Феодосьев В.И. Сопротивление материалов (1075903), страница 39
Текст из файла (страница 39)
7.2. На невидимых гранях элемента возникают соответственно такие же напряжения, но противоположно направленные. Система сил, приложенных к элементу, должна удовлетворять условиям равновесия. Поскольку на противоположных гранях возникают противоположные по направлению силы, то первые три условия равновесия удовлетворяются тождественно, и суммы проекций всех сил на оси х, у и т равны нулю независимо от значений возникающих напряжений. Остается проверить, обращаются ли в нуль суммы моментов всех сил относительно осей х, у и т. При составлении уравнений равновесия легко обнаружить, что момент каждой силы уравновешивается моментом противоположной силы, расположенной на невидимой грани.
Исключение составляют касательные силы. Например, для оси т условие равенства нулю суммы моментов соблюдается в том случае, если момент силы г~~ атлет равен моменту силы т,, ат ау, т.е. т~ а'т ~Ь а'у = т „ат ау ~Ь. Аналогично могут быть написаны еще два уравнения равнове- сия. Тогда получаем Таким образом, на двух вэаимно перпендихулярныт площадхат составляющие хасательныт напряжений, перпендихулхрные х общему ребру, равны и направлены обе либо х ребру, либо от ребра.
Это и есть закон парности касательных напряжений, сформулированный в общем виде (см. также ~ 1.5). Он справедлив для всех точек нагруженного тела независимо от з., Следстви- ойств материал аг зок и св является то, и иложенных н РУ х напряжении вида пр ности касательны 7 ~ имеем не з славия парности ента см. рис. м ем и у что н на гранях выдел ть независимы ых компонент н а только шесть попа но равны. девять, ые напряжения по т всегда кольку касательные я в точке начинают поскольк енного состояния в то о в окрестеления напряжений и оводят три взаим с определения мента. ыхвы ир иост ти точки зле Через точку провод бирают ля ти о ие нтацию котор ля ные плоскос, р площадках мо п гли перпендикуляр обы напряжения в п пр~изв~л~н~, н но так, что ы н ем.
ены наиболее яниев и В б быть определе ап яж яние в точках А и ап яжемное состояние в ученного стер и одновременно закр Х растянутого и Р Рис. 7.3 ими плоскостями выд еляем элеточек секущими пло образом, что- В окрестности плоскостеи выбир способом. В О ментарный объем. оп„еделить наиболее й вдоль и поня можно было оп ентация плоскостей бы напряжения м является ориентац стности точек ае естествен пои плоскости в окрес данном случае е с. 7.3, а секущие пло ленные элементы сте жня.
На рис. Вынесем выделенн табе перек оси стер т мховым ыми линиями. в велич ченном масшта р 73 б ) за а пределы нагруже костей (рис. тержня возсс сохранением орие лы Р в поперечны вующих на- В езультате де" ействия моа г анях элементов. т касательные на- ниях возникают ка пряжении выче О 208 — ке В напряжемента ЯИ в попере на г анях элем . ге В ние г= в точке А юя -— у — — ) 1 имеем: в В =ю =О,к~ —— = О в точке В юя = юк— 'Гя ф 303 7.2. Определение напряжений в произвольно ориентированной площадке Если дано шесть компонент напряженного состояния: ю~, ст„, о~, 7„~, 7;~ и 7~~ в трех взаимно перпендикулярных площадках, то можно определить напряжения в любой площадке, проходящей через данную точку.
Из напряженного тела (см. рис. 7.1) еще раз выделим в окрестности точки А элементарный объем, но уже не в виде параллелепипеда, как было сделано ранее, а в виде четырехгранника (рис. 7.4). Три грани выделенного элемента лежат в координатных плоскостях системы О*у2. Четвертая грань образована произвольной секущей плоскостью. Ее ориентацию в пространстве будем определять направляющими косинусами 1, т, и нормали и к секущей плоскости. Рис.
7.4 Элементарный четырехгранник обладает теми же свойствами, что и рассмотренный выше параллелепипед. При уменьшении размеров он стягивается в точку А, и в пределе все его грани проходят через эту точку. Поэтому напряжения на гранях элемента рассматриваем как напряжения в исследуемой точке на соответствующим образом ориентированных площадках.
304 На рис. 7.4 штрихами показаны составляющие напряжений на невидимых гранях. Вектор полного напряжения на площадке ВСЮ спроецируем на оси х, у и х. Обозначим эти проекции через Х, У и У соответственно. Если эти три величины найдены, то по ним, очевидно, могут быть найдены нормальная и касательные составляющие на произвольной площадке.
Площадь треугольника ВСЮ обозначим через Г, площади треугольников ОСЫ, 0ВВ н ОВС вЂ” соответственно через Гх, Гу, Г,. Очевидно, (7.2) Гу Гт' Гг — Гп > где 1, т и и — направляющие косинусы нормали и. Проецируя все силы, действующие на элемент, последова- тельно на оси х, у и х, получим ХГ: о Г + ту Гу + т Г УГ = тхуГх + оуГ + тгуГг; = тхгГх + тугГу + сгГг> нли в соответствии с соотношениями (7.2) Х = ох1+ тухт+ тгхп; У = тху1+ аут+ тгуп; Я = тхг1 + тугт + Огп. (7.3) Таким образом, действительно для любой площадки, определяемой направляющими косинусами 1, т и п, проекции Х, У н Г можно выразить через шесть исходных компонент ~тх > оу> аг> туг> тгх и тху. Иными словами, напряженное состояние в точке определхетпся шестпью компонентами.
Прн помощи формул (7.3) легко определить вектор полного напряжения на любой площадке, проходящей через рассматриваемую точку (рис. 7.5). Рве. 7.$ 306 Напряженное состояние в точке представляет собой понятие, более сложное чем те, которыми мы оперировали до сих пор. Нам известно понятие числа и понятие вектора как величины, определяемой тремя числами. Напряженное состояние определяется уже не тремя, а шестью числами и представляет собой цензор. Тензору в отличие от вектора не может быть дано простое геометрическое толкование, и его обычно задают матрицей (таблицей), написанной, например, в виде 500 200 100 200 -50 43 100 43 720 где каждое число представляет собой значение с~, г~~ и т.д.
в соответствии с расположением коэффициентов в трех уравнениях (7.3), т.е. ст~ = 500, т = 200 и т.д. Если взамен исходной системы Округ выбрать новую систему, компоненты тенэора изменятся, т.е. значения о~, г~, ... будут иными, однако сам тензор напряженного состояния останется тем же. Сказанное можно легко пояснить на примере вектора, показанного на рис. 7.6. Рис. Ч.В Вектор может быть определен матрицей, членами которой являются координаты конца вектора: (400 ЗОО О).
Если перейти к системе Ох1у1я1 (см. рис. 7.6), то для того же вектора получим (500 0 О). Компоненты вектора, как видим, изменились, но сам вектор остался неизменным. Остановимся более подробно на некоторых свойствах напряженного состояния в связи с преобразованием системы координат. 7.3. Главные оси и главные напряжения Выразим через Х, У и Я нормальное напряжение с„в наклонной площадке. Очевидно, ~т„= Х1+ Ут+ Яа, или, согласно выражениям (7.3), ~и = ~х~ + ~у~й + ~г'й + 2тугтйй + 2тгх'й! + 2тгу~тй.
(7.4) 2 2 2 Рассмотрим множество секущих площадок, проходящих через исследуемую точку. По нормали к каждой площадке отложим отрезок т = ~(о„) (рис. 7.7). Координаты конца этого вектора будут следующими: х=т1, у=ттй, г=тп. Рис. 7.7 Исключая из выражения а, направляющие косинусы 1, тй и и, получим геометрическое место точек концов вектора: п„т = агх + суу + юг~ + 2тугуг+2тгггх+ 2тгуху. г г г г Теперь решим, в какой зависимости от с„откладывать абсолютную величину отрезка т.
Обычно такой вопрос решают из условий наглядности геометрического образа. В данном 307 же случае, не стремясь к наглядности, а исключительно в целях простоты полученного выражения примем формально, что т й 1 .!' Х = Г11; У=с2т; Я=аЗп. Так как !2+ щ2+ п2 1 то Х2 К2 г' 2 2 2 1 ~2 3 Этому соотношению можно дать не только простое, но на этот раэ и наглядное толкование. Величины Х, У, Я можно рассматривать как координаты конца вектора полного напряжения р, возникающего на произвольно ориентированной зов где Й вЂ” произвольная постоянная, отражающая масштаб построения. Тогда Й = ю~х +о~у +ю~з +2т~,ул+2т~~лх+2т ~ху.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
