Феодосьев В.И. Сопротивление материалов (1075903), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Между тем феноменологический подход Мора, т.е. подход, основанный на логическом описании явления, является наиболее естественным и правильным. При обнаружении погрешностей или несоответствий этот подход сохраняет за нами возможность внести в теорию дополнительные уточнения. Так, если в дальнейшем удастся провести испытания образцов в области положительных ю1 и оз, можно будет аппроксимировать предельную огибающую Мора уже не прямой, а некоторой кривой. В расчетную формулу в этом случае войдут не только характеристики материала на растяжение и сжатие, но и некоторые новые показатели, найденные в результате дополнительных испытаний. Особое значение приобретает феноменологический подход в связи с широким применением в технике новых материалов.
Такие материалы, как стеклопластики, стеклоткани и вообще материалы, имеющие волокнистую структуру, часто работают в условиях сложного напряженного состояния. При анализе подобных конструкций уже не приходится рассчитывать на апробированные теории. Надо создавать новую теорию, а это не всегда легко. Поэтому более целесообразным является феноменологический подход. Сказанное о предпочтительности феноменологического подхода к вопросам предельного состояния не зачеркивает практического значения некоторых гипотез. Так, гипотеза максимальных касательных напряжений и гипотеза энергии формоизменения, прочно вошли в расчетную практику и обеспечивают большие удобства при решении конкретных задач, а гипотеза энергии формоизменения приобрела особое значение в связи с созданием и развитием теории пластичности (см.
~ 11.2). Рассмотрим примеры, иллюстрирующие применение теории предельных состояний. П р и м е р 8.1. Определить, какое из трех показанных на рис. 8.6 напряженных состояний является более опасным. Числовые значения напряжений заданы в МПа. Материал на растяжение и на сжатие работает одинаково (Й = 1). Рис. 8.6 Подсчитываем эквивалентное напряжение по формуле (8.4) для случаев а, 6и е: а) ~т„, = 80 — 10 = 70 МПа; б) ю„, = 60 — ( — 10) = 70 МПа; в) е„, = = 75 — О = 75 МПа. Наиболее опасным является состояние в. Состояния а и 6равноопасны.
П р и м е р 8.2. Прибор для исследования морских глубин опускают под воду на глубину Н (рис. 8.7). Вес прибора в воде равен Р. Плотность воды 7, а материала троса 7 . Определить эквивалентные напряжения в верхнем и нижнем сечениях троса, если Й = 1. Р+Ь Г Р УУ Рис. 8.7 В нижнем сечении имеет место трехосное напряженное состояние. Растягнвающее напряжение создается весом прибора, сжимающее — давлением жидкости на глубине Н: Р— — ~гз = ~гз = — 7Н' у! ! Р оэпа = + 7Н Г В верхнем сечении имеет место только осевое растяжение, создаваемое весом прибора Р н весом троса в воде Р, = (7, — 7) ГН. Таким образом, в верхнем сечении Р+Р, Р ~гэка— Г Г + (7ч — 7) Н.
Если плотность троса более чем в два раза превышает плотность воды, то наиболее опасным будет верхнее сечение троса. Это сечение необходимо также проверить на прочность в случае, когда прибор висит на тросе в воздухе перед опусканием в воду. П р н м е р 8.3.
Через систему шестерен передается момент ЯИ (рис. 8.8). В пределах вычерченного узла этот момент уравновешивается моментом 9Я/~ на нижней шестерне, где з — передаточное число от первого вала ко второму. Подобрать диаметр первого вала, если дано: Ж = 2500 Н м, Я = 8 см, а = 80 см, Ь = 10см. Материал на растяжение и сжатие работает одинаково: о,,р — — е,., = 300 МПа.
Требуется обесцечить двукратный запас прочности (п = 2). Рис. 8.8 Из условия равенства нулю суммы моментов относительно оси вала находим тангенциальную силу на шестерне (рнс. 8.8, 6): Р = 9Я/В. Между шестернями возникает не только тангенциальная, но к радиальная сила Ра. Ее значение зависит от типа зацепления. Обычно принимают, что Ра —— 0,4Р. Определяя реакцнк опор, строим зпюры кзгибающих и крутящих моментов (рис. 8.8, е). Результирующий наибольший изгибающий момент равен, очевидно, М „= 1,08Р аЬ а+Ь' Наиболее опасной будет периферийная точка В в сечении, лежащая в плоскости момента (ркс.
8.8, г). В окрестности точки выделяем элемент, показанный на рнс. 8.8, д. Напряжение с определяется кзгибающим моментом, а г — крутящим: авва Й 0 1,~з' 0 2,~з Лля полученного напряженного состояния находим главные напряжения. Поскольку одна нэ главных площадок известна, полъэуемсн по- 362 строением круга Мора (рнс. 8.9), откуда нолучаем ~Т Ф Ю (Т с1 — — — + — + тз; юз — — — — — + тз; ез —— О. (8.5) 2 4 ' 2 4 Находим, далее, эквивалентное напряиение по формуле (8.4). При л = 1 имеем с,„,=е1 — аз= е +4т 3 3 нли Подставляя сюда значения изгибающего и крутящего моментов, получаем окончательно ЯИ ЯЗ По заданным числовым значениям величин из условия с,.р/и = е„, на- ходим диаметр Ы п 64 мм. Рис.
8.9 Рассмотренное в последнем примере напряженное состояние всегда встречается при расчете вала на совместные кручение и изгиб (или растяжение). Поэтому имеет смысл для плоского напряженного состояния (с, т), показанного на рис. 8.9, сразу выразить пэхв через две укаэанные компоненты с тем, чтобы избежать промежуточного определения главных напряжений. Формула (8.4) после подстановки о1, о2 и оз из выражений (8,5) принимает вид 1 †1+1 оэкв = с+ — ю~+ 4г~.
2 2 (8.6) 363 При й = 1 приходим к тому же самому выражению, которое было получено при решении рассмотренного примера: а,щ — — ~/ю~ + 4тТ (8.7) Гипотеза энергии формоизменения (см. формулу (8.2)) в этом случае дает оэкв — — о + Зг 2 2 (8.8) В практических расчетах этими формулами приходится пользоваться весьма часто, но при этом следует постоянно помнить, что они применимы тлолько к укаэанному напряженному состоянию.
Различие коэффициентов при г в двух последних выраже- 2 киях не должно вызывать удивление. Это — следствие различия гипотез. Наибольшее относительное расхождение между числовыми значениями ~т „, найденными по формулам (8.7) и (8.8), составляет примерно 13 %, что имеет место при о = О. П р н м е р 8.4. Определить допустимую нагрузку для ломаного стержня, показанного на рис. 8.10. Материал стержня — конкин чугун, ы, р — 150 МПа, 4г,,, = ЗЗО МПа. Сечение — квадратное со стороной а = = 3 см; ! = 30 см. Задан коэффициент запаса и = 3. Ф Рис. 8.10 Строим эпюру изгибающих и крутящих моментов.
Наиболее опаснои является точка А в заделке, 6Р1 Р! аз ' О, 208аз ' Напряженное состояние соответствует рассмотренному в предыдущем примере. Поэтому можно пользоваться формулой (8.6). Определяем: й = 150/330 = 0,455. Подставляя числовые значения величин в выражение (8.6), находим а„, = Р.10, 94. Учитывая трехкратный запас, получим Р ~ 450 Н.
364 П р и м е р 8.5. Сравнить эквивалентные напряжения в прямоугольной призме в двух случаях нагружения: а) призма сжимается свободно (рис. 8.11, а), б) призма сжимается в жестком гнезде, не позволяющем ей расширяться в поперечном направлении (рис.
8.11, б). А Рис. 8.11 В случае а) с~ = О, ез = — а. Следовательно, ю„, = йе. В случае б) необходимо сначала определить поперечные сжимающие напряжения <г' (см. рис. 8.11, е). По условию поперечная деформация равна нулю, и в соответствии с законом Гука откуда поперечное сжимающее напряжение и Ю Ю. 1 — и Для полученного напряженного состояния Величина ю,„, вследствие ограничения поперечных деформаций, как видим, уменьшается. Существенно отметить, что для напряженных состояний всестороннего сжатия теория Мора иногда дает отрицательные значения е„,.
В частности, это имеет место и в рассматриваемом примере в случае й( 1 — и Такому результату формально можно дать следующее толкование. Если при а,„, = О напряженное состояние равноонасно ненанряженному, то при а,„, ( О напряженное состояние менее опасно, чем ненапряженное. Несмотря на парадоксальность такого вывода, нет основании его отвергать. Вместе с тем его можно отнести также к погрешностям определения предельной огибающей в области всестороннего сжатия. В практических расчетах этот вопрос решается тем, что в оценке прочности любой конструкции можно довольствоваться нулевым значением а,„„поскольку равноопасность нагруженной и ненагруженной деталей всегда приемлема. Поэтому, если расчет дает ю„, ( О, считают и„, = О.
38$ 8.4. О хрупком разрушении и вязкости Мы с самого начала строго разграничили два вопроса: возникновение пластических деформаций и начало разрушения. Все, о чем мы до сих пор говорили, относилось в основном к первой, относительно четко и определенно поставленной задаче.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
