Феодосьев В.И. Сопротивление материалов (1075903), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Следовательно, 332 Если энергию отнести, как это обычно делают, к единице объема и, кроме того, по формулам (7.20) и (7.21) выразить деформации через напряжения, то окончательно получим ~0 = 1~тх + ~ту + 1тх 2И(1ту1тз + бзбх + 1тх1ту)~+ 2 2 2 2Е + (г~ + гх + гх ), (7.2~) 20 или в главных напряжениях Уо = ~ст + сг + п3 — 2р(ог<тз + ~тзстд + о'1юг)~. (7.24) 2Е Для того чтобы найти потенциальную энергию во всем объеме деформированного тела, выражение У0 следует умножить на элементарный объем и проинтегрировать по объему тела: ~0 ~~. 1 1 С~ = Р + а~, Юг = Р + пг, 1 ~т3 = Р+ ~т3~ (7.25) в результате чего напряженное состояние разбивается на два.
Первое из них представляет собой всестороннее растяжение, а второе является дополнительным к нему до заданного напряженного состояния (рис. 7.31). Напряжения р подбирают с таким расчетом, чтобы изменение объема в дополнительном напряженном состоянии отсутствовало, т.е. Ю1+ Ю2+ Юз = О. 1 1 1 334 Выведем выражения для так называемых экергии иэменемия формы и энергии иэмекекия объема. Эти выражения потребуются в дальнейшем при изучении вопросов, связанных с пластическими деформациями и предельными напряженными состояниями.
Деление внутренней потенциальной энергии на две указанные составляющие является условным; в его основе лежит следующий принцип. Каждое из главных напряжений представляют в виде суммы двух величин: Рис. 7.31 Складывая выражения (7.25), получают 1 Р = — (<Т1 + с2 + еэ) 3 (7.26) При укаэанном условии система сил первого напряженного состояния (р) не производит работы на перемещениях, вызванных силами второго состояния. Точно так же и силы второго напряженного состояния не производят работы на перемещениях первого.
Взаимные работы отсутствуют, поэтому внутреннюю энергию разбивают на две части, соответствующие двум напряженным состояниям: ~0 = ~0 об + ~Оф~ ГдЕ УОоб — ЭНЕрГИя ИЗМЕНЕНИЯ ОбЪЕМа, а УОф — ЭНЕрГИя ИЗМЕНЕ- ния формы, или энереия формоиэменения. Подставляя в выражение (7.24) вместо всех главных напряжений величину р из (7.26), получают для первого состояния 1 — 2и 2 ~Ооб = 6Е (Ю1+ О2+ ЮЗ) (7.27) ЭнеРгию фоРмоизменениЯ можно найти, вычитаЯ УОоб иэ УО. После несложных преобразований имеем ~+0 2 Х 2 ~Оф (~1 + о2 + оэ о2оэ оЭо1 о1о2)э ЗЕ или Цф — [(е1 — а2) + (о2 — еЗ) + (сЗ вЂ” о1) ]. (7.28) 1+р 2 2 2 6Е Если это выражение написать для произвольных осей, то в соответствии с (7.23) УО ф — — Цс~ — ~тя) + (~я — сг) + (~т, — ~т~) ]+ 1+0 2 2 2 + (т~ + т + г ). (7.29) В частном случае всестороннего равномерного сжатия или растяжения, т.е.
при ю1 = ~т2 = сто = ю, 3 1 — 2и ~Ооб = 2 Е УОф= О При чистом сдвиге, т.е. если ю1 = ю, с2 = О, аз = — с, составляющие потенциальной энергии имеют вид 1+И 2 ~Ооб = О> УОф = Е (7 Сравнивая выражение (7.27) с (7.12), а (7.28) с (7.11), легко заметить любопытную особенность: энергия изменения объема и энергия формоизменения соответственно пропорциональны квадратам нормального и касательного октаэдрических напряжений.
7.8. Анизотропия Все сказанное по поводу обобщенного закона Гука и вытекающих из него следствий относилось к иэотропным средам. Теперь остановимся на упругих свойствах анизотропных материалов. До недавнего времени в практических задачах инженерной механики эти вопросы на передний край не выдвигались. Это не значит, что аниэотропные материалы не находили применения. С ними давно приходится иметь дело. Вспомним хотя бы резинокордную конструкцию автомобильных и авиационных шин, где резиновая оболочка армирована стальными или нейлоновыми нитями, образующими косоугольную сетку. Можно вспомнить и фанерные анизотропные панели, применявшиеся в прошлом для оклейки несущих плоскостей самолетов. Можно привести и другие примеры, где анизотропия фигурирует как важный фактор расчетной схемы.
И все же, несмотря на несомненную важность и даже заслуженность подобных прикладных задач, следует признать, что все они узконаправленны и по своей общности существенно уступают тому богатству структурных схем, которое раскрывается перед нами в связи с применением композиционных материалов. Сейчас немыслимо представить авиационную и ракетно-космическую технику без применения композитов. Композиционные материалы уже охватили многие отрасли промышленности, в том числе производство предметов домашнего обихода. Композиционные материалы могут иметь различную структуру. Но во всех случаях, по самому определению, композит состоит по крайней мере из двух компонентов — наполнителя и связующего.
Последнее обычно называют матрицей. Если наполнитель представляет собой уложенную в определенном порядке систему нитей или нитевидных кристаллов, композиционный материал приобретает резко выраженные свойства анизотропии, и модули упругости в различных направлениях могут различаться в несколько крат. Не касаясь пока вопросов прочности, постараемся представить армированную структуру композита как сплошную и однородную среду с соответствующими упругими константами, позволяющими построить закон Гука в традиционной форме линейных зависимостей между компонентами напряженного и деформированного состояний.
И обобщение в этом случае достаточно очевидно: каждая компонента деформированного состояния зависит от каждой из компонент напряженного состояния. В итоге получаем следующие соотношения: ~х = ~11~тх+ ~12~ту+ ~13~тг+ З14~ух+ З15 Гхх+ ~16 тху~ бу = ~21 ~х+ ~22~у+ ~23~я+ ~24~ух+ ~257хх+ ~26'гху~ бх = ~31Ох+ 532 бу+533Гг+ Б347ух+ Я35Ты+ 536Тху~ (7.30) 7уг = 541Ох+ 542Оу+ 543Ох+ 544 гуж+ ~45 Гхх+ ~46 Гху) 7 =Б51~х+Б52~у+Б53Ох+Б54Гух+Б55Тгх+Б56Тху; 7ху = ~610х+ ~62оу+ ~630 г+ о64гуг+ ~65ги+ ~66 ъху~ где 5;~ — коэффициенты податливости, которые определяются свойствами материала, но не являются его константами, поскольку зависят еще и от ориентации выбранной системы осек Ж1у) Л Как напряженное и деформированное состояния являются тензорами, так и система коэффициентов податливости образует тензор, но более высокого порядка (ранга).
Исследовать его свойства мы не будем, но отметим только, что этот тензор симметричный, т.е. 5;~ = Я~;. Это вытекает из теоремы взаимности работ (см. ~ 5.6). Работа, например, силы юу Ну Нх на перемещении Я12юу Ых, вызванном силой еу Ых Ых, равна работе сиЛы пу Нх Их на ПеРемешении 521с~ ЫУ: ю~ Ну ~х ~12~7у ~х = ~у Йх ~х ' Б21~х ~у~ откуда следует, что 512 = 521. Если оси х, у, х являют- ся главными осями напряженно- Х го состояния, то ту, — — т~~ Фг' Ьг = т „= О. При этом угловые дефоРмации 7у„7~~, 7 у в нУль ф' ~~ не обращаются. Следовательно, в анизотропной среде главные оси напряженного и деформированного состояний, вообще говоря, не совпадают. Это иллюстрирует простой пример, показанный на рис.
7.32. деревянный образец вырезан под углом к направлению волокон. При растяжении вдоль оси х образец получит не только удлинение, но и перекос. В данном случае касательные напряжеРис. 7.32 ния т~у равны нулю и, следовательно, оси х и у — главные оси напРЯженного состокниЯ. ЛефоРмациЯ же 7ху в нУль не обРащается. Следовательно, для деформированного состояния оси х и у — не главные. Если бы образец был вырезан вдоль волокон, то при его растяжении по оси х никаких перекосов не возникало бы, и главные оси напряженного и деформированного состояний совпадали бы. А это означает, что некоторые из коэффициентов податливости при таком выборе осей обращаются в нуль.
Значит, при определении коэффициентов податливости в целях простоты следует сообразовываться с осями анизотропии среды. Наиболее простой вид матрица податливости приобретает, естественно, в случае полной изотропии (см. (7.2О) и (7.21)): 1 р и — — — — О О О Е Е Е 1 И вЂ” — — — О О О Е Е Е 1 — — — — — О О О Е Е Е 1 — О О 0 1 Π— О С О О О О О 1 С Несколько сложнее выглядит матрица податливости в случае монотпропии, или, как ее часто называют, трансверсальной изотропии, которая свойственна композитам с однонаправленной укладкой нитевидного наполнителя (рис.
7.33). Рис. 7.33 Обратимся к первому выражению (7.21) и, сохраняя обозначения для модуля и коэффициента Пуассона, снабдим их соответствующими индексами. Пусть по оси х модуль будет Е~, а по равноправным осям у и л — Е~. Тогда 021 И1 Я~ — (7 — б — Р Е~ * Ю2 " Е2 Обозначение коэффициента Пуассона снабжено двумя индексами. Первый соответствует оси, по которой приложено напряжение, а второй — той оси, по которой происходит сужение. Зля монотропной среды, естественно, и21 — — иЗ1. Написав аналогичные выражения и для остальных компонент деформированного состояния, получаем матрицу податливости мо- нотропного материала в следующем виде: 1 Е1 ~~г Е1 012 Е1 О О 1 ~'12 О О О ° 021 012 Здесь по свойству симметрии =, а кроме того, поЕг Е1 скольку в плоскости уОя среда изотропна, для нее сохраняется Ег хорошо известное соотношение 02З = .
Таким обра- 2(1+ рзг) зом упругие свойства монотропной среды определяются пятью независимыми константами. И, наконец, еще один вид анизотропии, характерный для компоэитов — ортотиролия, обладающая симметрией относительно трех взаимно перпендикулярных плоскостей (рис. 7.34). Здесь, в отличие от монотропии, оси у и я неравноправны.
В частности, ортотропной является древесина. Упругие свойства ортотропной среды описываются девятью независимыми постоянными: 340 021 Рг~ Ег Ег РЗ2 Ег Ег Рзг Ег Ег О О О О О О О О О О Сгз О С12 Рис. 7.34 Рис. 7.35 1 Е1 012 РЗ1 Ез О О О Ез 1 — О О О Ез 1 Π— О О Сгз 1 ΠΠ— О СЗ1 О О О 1 012 Е2 1 Ег РЗ2 Е1 Р13 Е1 Е2 341 где, конечно, по свойству симметрии 021 012 031 913 Изг Ргз Ег Е1 ' Ез Е1 Ез Ег Упругие постоянные Е1, ег, ... для композита можно определять не только путем испытания образцов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
