Е1 и т.д.
В итоге после сокращений система уравнений примет вид 4Х~+ Хз + О = — М, Хз +4Хз+ Хз + О +... О, О +Хз+4Хз+ Х,+ О+... = О, О + Хз +4Х~+Хз+ О + ... = О, О +Хч+4Ха= О. шарниры и вводя в качестве неизвестных так называемые опорные моменты (рис. 6.35, б). Таких моментов будет восемь.
Построим знюры от заданного н от единичных моментов (рис. 6.35, в — д). Эпюры от единичных моментов представляют собой треугольники, расположенные лишь на смежных с опорой пролетах, а зпюра от внешних сил изображается треугольником на первом пролете. Составим систему из восьми уравнений. В первом уравнении отличнымн от нуля будут следуюшие коэффициенты: Мы получили систему уравкеннй трехдиагонаяьной структуры. Термин не требует разъяснений, н говорит сам за себя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
